有限元分析方法第二章弹性力学基础

1、1第二章第二章弹性力学基础弹性力学基础2第二章第二章 弹性力学基础弹性力学基础n2.1 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设n2.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n2.3 两种平面问题两种平面问题n2.4 弹性力学平面问题的数学提法弹性力学平面问题的数学提法n2.5 弹性力学的一般原理弹性力学的一般原理n2.6 虚功原理虚功原理n2.7 势能原理势能原理32.1 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设n（一）什么是变形体？（一）什么是变形体？n物体内任意两点之间可发生相对移动物体内任意两点之间可发生相对移动n（二）变形体的描述（二）变形体的描述弹性力学弹性力学基本变量基本变量确定

2、不变确定不变42.1 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设n（二）变形体的描述（二）变形体的描述n1、连续性假设：物质无空隙，可用连、连续性假设：物质无空隙，可用连续函数来描述。续函数来描述。n物体被组成该物体的介质所充满，没物体被组成该物体的介质所充满，没有任何空隙。其应力、应变和位移等有任何空隙。其应力、应变和位移等物理量都是连续变化的，可用连续函物理量都是连续变化的，可用连续函数进行描述。数进行描述。52.1 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设n（二）变形体的描述（二）变形体的描述n2、均匀性假设：物体内各个位置的物、均匀性假设：物体内各个位置的物质具有相同特性。质具有相同特性

3、。n假设组成物体的材料在物体空间是均假设组成物体的材料在物体空间是均匀分布。即物体内的各部分具有相同匀分布。即物体内的各部分具有相同的力学性能，如弹性常数杨氏模量的力学性能，如弹性常数杨氏模量E和和泊松比泊松比u等。等。 62.1 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设n（二）变形体的描述（二）变形体的描述n3、各向同性假设：物体内同一位置的、各向同性假设：物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性。物质在各个方向上具有相同特性。n假设组成物体的材料在物体空间内每假设组成物体的材料在物体空间内每一点沿不同方向的力学性能相同，物一点沿不同方向的力学性能相同，物体的弹性常数与方向无关。体的弹性

4、常数与方向无关。72.1 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设n（二）变形体的描述（二）变形体的描述n4、完全弹性（线性弹性）假设：物体、完全弹性（线性弹性）假设：物体的变形与外力作用的关系是线性的，的变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状。外力去除后，物体可恢复原状。n假设物体受外部因素作用引起变形，假设物体受外部因素作用引起变形，外部因素撤去后能完全恢复而没有任外部因素撤去后能完全恢复而没有任何残余变形。同时假设材料服从胡克何残余变形。同时假设材料服从胡克定律，即应力与应变成正比。定律，即应力与应变成正比。82.1 弹性力学中的基本假设弹性力学中的基本假设n（二）变形

5、体的描述（二）变形体的描述n5、小变形假设：物体变形远小于物体的几、小变形假设：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可以忽略高阶小量何尺寸，在建立方程时，可以忽略高阶小量（二阶以上）。（二阶以上）。n假设物体在载荷或温度变化等因素作用下各假设物体在载荷或温度变化等因素作用下各点所产生的位移都很小，使得各点的应变分点所产生的位移都很小，使得各点的应变分量和转角都远小于量和转角都远小于1。在建立平衡方程时，。在建立平衡方程时，可用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸来代替变形后的尺寸。92.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量基本量基本量位移位移应变应变应力应力外力外力（载

6、荷）（载荷）102.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（一）位移（一）位移n用点的位移描述物体变形，每点的位用点的位移描述物体变形，每点的位移矢量记为移矢量记为n其中，其中，i、j、k为位移的方向矢量为位移的方向矢量kzyxwjzyxvizyxuzyxu,112.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（一）位移（一）位移n任一点的位移任一点的位移u可用它在三个坐标轴上可用它在三个坐标轴上的投影的投影u、v、w来表示，记为矩阵形来表示，记为矩阵形式式n沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负方向沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负方向为负，量纲为为负，量纲为长度长度。 Twvuu 122.2 弹性力学中

7、的基本量弹性力学中的基本量n（二）应变（二）应变n1、工程应变、工程应变6分量分量n工程线应变工程线应变x、y、zn工程切应变工程切应变xy、yz、zxn2、应变为无量纲量，用应变列阵表示、应变为无量纲量，用应变列阵表示Tzxyzxyzyx132.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量yzn（二）应变（二）应变142.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（二）应变（二）应变n3、当物体上每个、当物体上每个点的位移都确定之点的位移都确定之后，每个微团的变后，每个微团的变形也就确定了，其形也就确定了，其间的数学关系，即间的数学关系，即几何方程为几何方程为xwzuywzvxvyuzwyvxu

8、zxyzxyzyx152.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（二）应变（二）应变n4、微团变形的核心、微团变形的核心n任意微线段的相对伸长，即任意方向任意微线段的相对伸长，即任意方向的线应变。的线应变。n只有将任意方向线应变都表示的量才只有将任意方向线应变都表示的量才能用来描写微团的变形。能用来描写微团的变形。162.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（二）应变（二）应变n4、微团变形的核心、微团变形的核心n工程应变中处于任意方向工程应变中处于任意方向 的的线应变为线应变为Tnmln nmlnmlzzyzxyzyyxxzxyxnn212121212121172.2 弹性力学中的

9、基本量弹性力学中的基本量n（三）应力（三）应力n某一点的物质微团受周围物质作用力某一点的物质微团受周围物质作用力（即内力）的集度称为该点的应力。（即内力）的集度称为该点的应力。n1、应力、应力6分量分量n正应力（法向应力）：正应力（法向应力）：xx、yy、zzn切应力（剪应力）：切应力（剪应力）：xy、yz、zxTzxyzxyzzyyxx182.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（三）应力（三）应力n1、应力、应力6分量分量192.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（三）应力（三）应力n2、应力分量的正负约定、应力分量的正负约定n当外法线方向与坐标轴正向一致时为正坐当外法线方向

10、与坐标轴正向一致时为正坐标面，如图中所示。反之，为负坐标面。标面，如图中所示。反之，为负坐标面。n正坐标面上的应力分量以沿坐标正方向为正坐标面上的应力分量以沿坐标正方向为正，负坐标面上的应力分量以沿坐标的负正，负坐标面上的应力分量以沿坐标的负向为正。向为正。n应力的量纲是应力的量纲是力力/长度长度2202.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（三）应力（三）应力n3、剪应力互等原理、剪应力互等原理n作用在两个互相垂直作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于的面上，并且垂直于该两个面交线上的剪该两个面交线上的剪应力互等应力互等 nxy=yxnyz=zynzx=xz 212.2 弹性力学中的基本

11、量弹性力学中的基本量n（三）应力（三）应力n4、柯西应力原理、柯西应力原理n将将6个应力分量表示为任一斜面上的个应力分量表示为任一斜面上的“应力应力矢量矢量”，微团内任一微面积，微团内任一微面积dA，微面方，微面方向向 ，则，则dA上的力用三个方向的分上的力用三个方向的分量表示。量表示。nmldAnmldFdFdFzzyzxzzyyyxyzxyxxxzyx222.2 弹性力学中的基本量弹性力学中的基本量n（四）外力（载荷）（四）外力（载荷）n作用在物体上的外力分为作用在物体上的外力分为体积力体积力和和表表面力面力。n1、体积力是指分布在物体体积内部的力，、体积力是指分布在物体体积内部的力，记为

12、记为n2、表面力是作用在物体表面的力。记为、表面力是作用在物体表面的力。记为Tzyxffff Tzyxffff 232.3 两种平面问题两种平面问题平面问题平面应力问题平面应变问题242.3.1 平面应力问题平面应力问题n（一）构成平面应力问题的条件（一）构成平面应力问题的条件n1、几何条件、几何条件n所研究的结构是一很薄的等厚度薄板所研究的结构是一很薄的等厚度薄板n2、载荷条件、载荷条件n作用于薄板上的载荷平行于板面且沿厚度作用于薄板上的载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用方向均匀分布，而在两板面上无外力作用252.3.1 平面应力问题平面应力问题n（二）平面应力问题（

13、二）平面应力问题nz=0nzy=0nzx=0nx0ny0nxy=yx262.3.1 平面应力问题平面应力问题n（二）平面应力问题（二）平面应力问题n广义平面应力问题广义平面应力问题n板厚板厚t可以有小的变化可以有小的变化n表面可以不平，中面必须为平面表面可以不平，中面必须为平面n板边作用力可以放松到对称中面分板边作用力可以放松到对称中面分布布n所有变量如位移、应变、应力均理所有变量如位移、应变、应力均理解为沿板厚的平均值解为沿板厚的平均值272.3.2 平面应变问题平面应变问题n（一）构成平面应变问题的条件（一）构成平面应变问题的条件n1、几何条件、几何条件n所研究结构是长柱体（理论上假设为无

14、限所研究结构是长柱体（理论上假设为无限长细长结构），且横截面沿长度方向不变，长细长结构），且横截面沿长度方向不变，长度尺寸远大于横截面尺寸，长度尺寸远大于横截面尺寸，Z轴平行于轴平行于柱体母线。柱体母线。n2、载荷条件、载荷条件n作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向且沿纵向Z方向均匀分布，两端面不受力，方向均匀分布，两端面不受力，限制限制Z向位移。向位移。282.3.2 平面应变问题平面应变问题n（一）构成平面应变问题的条件（一）构成平面应变问题的条件292.3.2 平面应变问题平面应变问题n（二）平面应变问题（二）平面应变问题nz=0，zx=0，z

15、y=0，nx0，y0，xy=yx0302.4 平面问题的数学提法平面问题的数学提法n2.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n2.4.2 几何方程几何方程-应变与位移的关系应变与位移的关系n2.4.3 材料物理方程材料物理方程-应力与应变的应力与应变的关系关系n2.4.4 边界条件边界条件n2.4.5 弹性力学平面问题的基本解法弹性力学平面问题的基本解法 312.4 平面问题的数学提法平面问题的数学提法n（一）平面问题的特点（一）平面问题的特点n1、基本变量、基本变量8个个nu，v，x，y，xy，x，y，xy，且，且各个变量都是各个变量都是x，y的函数的函数n2、平面应力问题还有、平面应力问题还有

16、znz=-（x+y）n3、平面应变问题还有、平面应变问题还有znz=（x+y）322.4 平面问题的数学提法平面问题的数学提法n（一）平面问题的特点（一）平面问题的特点n位移矢量：位移矢量：n应变分量：应变分量：n应力分量：应力分量：vjuiuTvuu TxyyxTxyyx332.4 平面问题的数学提法平面问题的数学提法n（二）平面问题的基本方程及边界（二）平面问题的基本方程及边界条件条件 n1、三类基本方程、三类基本方程n（1）平衡微分方程）平衡微分方程-力的平衡方程力的平衡方程n（2）几何方程）几何方程-应变与位移的关系方程应变与位移的关系方程n（3）材料物理方程）材料物理方程-应力与应变

17、的关系应力与应变的关系n2、边界条件、边界条件n（1）位移边界条件）位移边界条件n（2）外力边界条件）外力边界条件342.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（一）建立平衡关系（一）建立平衡关系n1、沿、沿x方向所有合力的平衡；方向所有合力的平衡；n2、沿、沿y方向所有合力的平衡；方向所有合力的平衡；n3、所有合力关于任一点的力矩平衡。、所有合力关于任一点的力矩平衡。352.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程 n1、设体力集度矢量、设体力集度矢量Tyxfff 362.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程n2、沿、沿x方向所有合

18、力的平衡方向所有合力的平衡0tdxdyftdxdyytdxtdydxxtdyxyxyxyxxxx0 xyxxfyx0 xF372.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程n3、沿、沿y方向所有合力的平衡方向所有合力的平衡0yF0tdxdyftdydxxtdytdxdyytdxyxyxyxyyyy0yyxyfyx382.4.1 平衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程n4、所有合力关于任一点的力矩平衡、所有合力关于任一点的力矩平衡0M02222dytdxdytdxdyydxtdydxtdydxxyxyxyxxyxyxyyxxy392.4.1 平

19、衡微分方程平衡微分方程n（二）建立微分方程（二）建立微分方程n5、归纳后得平面问题的平衡微分方程、归纳后得平面问题的平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyxyxxy0 xyxxfyx0yyxyfyx000fxyyxxyyx写成矩阵形式写成矩阵形式402.4.2 几何方程几何方程n（一）（一）P点变形点变形情况描述情况描述n1、定义、定义x方向的方向的线应变线应变n2、定义、定义y方向的方向的线应变线应变n3、定义夹角的变、定义夹角的变化化PABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyBAyxxy412.4.2 几何方程几何方程n（二）建立几何方程（二）建立几何方程

20、 n1、定义、定义x方向的线应变方向的线应变xudxudxxuuPAPAAPPAPAAPx PABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyBAyxxy422.4.2 几何方程几何方程n（二）建立几何方程（二）建立几何方程 n2、定义、定义y方向的线应变方向的线应变yvdyvdyyvvPBPBBPPBPBBPy PABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyBAyxxy432.4.2 几何方程几何方程n（二）建立几何方程（二）建立几何方程 n3、定义夹角的变化、定义夹角的变化xvdxdxxvAPAAx1 yudydyyuBPBBy1 yuxvxyP

21、ABPABoxyudxuudxxvdyvvdyyvvdxxuudyyBAyxxy442.4.2 几何方程几何方程n（二）建立几何方程（二）建立几何方程 n4、归纳以上，平面问题的几何方程为、归纳以上，平面问题的几何方程为 xuxyuyyuxvxyLuvuxyyxxvyuyvxuxyyx00452.4.3 材料物理方程材料物理方程n广义胡克定律广义胡克定律zxyzxyzyxzxyzxyzyxE1200000012000000120000001000100011462.4.3 材料物理方程材料物理方程n（一）对于平面应力问题（一）对于平面应力问题n1、由于三个应力分量、由于三个应力分量z=0，zy

22、=0，zx=0 xyyxxyyxE120001011yxzE472.4.3 材料物理方程材料物理方程n（一）对于平面应力问题（一）对于平面应力问题n2、若以应变表示应力则有、若以应变表示应力则有xyyxxyyxE2100010112482.4.3 材料物理方程材料物理方程n（二）对于平面应变问题（二）对于平面应变问题n1、由于三个应变分量、由于三个应变分量z=0，zx=0，zy=0yxzxyyxxyyxE120001101112492.4.3 材料物理方程材料物理方程n（二）对于平面应变问题（二）对于平面应变问题n2、若以应变表示应力有、若以应变表示应力有xyyxxyyxE1221000110

23、112111502.4.3 材料物理方程材料物理方程n（二）对于平面应变问题（二）对于平面应变问题n3、将、将E换成换成 ，换成换成 ，可将，可将两种平面问题的应力应变关系写成如两种平面问题的应力应变关系写成如下简洁的矩阵形式下简洁的矩阵形式n=D21E1210001011111211ED1,1121EE512.4.4 边界条件边界条件n位移边界条件位移边界条件n给定位移边界给定位移边界Su，物体的位移分量必须，物体的位移分量必须等于边界上的已知位移，即等于边界上的已知位移，即uuSSvuu522.4.4 边界条件边界条件n力边界条件力边界条件n给定面力边界给定面力边界S，应力分量与面力分量，

24、应力分量与面力分量应满足平衡关系，在力边界点即在该点应满足平衡关系，在力边界点即在该点的分布面力的两个分量为的分布面力的两个分量为 SyxSfff532.4.5 平面问题的基本解法平面问题的基本解法n8个未知变量个未知变量nu，v，x，y，xy，x，y，xyn8个独立方程个独立方程 n平衡微分方程平衡微分方程0 xyxxfyx0yyxyfyxyxxy542.4.5 平面问题的基本解法平面问题的基本解法n8个独立方程个独立方程 n几何方程几何方程xuxyuyyuxvxy552.4.5 平面问题的基本解法平面问题的基本解法n8个独立方程个独立方程 n物理方程物理方程xyyxxyyxE1200010

25、11xyyxxyyxE120001101112562.4.5 平面问题的基本解法平面问题的基本解法n1、以应力分量为基本未知量的应力法求、以应力分量为基本未知量的应力法求解解n由一些只包含应力分量的微分方程和边界条由一些只包含应力分量的微分方程和边界条件求出应力分量以后，再用物理方程求出应件求出应力分量以后，再用物理方程求出应变分量，从而用几何方程求出位移分量。变分量，从而用几何方程求出位移分量。n2、以位移分量作为基本未知量的位移法、以位移分量作为基本未知量的位移法求解。求解。n由一些只包含位移分量的微分方程和边界条由一些只包含位移分量的微分方程和边界条件求出位移分量以后，再用几何方程求出应

26、件求出位移分量以后，再用几何方程求出应变分量，从而用物理方程求出应力分量。变分量，从而用物理方程求出应力分量。572.5 弹性力学的一般原理弹性力学的一般原理n圣维南原理圣维南原理n对于作用在物体边界上一小块表面上的对于作用在物体边界上一小块表面上的外力系可以用静力等效（主矢量、主矩外力系可以用静力等效（主矢量、主矩相同）并且作用于同一小块表面上的外相同）并且作用于同一小块表面上的外力系替换，这种替换造成的区别仅在离力系替换，这种替换造成的区别仅在离该小块表面的近处是显著的，而在较远该小块表面的近处是显著的，而在较远处的影响可以忽略。处的影响可以忽略。582.5 弹性力学的一般原理弹性力学的一般原理n圣维南原理的要点圣维南原理的要点n一是两个力系必须是按照刚体力学原则的一是两个力系必须是按照刚体力学原则的“等效等效”力系；力系；n二是替换所在的表面必须小，并且替换导