[宝典]数学思想方法在解不等式中的应用(朱木良)

1、解不等式中的数学思想方法云霄朱木良解不等式几乎贯穿整个高中数学的学习过程。解不等式是根据不 等式的同解原理，逐步代换，化简不等式的过程。解不等式是研究函 数和方程的重要工具，我们应掌握各类不等式的特点及其常规解法和 思路，另外还要注意应用数学思想方法巧解不等式。数学思想指的是 数学意识或数学思维，也是对数学规律的理性认识。而数学方法是人 们以数学事实进行探索的一种手段，它们密切相关且不可分割的。所 以我们把它称为数学思想方法在解不等式过程中，恰当的运用思想 方法，能够起到事半功倍，化繁为简的效果。一、函数与方程思想函数思想就是合理利用函数的概念和性质分析解决问题。例1. 1 求a, b的值，使

2、得关于x的不等式a疋+bx+/ -1 < 0的 解集分别是：(1) -1, 2; (2) (-oo, -1 u 2, 4-oo)； (3) 2;1, +8).分析：不等式的解集与方程的根、函数的图象和性质有着密切的 联系。本题a, b都是未知的，无法直接确定不等式的解集，要把它与 方程的跟及函数图像联系起来，互相转化和互相利用。解 由题意可知，&>0且-1, 2是方程ax2+bx+6/2-l < 0的根， 所以a>0>同（d方法娄klcii瞬儿可徐l = 血b = l+.(3) 由题意知，2是方程a/+bx+/_i=o的根，所以4a+2b+a2-l=0.又

3、2是不等式2+bx+d21< 0的解集，所以=b4 -4a(aa -1) = 0.ffa = 2+5/5, b = -8-45(4) 由题意知,a=0. b<0,且-1是方程bx+°2-1=0的根，即 -b+/_i=o,所以a=0, b=-l例1. 2设实数a> 1 >b> 0,问a, b满足什么关系时，不等式lg(ax-bx)0 的解集是(1, +8 ).分析：欲使不等式的解集为(1, +8)，只需f (x)= lg(ax-bx)在 其定义域上是增函数，且f (1)=0.解：设f(x)= lg(ax-bx),先确定x的取值范围.ax-bx0,即(

4、63; ) x > 1,且£ > 1,0b二x ( 0, +8 ).依题意，只需f(x)是(0, +8)上的增函数，且f (1 ) =0.alb0,ax和-b'都是(0, +°° )上的增函数.从而ax-bx亦是(0, +8 )上的增函数.故f (x)= lg(ax-bx)是(0, +8)上的增函数.又 f (1) = lg (a-b),令 lg(a-b)0，得 a-b=l因此a, b满足的关系式为a=b+l说明：用函数的形式把数量关系表示出来，加以研究，解决问题。二、分类讨论思想解含有参数的不等式时，需根据参数的不同取值情况进行分类讨论。 分

5、类讨论的实质分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来 解决。分类讨论的原则是不重复、不遗漏。分类讨论的方法是确定讨 论范围，确定分类标准，逐类进行讨论。例2 设函数f (x) = 10珈尢力+ 2> 0且&工)l + 2ax求f(x)的定义域；(2) b>l时，求使f (x) >0的所有x值。分析：由于x2x + 2>0恒成立，l+2ax>0，下面再讨论；(2) 由f (x) >0,得x2 - 2 (1+a) x + 1>0,再分 <0与0讨论，或由 =0,得 a= - 2 和 a=0o 下面再分 a< - 2, a= - 2

6、, - 2<a<0, a=0, a>0 讨论，这里选用后一种方法讨论。解：(1) x2 - 2x + 2= (x - 1)2 + 1>0.l+2ax>0.若a=0,则f(x)的定义域为r;若a>0,则f (x)的定义域为(-丄，2a+ 8 )；若a<0,则f (x)的定义域为(一 8，-丄).2a当b>l时，在f(x)的定义域内，f (x) >0等价于x2 - 2x + 2>l+2ax,即 x2 - 2 (1+a) x + l>0.令 z=4a (a+2) =0,得 a= - 2 和 a=0.当a<-2时,a>0.x

7、2 - 2 (1+a) x + 1=0 两根为xi=l+a-j/ + 2。，x2=l+a+j/ + 2d .xi<x2=l+a+ j/ + 2a =； < 0 < - 丄l + a-a2 + 2a 2a二 x<l+a- j/ + 2° 或 l+a+vtz2 + 2a <x<- 2a 当a=-2时，x丄，且x工-1.4 当-2<a<0 时，<(), x<-丄.2a 当a=0时，x r，且xhl. 当 a>0 时，a >0, x2>xi>0>-丄.2d一<x<l+a-+ 2°

8、或 x>l+a+ 2。2a评注:本题中分几个不同层次讨论参数的变化情况，每一层次的划分 是在变形或解题过程中，在探明“方向”后再进行分类讨论.三. 换元思想由不等式的结构特征，引入一个新的变量替换原来的式子，使式子 由复杂变得简单，让复杂的关系变得简明扼要，让隐含的关系直观明 了。例3.1:解不等式丄w年二is丄。12 xvx + 16分析：若试图将不等式化为基本形式求解，须先去分母，有x < 0j x + 1 - 1 < xyj x + 1 12jx + 1 _ 1 n _ xyx + 16至此，解题难以为继。若令jx + 1 =t,则x=t2-l. x>t,且xho

9、, t>0且thl,不等 式化为/>o,/1), 即 12 (尸一 1)/ 6v712 (r + l)r 6v76<t(t+l) <12(t>0).解得 2<t<3,从而2<v7tt<3,即4<x+l<9。不等式的解集是3, 8o例3.2：解不等式447 <x2-x-2分析：如果两边平方去掉根号，变成有四次方，那就复杂了，考虑用三 角代换化简，去掉根号.解：设兀=2sin0，o g,则 4-%2=cos2,l 2, 2,j原不等式化为 2cos & < 4s in?-2s in&-2,即(sin&am

10、p;+cos0)(1 一sin0+cos&) < 0.5 一釜sin&+cos&>0, sin&+cos& < 0,即 sin(6>+) < 0.4由此解得-<e < -,24即-2<x <-v2 o评注：引入一个新的变量把无理不等式转化成有理式，可以避免解无 理不等式时需要分类讨论造成的复杂运算。数形结合是指通过数和形之间的对应和转化来解决问题，若不等 式的结构能通过某种途径和图形建立联系，那么可以设法构造图形，把不等式所要表达的抽象的数量关系转化成图形来解决。例 4：设 f (x)=7%2+l -

11、ax,其中 a>0,解不等式 f (x) < 1. 解：原不等式等价于77tt <ax+l.在同一坐标系中作出y=vx2+i与y=ax+l的图像(如图)。 则研究的问题转化为直线l：y=ax+l位于曲线c: y2-x2=l上半支上方时x的范围。(1) 当0<al时，直线1与曲线c有两个交点，其交点横坐标分别为x=o和x=-v, /.a<x<-cr1 )-x > 0.(2) 当时，直线1与曲线c只有一个交点( 综合(1)(2)得：当0<a<l时，原不等式的解集为x|0<x二 ;1-a当a>l时，原不等式的解集为x|x>0l五

12、.等价转化思想等价转化思想就是在处理问题时，把那些难以解决的问题，选择 合适的方法进行变换，归结为比较容易解决的问题，找到解决问题的 突破口，避开复杂运算。通过不断地将问题转化，使问题逐次达到 规范化、模式化，直至解决问题。例5：当x gr时，不等式m + cos2 x < 3 + 2sinx + 72m + 1恒成立，求 实数加的取值范围.分析：原不等式o m - v2m +1 < 3 + 2sin j-cos2 x的解集为r,求加的范围，从而找到切入口为:m - 72m +1小于函数/(%) = 3 + 2sin兀一 cos2 %的最小值.解：令.f (%) = 3 + 2si

13、nx-cos2 x = (sinx +1)2 + 1，( x gr )当sin兀=-1时，/(兀)的最小值为1.原命题o解关于in的不等式加-+ < 1 <=> 丁2加+ 1 > m-<=>m <4.-1 <()式 j 加 一 1 n 02/n +1 > 02m + 1 > (m i)2评注：本例通过几次等价转化，把原本練手的问题转化为显而易 见的问题，然后利用相关知识来解决，这是等价转化思想的巧妙之处.六.整体思想整体思想就是对问题的整体结构进行分析、改造，把某些式子看成 一个整体，把握好已未知和已知的联系，有意识、有目的的整体处理， 达到解题目的。例 6、已知 f (x) =ax2-c,且-4<f (1)(2) <5,求 f 的范围。解： 令 f (3) =9a-c=mf (1) +nf (2) = (m+4n) a- (m+n) c,5m + 4n = 9 m =m+n=n=3f(3)= |/(2)-|/(l),又-4<f (1)(2) <5,/.-i <f (3) <20。评注：题中 f (l)=ac,f (2)=4ac,且