2022年苏教版高中数学知识点整理

1、第一讲集合一、知识精点讲解1集合：某些指定的对象集在一起成为集合。（ 1）集合中的对象称元素，若 a 是集合 a的元素， 记作aa；若 b 不是集合a 的元素，记作ab；（ 2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是a的元素，或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（ 3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举

2、出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号 内。具体方法： 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意： 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作 n；正整数集，记作n*或 n+；整数集，记作z；有理数集，记作q ；实数集，记作r。2集合的包含关系：（1）集合 a 的任何一个元素都是集合b 的元素，则称a 是 b 的子集（或b 包含 a） ，记作 a

3、b（或ba） ；集合相等： 构成两个集合的元素完全一样。若 ab 且 ba， 则称 a 等于 b， 记作 a=b；若 ab 且 ab，则称 a 是 b 的真子集，记作ab；（2）简单性质： 1）aa；2）a；3）若 ab，bc，则 ac；4）若集合a是 n 个元素的集合，则集合a 有 2n个子集（其中2n1 个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作u；（2）若 s 是一个集合， as，则，sc=|axsxx且称 s 中子集 a 的补集；4交集与并集：（1）一般地， 由属于集合a 且属于集合b 的元素所组成的集合，叫做集合 a 与 b 的交集。交

4、集|bxaxxba且。（2）一般地，由所有属于集合a 或属于集合b 的元素所组成的集合，称为集合a与 b的并集。|bxaxxba或并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或” ，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 44 页 - - - - - - - - -第二讲函数概念与表示一、知识精点讲解1函数的概念：设 a、b 是非空的数

5、集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合a 中的任意一个数 x，在集合b 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f： ab 为从集合a 到集合 b的一个函数。 记作： y=f(x)，xa。其中， x叫做自变量， x 的取值范围a 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xa 叫做函数的值域。注意： （ 1） “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)” ；（2）函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘 x。2构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真

6、确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型： 指函数的解析式有意义的自变量x 的取值范围 （如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型： 指命题的条件或人为对自变量x 的限制， 这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x 的实际意义。（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。配方法（将函数转化为二次函数）；判别式法（将函数转化为二次方程）；不等式法（运用不等式的各种性质）；函数法（运用基本函数性质，

7、或抓住函数的单调性、函数图象等）。3两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域a、值域 c 和对应法则f。当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。4区间：区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；5映射的概念一般地，设a、b 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合 b 中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f：ab为从集合 a 到集合 b 的一个映射。记作“f：ab” 。函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件 “非空数集”弱化为“任意两个非空集合” ，按照某种法则可以建立起更为普通的

8、元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。注意： （ 1）这两个集合有先后顺序，a 到 b 的射与 b 到 a 的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。（2） “都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。6常用的函数表示法： （1）解析法：（2）列表法：（3）图象法：7分段函数若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；8复合函数若 y=f(u)，u=g(x),x(a，b)，u (m,n) ，那么 y=fg(x)称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域。精品学习资料

9、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 44 页 - - - - - - - - -第三讲函数的基本性质一、要点精讲1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x 都有 f( x)=f(x)，则称 f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇

10、偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（ 2）利用定义 判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2确定 f(x)与 f(x)的关系；3作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f( x) f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（ 3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；设( )f x，( )g x的定义域分

11、别是12,dd，那么在它们的公共定义域上：奇+奇 =奇，奇奇=偶，偶 +偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为i， 如果对于定义域i 内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)） ，那么就说f(x)在区间d 上是增函数（减函数） ；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2必须是对于区间d 内的任意两个自变量x1， x2；当 x1x2时，总有 f(x1)f(x2) （2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，

12、区间d 叫做 y=f(x)的单调区间。（3） 设复合函数y= fg(x)， 其中 u=g(x) , a 是 y= fg( x)定义域的某个区间，b 是映射 g :xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 a 上是增（或减）函数，y= f(u)在 b 上也是增（或减）函数，则函数y=fg(x)在 a 上是增函数；若 u=g(x)在 a 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 b 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 a 上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤：1任取 x1，x2d，且 x11 0a0 时， y1;x0 时， 0y0 时， 0y1;x1. （5）在 r 上是增函

13、数（5）在 r 上是减函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 44 页 - - - - - - - - -（2）对数函数：定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，a1 0a1a0 )1 ,0(x时0y), 1(x时0y（ 5）在（ 0，+）上是增函数在（ 0， +）上是减函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 44 页 - - - - - - - - -第五讲函数图象及数字特征一、知识精点讲解1函数图象（1）作图方法：以解析式表示的函数作图象的方法有

14、两种，即列表描点法和图象变换法。作函数图象的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；描点连线，画出函数的图象。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换。（2）三种图象变换：平移变换、对称变换和伸缩变换等等；平移变换：、水平平移：函数()yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移|a个单位即可得到；1）y=f(x)h左移y=f(x+h)；2）y=f(x) h右移y=f(x h)；、竖直平移：函数( )yf xa的图像可以把函数( )yf x的图像沿x

15、轴方向向上(0)a或向下(0)a平移|a个单位即可得到；1）y=f(x) h上移y=f(x)+h；2）y=f(x) h下移y=f(x) h。对称变换：、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于y轴对称即可得到；y=f(x) 轴yy=f( x) 、函数( )yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于x轴对称即可得到y=f(x) 轴xy= f(x) 、函数()yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于原点对称即可得到y=f(x) 原点y= f( x) 、函数)(yfx的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线yx对称得到y=f(x) xy直线x=f(y) 、函数)2(xaf

16、y的图像可以将函数( )yf x的图像关于直线ax对称即可得y=f(x) ax直线y=f(2a x)。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 44 页 - - - - - - - - -翻折变换：、函数|( )|yf x的图像可以将函数( )yf x的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留( )yfx的x轴上方部分即可得到；y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyx、函数(|)yfx的图像可以将函数( )yf x的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留( )yfx在y轴右边部分即

17、可得到y=f(x)cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx伸缩变换：、函数( )yafx (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到；y=f(x)ayy=af(x) 、函数()yf ax (0)a的图像可以将函数( )yf x的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到。f ( x)y=f(x)axy=f(ax) （3）识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 44 页 - -

18、- - - - - - -2幂函数yx (, )0 1在第一象限的图象，可分为如图中的三类：1010图在考查学生对幂函数性的掌握和运用函数的性质解决问题时，所涉及的幂函数yx中限于在集合21121312123， ，中取值。幂函数有如下性质：它的图象都过（1， 1）点，都不过第四象限，且除原点外与坐标轴都不相交；定义域为r 或的幂函数都具有奇偶性，定义域为r 或，0的幂函数都不具有奇偶性；幂函数yx ()0都是无界函数； 在第一象限中， 当0时为减函数， 当0时为增函数；任意两个幂函数的图象至少有一个公共点（1，1） ，至多有三个公共点；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

19、 - - - - - - - 第 10 页，共 44 页 - - - - - - - - -第六讲函数与方程一、知识精点讲解1方程的根与函数的零点（1）函数零点概念：对于函数)(dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(dxxfy的零点。函数零点的意义： 函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根， 亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点。二次函数)0(2acbxaxy的零点：）， 方程02cbxax有两不等实根， 二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程02cbxax有两相等实根

20、（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点。既存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程的根。2.二分法二分法及步骤：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度，用二分法求函数)(xf的零

21、点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 44 页 - - - - - - - - -（3）计算)(1xf：若)(1xf=0，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax） ；若)(1xf)(bf0，f(x)在区间 p，q上的最大值m，最小值 m，令 x0=21(p+q)。若ab2p，则 f(p)=m，f(q)=m；若 pab2x0，则 f(ab2)=m， f(q)=m；若 x0a

22、b2q，则 f(p)=m，f(ab2)=m；若ab2q，则 f(p)=m，f(q)=m。（3）二次方程f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件。方程 f(x)=0 的两根中一根比r 大，另一根比r 小af(r)0；二次方程f(x)=0 的两根都大于r0)(,2,042rfarabacb二次方程f(x)=0 在区间 (p，q)内有两根;0)(,0)(,2,042pfaqfaqabpacb二次方程f(x)=0 在区间 (p，q)内只有一根f(p)f(q)0，或 f(p)=0(检验 )或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。精品学习资料 可选择p d f - - - - -

23、- - - - - - - - - 第 12 页，共 44 页 - - - - - - - - -第七讲空间几何体一、知识精点讲解1柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱： 一般的， 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面， 简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱； 旋转轴叫做圆柱的

24、轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥： 一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的

25、曲面叫做圆锥的侧面。棱锥与圆锥统称为锥体。（3）台棱台： 用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。圆台： 用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。圆台和棱台统称为台体。（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。（5）组合体由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。2空间几何体的三视图

26、三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 44 页 - - - - - - - - -第八讲空间几何体的表面积和体积一、知识精点讲解1多面体的面积和体积公式名称侧面积 (s侧) 全面积 (s全) 体 积(v) 棱柱棱柱直截面周长 l s侧+2

27、s底s底h=s直截面h 直棱柱ch s底h 棱锥棱锥各侧面积之和s侧+s底31s底h 正棱锥21ch棱台棱台各侧面面积之和s侧+s上底+s下底31h(s上底+s下底+下底下底ss) 正棱台21(c+c )h表中 s 表示面积， c、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高， h表示斜高， l 表示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球s侧2rl rl (r1+r2)l s全2r(l+r) r(l+r) (r1+r2)l+(r21+r22) 4r2v r2h(即r2l) 31r2h 31h(r21+r1r2+r22) 34r3表中 l、 h 分别表示母线、 高，r 表示圆柱、 圆锥与球

28、冠的底半径，r1、 r2分别表示圆台上、下底面半径， r 表示半径。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 44 页 - - - - - - - - -第九讲空间中的平行关系一、复习目标要求1平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条

29、过该点的公共直线；公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行；定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。2空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认， 归纳出以下判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面交线与该直线平行；两个平面平行，则任意一个平面与这两

30、个平面相交所得的交线相互平行；垂直于同一个平面的两条直线平行能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。二、要点精讲1平面概述（1）平面的两个特征：无限延展平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面ac 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 44 页 - - - - - - - - -2三公理三推论: 公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：al ,bl

31、,a,bl公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。3空间直线 : （1）空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。 相交直线和平行直线也称为共面直线。异面直线的画法常用的有下列三种：（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行

32、，这个结论在空间也是成立的。即公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（3）异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：,ababaab与 a 是异面直线。4直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aa，/a。aaaa线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：,/ababaabababbabapp精品学习

33、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 44 页 - - - - - - - - -线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：/,/aabab5两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：/ababpab推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推论模式：,/,/abp

34、 ababp abaa bb（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。abcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 44 页 - - - - - - - - -第十讲空间中的垂直关系一、知识精点讲解1线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内

35、的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式：,poopaaaaoaaap。注意：三垂线指pa ，po ，ao都垂直 内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。2线面垂直定义： 如果一条直线l 和一个平面 相交， 并且和平面 内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线l 和平面 互相垂直 其中直线l 叫做平面的垂线，平面 叫做直线 l 的垂面 ,直线与平面的交点叫做垂足。直线 l 与平面 垂直记作：l 。直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。直

36、线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行。3面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两平面垂直的性质定理： （面面垂直线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。apoa精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 44 页 - - - - - - - - -第十一讲直线、圆的方程一、知识精点讲解1倾斜角：一条直线l 向上的

37、方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为,0。2斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t an;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:k=tan1212xxyy（若 x1x2，则直线 p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900） 。4直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k( x-x

38、0) (x0，y0)直线上已知点， k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+by=1 a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式ax+by+c=0 ba，ac，bc分别为斜率、横截距和纵截距a、 b 不能同时为零5圆的方程圆心为),(bac，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222rrbyax。特殊地，当0ba时，圆心在原点的圆的方程为：222ryx。圆 的 一 般 方 程022feydxyx， 圆 心 为 点)2,2(ed， 半

39、径2422fedr，其中0422fed。二元二次方程022feydxcybxyax，表示圆的方程的充要条件是：、2x项2y项的系数相同且不为0，即0ca；、没有xy 项，即 b=0；、0422afed。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 44 页 - - - - - - - - -第十二讲直线、圆的位置关系一、知识精点讲解1直线 l1与直线 l2的的平行与垂直（ 1）若 l1， l2均存在斜率且不重合： l1/l2k1=k2； l1l2k1k2=1。（ 2）若0:,0:22221111cybxalcybxal若 a1、a2、

40、b1、b2都不为零。l1/l2212121ccbbaa；l1l2a1a2+b1b2=0；l1与 l2相交2121bbaa；l1与 l2重合212121ccbbaa；注意：若a2或 b2中含有字母，应注意讨论字母=0 与0 的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。2 距离（1）两点间距离 ：若)y,x(b),y,x(a2211，则212212)()(yyxxab特别地：x/ab轴，则ab|21xx、y/ab轴，则ab|21yy。（ 2 ） 平 行线间 距 离： 若0:,0:2211cbyaxlcbyaxl，则：2221baccd。注意点： x，y

41、 对应项系数应相等。（ 3） 点到直线的距离：0cbyax: l),y,x(p，则p 到l 的距离为：22bacbyaxd3直线0cbyax与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（1）若22bacbbaad，0相离rd；（2）0相切rd；（3）0相交rd。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 44 页 - - - - - - - - -还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组0022feydxyxcbyax求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2 个公共解时（直线与圆有2 个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有

42、1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 c 到直线 l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr c， b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理rccbbaa2s i ns i ns i n（r 为外接圆半径） ；余弦定理c2 = a2+b22bccos c，b2 = a2+c22accos b，a2 = b2+c22bccos a；它们的变形形式有：a = 2r sina，ba

43、basinsin，bcacba2cos222。5三角形中的三角变换（1）角的变换因为在 abc 中， a+b+c= ，所以 sin(a+b)=sinc ；cos(a+b)= cosc；tan(a+b)= tanc。2sin2cos,2cos2sincbacba；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。（3）在 abc 中，熟记并会证明：a， b， c 成等差数列的充分必要条件是b=60； abc 是正三角形的充分必要条件是a， b， c 成等差数列且a，b，c 成等比数列。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共

44、 44 页 - - - - - - - - -6. 面积定理（1）111222abcsahbhch（abchhh、分别表示 a、b、c 边上的高） . （2）111sinsinsin222sabcbcacab. (3)221(| |)()2oabsoaoboa ob. 第十九讲数列概念及等差数列一、知识精点讲解1数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作na，在数列第一个位置的项叫第1 项（或首项） ，在第二个位置的叫第2 项，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作na；数列的一般形式：1a，2a，3a，na，简记作na。（2）通项公式的定义：

45、如果数列na的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。例如，数列的通项公式是na= n（n7，nn） ，数列的通项公式是na= 1n（nn） 。说明：na表示数列，na表示数列中的第n项，na= fn表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，na= ( 1)n=1,21()1,2nkkznk；不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4 ，1.41 ，1.414 ，（3）数列的函数特征与图象表示：序号： 1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从

46、函数观点看， 数列实质上是定义域为正整数集n（或它的有限子集）的函数( )f n当自变量n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，( )f n，通常用na来代替fn，其图象是一群孤立点。（4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。（5）递推公式定义：如果已知数列na的第 1 项（或前几项） ，且任一项na与它的前一项1na（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。2等差数列（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每

47、一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。（2）等差数列的通项公式：1(1)naand；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 44 页 - - - - - - - - -说明：等差数列（通常可称为a p数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。（3）等差中项的概念：定义：如果a，a，b成等差数列，那么a叫做a与b的等差中项。其中2abaa，a，b成等差数列2aba。（4）等

48、差数列的前n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nsnad。39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2nnnsnassn( 数列na的前 n 项的和为12nnsaaa). 4. 等差数列的通项公式*11(1)()naanddnad nn；其前 n 项和公式为1()2nnn aas1(1)2n nnad211()22dnad n. 5. 等比数列的通项公式1*11()nnnaaa qqnnq；其前 n 项的和公式为11(1),11,1nnaqqsqna q或11,11,1nnaa qqqsna q. 6. 等比、差数列na:11,(0)nnaqad ab q的通项公式为1

49、(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq；其前 n 项和公式为(1) ,(1)1(),(1)111nnnbn ndqsdqdbnqqqq. 7.分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款(1)(1)1nnabbxb元(贷款a元,n次还清 ,每期利率为b). 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 页，共 44 页 - - - - - - - - -第二十讲等比数列一、知识精点讲解1等比数列定义一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常

50、用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q数列对于数列（1） （2） （3）都是等比数列，它们的公比依次是 2，5，21。 （注意：“从第二项起” 、 “常数”q、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：)0(111qaqaann。说明： （ 1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列；（ 2）等比数列的通项公式知：若na为等比数列，则m nmnaqa。3等比中项如果在ba与中间插入一个数g，使bga,成等比数列， 那么g叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）。4等比数列前n 项和公式一般地，设等比数列123,na

51、aaa的前 n 项和是ns123naaaa，当1q时，qqasnn1)1(1或11nnaa qsq；当 q=1 时，1nasn（错位相减法） 。说明： （1）nsnqa,1和nnsqaa,1各已知三个可求第四个； （2） 注意求和公式中是nq，通项公式中是1nq不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 36 页，共 44 页 - - - - - - - - -数列求和一、知识精点讲解1数列求通项与和（1）数列前n 项和 sn与通项 an的关系式： an=11sssnn12nn。（2）求

52、通项常用方法构造新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+ +(a2a1)+a1；归纳、猜想法。（3）数列前n 项和重要公式：1+2+n=21n(n+1) ；12+22+n2=61n(n+1)(2n+1) ；13+23+n3=(1+2+ +n)2=41n2(n+1)2；等差数列中，sm+n=sm+sn+mnd；等比数列中，sm+n=sn+qnsm=sm+qmsn；裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即an=f(n+1) f(n) ，然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项

53、，如：)11(1)(1canbanbccanbanan、)1(1nn=n111n等。错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。nnncba, 其中nb是等差数列，nc是等比数列，记nnnnncbcbcbcbs112211，则1211nnnnnqsb cbcb c，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求sn。数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法：nnncba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 37 页，共 44 页 - - - - - - - - -第二十一讲

54、圆锥曲线方程及性质一、知识精点讲解1椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点1f、2f的距离的和等于常数（大于21|f f）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。若m为椭圆上任意一点，则有21| 2mfmfa。椭圆的标准方程为：22221xyab（0ab） （焦点在x 轴上）或12222bxay（0ab） （焦点在y 轴上） 。注：以上方程中,a b的大小0ab，其中222cab；在22221xyab和22221yxab两个方程中都有0ab的条件， 要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分母的大小。例如椭圆221xymn（0m，0n，mn）当mn时表示焦点在x轴上的椭

55、圆；当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质范围：由标准方程22221xyab知|xa，|yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点( , )x y在曲线上时，点( ,)xy也在曲线上，所以曲线关于x轴对称， 同理，以x代替x方程不变， 则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x，y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0 x，得yb，则

56、1(0,)bb，2(0, )bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即1(,0)aa，2( ,0)aa是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段21a a、21b b分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在22rt ob f中，2|obb，2|ofc，22|b fa，且2222222|ofb fob，即222cac；离心率：椭圆的焦距与长轴的比cea叫椭圆的离心率。0ac，01e，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁

57、；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。2双曲线（1）双曲线的概念平 面 上 与 两 点 距 离 的 差 的 绝 对 值 为 非 零 常 数 的 动 点 轨 迹 是 双 曲 线（12| 2pfpfa） 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 38 页，共 44 页 - - - - - - - - -注意：（ * ）式中是差的绝对值，在1202|af f条件下；12|2pfpfa时为双曲线的一支（含2f的一支）；21|2pfpfa时为双曲线的

58、另一支（含1f的一支）； 当122|af f时 ，12| 2pfpfa表 示 两 条 射 线 ； 当122|af f时 ，12| 2pfpfa不表示任何图形； 两定点12,ff叫做双曲线的焦点，12|f f叫做焦距。椭圆和双曲线比较：椭圆双曲线定义1212| 2 (2|)pfpfaaf f1212| 2 (2|)pfpfaaf f方程22221xyab22221xyba22221xyab22221yxab焦点(,0)fc(0,)fc(,0)fc(0,)fc注意：如何有方程确定焦点的位置！（2）双曲线的性质范围：从标准方程12222byax，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。

59、即22ax，ax即双曲线在两条直线ax的外侧。对称性：双曲线12222byax关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴， 原点是双曲线12222byax的对称中心， 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线12222byax的方程里，对 称 轴 是, x y轴 ， 所 以 令0y得ax， 因 此 双 曲 线 和x轴 有 两 个 交 点)0,()0 ,(2aaaa，他们是双曲线12222byax的顶点。令0 x，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分

60、别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2aa叫做双曲线的实轴，它的长等于2 ,a a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段2bb叫做双曲线的虚轴，它的长等于2 ,b b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 39 页，共 44 页 - - - - - - - - -等轴双曲线：1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；2）等轴双曲线的性质： （1）渐近