2022年微分方程稳定性理论简介

1、第五节微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程( )dxf xdt（1）右端不显含自变量t ，代数方程( )0f x（2）的实根0 xx称为方程（ 1）的平衡点（或奇点），它也是方程（ 1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解( )x t都满足0lim( )tx tx（3）则称平衡点0 x是稳定的（稳定性理论中称 渐近稳定 ） ；否则，称0 x是不稳定的（不 渐近稳定 ） 。判断平衡点0 x是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（ 1）的解( )x t，因而不利用（ 3）式的方法称直接法，下面介

2、绍直接法。将( )f x在0 x做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：0( )()dxfx xxdt（4）（4）称为（ 1）的近似线性方程。0 x也是（ 4）的平衡点。关于平衡点0 x的稳定性有如下的结论：若0()0fx，则0 x是方程（ 1） 、 （4）的稳定的平衡点。若0()0fx，则0 x不是方程（ 1） 、 （4）的稳定的平衡点0 x对于方程（ 4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（ 4）的一般解是0()0( )fxtx tcex（5）其中 c是由初始条件决定的常数。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13

3、页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - -二、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为112212( )(,)( )(,)dx tf xxdtdxtg x xdt（6）右端不显含 t ，代数方程组1212(,)0(,)0f x xg x x（7）的实根0012(,)xx称为方程（ 6）的平衡点 。记为00012(,)p xx如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解12( ),( )x txt都满足101lim( )tx

4、tx202lim( )tx tx（8）则称平衡点00012(,)p xx是稳定的（渐近稳定 ） ；否则，称 p0是不稳定的（不渐近稳定） 。为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程11 11222122( )( )dx ta xb xdtdxta xb xdt（9）系数矩阵记作1122abaab并假定 a的行列式 det0a于是原点0(0,0)p是方程（ 9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程det()0ai的根（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：2120()detpqpabqa（10）将特征根记作12,，则精品学习资料 可选择p d f - - - -

5、- - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - -2121,(4 )2ppq（11）方程（9）的解一般有形式1212ttc ec e（12）或12()tcc t e（12）12,c c为任意实数。由定义（ 8） ，当12,全为负数或有负的实部时0(0,0)p是稳定的平衡点，反之，当12,有一个为正数或有正的实部时0(0,0)p是不稳定 的平衡点微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类

6、型，完全由特征根12,或相应的,p q取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（ 8）式得下马看花关于稳定性的结论。表 1 由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性12,p q平衡点类型稳定性1220,0,pqpq稳定结点稳定1220,0,pqpq不稳定结点不稳定100q鞍点不稳定1220,0,pqpq稳定退化结点稳定1220,0,pqpq不稳定退化结点不稳定12,20,0,pqpq稳定焦点稳定12,20,0,pqpq不稳定焦点不稳定12,0,0pq中心不稳定由上表可以看出，根据特征方程的系数,p q的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若0,0pq（12）则平衡点稳定，若0

7、p0q或（13）则平衡点不稳定精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - -以上是对线性方程（ 9）的平衡点0(0,0)p稳定性的结论，对于一般的非线性方程（6） ，可以用近似线性方法判断其平衡点00012(,)pxx的稳定性， 在00012(,)pxx点将12(,)f xx和12(,)g x x作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程121

8、2000000112111222000000212111222( )(,)()(,)()( )(,)()(,)()xxxxdx tfxxxxfxxxxdtdxtgxxxxgxxxxdt (14) 系数矩阵记作120001212(,)xxpxxxxffagg特征方程系数为0012012(,)()xxpxxpfg,detqa显然，00012(,)p xx点对于方程（14）的稳定性由表 1 或准则（12） 、 （13）决定，而且已经证明了如下结论: 若方程（ 14）的特征根不为零或实部不为零，则00012(,)p xx点对于方程（ 6）的稳定性与对于近似方程（14）的稳定性相同。这样，00012(,

9、)p xx点对于方程（ 6）的稳定性也由准则（ 12） 、 （13）决定。第六节种群的相互竞争与相互依存当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群） 生存时，人们常用 logistic模型来描述这个群数量的演变过程，即(1)dxxrxdtn (1) x（t ）是种群在时刻 t 的数量，r是固有增长率， n 是环境资源容许的种群最大数量，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（1）可以直接得到，0 x=n是稳定平衡点，即 t 时 x(t) n ，从模型本身的意义看这是明显的结果。如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵

10、与捕食者）的关系。这里将精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - -从稳定状态的角度分别讨论这些关系。一、种群的相互竞争当两个种群为了争夺有限的食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局，例如一个小岛上虽然有四种燕子栖息， 但是它们的

11、食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食， 另两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显地强于其它几种，这里我们建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件。模型建立有甲乙两个种群， 当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从 logistic规律，记12( ),( )x txt是两个种群的数量，12,r r是它们的固有增长率， n1、n2是它们的最大容量，于是对于种群甲有1111(1)dxxrxdtn其中因子11(1)xn反映由于甲方有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，11xn可解释为相对于n

12、1而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物总量为 1） 。当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子11(1)xn中再减去一项，该项与种群乙的数量2x（相对于 n2而言）成正比，得到种群甲方增长的方程11211112(1)dxxxr xdtnn (2) 这里1的意义是，单位数量乙（相对n2而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对 n1）消耗的供养甲的食物量的1倍。类似地，甲的存在也影响了乙的增长，种群乙的方程应该是21222212(1)dxxxr xdtnn (3) 对2可作相应的解释。精品学习资料 可选择p d f - - -

13、 - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - -在两种群的相互竞争中1、2是两个关键指标， 从上面对它们的解释可知，11 表示在消耗供养甲的资源中， 乙的消耗多于甲， 因而对甲增长的阻滞作用乙大于甲，即乙的竞争力强于甲，对21 可作相应的理解。一般地说，1与2之间没有确定的关系，但是可以把下面这种特殊情况作为较常见的一类实际情况的典型代表，即两个种群在消耗资源中对甲增长的阻作用对乙增长的阻滞

14、作用相同， 具体地说就是， 因为单位数量的甲和乙消耗的供养甲方食物量之比是1：1，消耗的供养甲方食物量之比是2：1，所谓阻滞作用相同即 1 ：1=2：1，所以这种特殊情形可以定量地表示为12=1 （4）即1、2互为倒数，可以简单地理解为，如果一个乙消耗的食物是一个甲的1=k 倍，则一个甲消耗的食物是一个乙的2=1/ k 。下面我们仍然讨论1、2相互独立的一般情况，而将条件（4）下对问题的分析留给大家讨论。稳定性分析为了研究两个种群相互竞争的结局， 即 t 时12( ),( )x txt的趋向，不必要解方程（ 2） 、 （3）, 只需对它的平衡点进行稳定性分析。首先根据微分方程（ 2） 、 （3

15、）解代数方程组121211112121222212(,)(1)0(,)(1)0 xxf x xr xnnxxg xxr xnn（5）得到 4 个平衡点：11221122341212(1)(1)(,0),(0,),(,),(0,0)11nnp npnpp因为仅当平衡点们于平面坐标系的第一象限时（12,0 x x）才有实际意义，所以对3p而言要求1、2同时小于 1，或同时大于 1。按照判断平衡点性的方法（见前面）计算精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f -

16、- - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - -1212112111112222221221122(1)2(1)xxxxxxrxrffnnnaggrxxxrnnn12(),1,2,3,4ixxppfgidet,1,2,3,4ipqai将 4 个平衡点 p、q 的结果及稳定条件列入下表*）表 1 种群竞争模型的平衡点及稳定性平衡点p q 稳定条件11(,0)p n122(1)rr1 22(1)r r121,122(0,)pn112(1)rr1 21(1)r r121,1112231212(1)(1)(,)11nnp112212(1)

17、(1)1rr1 21212(1)(1)1r r121,14(0,0)p12()rr1 2r r不稳定注：表中最后一列 “稳定条件” 除了要求p0,q0 以外，还有其他原因， 见下面的具体分析。为了便于对平衡点p1、p2、p3的稳定条件进行分析，在相平面上讨论它们。在代数方程组（ 5）中记1212112(,)10 xxx xnn1212212(,)10 xxx xnn对于1、2的不同取值范围， 直线=0和=0在相平面上的相对位置不同，下面给出它们的 4 种情况 ; 并对这 4 种情况进行分析1、121,1。由表 1 知对于11(,0)p n有 p 0，q 0，1p稳定；1p的稳定性还可以从t 时

18、相轨线的趋向来分析，图1 中=0 和=0 两条直线将相平面（120,0 xx）划分为 3 个区域：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - -图 1 121,11p稳定112:/0,/0sdxdtdxdt (6) 212:/0,/0sdxdtdxdt (7) 312:/0,/0sdxdtdxdt (8) 可以证明，不论轨线从哪个区域出发，t 时都

19、将趋向 p1（n1，0） 。若轨线从 s1出发，由（ 6）可知随着 t 的增加轨线向右上方运动，必然进入s2；若轨线从 s2出发，由（ 7）可知轨线向右下方运动，那么它或者趋向1p点，或者进入 s3，但是进入 s3是不可能的， 因为，如果设轨线在某时刻t1经直线=0进入 s3，则 d1x(t1)/ dt =0,由方程（ 2）不难算出21112122d xrdxxdtndt由（7） 、 （8）知2/dxdt0, 故221/0d xdt，表明1x(t) 在 t1达到极小值，而这是不可能的，因为在s2中1/dxdt0, 即1x(t) 一直是增加的；若轨线从 s3出发，由（ 8）可知轨线向左下方运动，

20、那么它或者趋向1p点，或者进入 s2，而进入 s2后，根据上面的分析最终也将趋向1p。12/n1n1x1po 2n21/n2x1s2s3s00（1）121,11p稳定精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - -综上分析可以画出轨线示意图（图 1） ，因为直线=0上 d1x=0，所以在=0上轨线方向垂直于1x轴；在=0上 d2x=0,轨线方向平行于

21、1x轴。2、121,1，类似的分析可知22(0,)pn稳定。图 2 121,12p稳定3、121,1，由表 1 知对于3p点 p 0，q 0，故3p稳定，对轨线趋势的分析见图 3。图 3 121,13p稳定1n12/n1x3po 21/n2n2x00（3）121,13p稳定1n12/n1x2po 21/n2n2x00（2）121,12p稳定精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 13

22、页 - - - - - - - - -4、121,1，由表 1 知对于3p点 q0，故3p不稳定（鞍点），轨线或者趋向1p，或者趋向2p，由轨线的初始位置决定，示意图见图4，在这种情况下1p和2p都不能说是稳定的，正因为这样，所以1p稳定（与初始条件无关）的条件需要加上11，2p稳定的条件加上21。图 4 121,13p不稳定结果解释根据建模过程中12,的含义，说明1p、2p、3p点稳定在生态上的意义。1、121,1，11意味着在对供养甲的资源的竞争中乙弱于甲，21意味着在对供养乙的资源的竞争中甲强于乙，于是种群乙终灭绝， 种群甲趋向最大容量，即12( ),( )x tx t趋向平衡点11(,

23、0)p n2、121,1，情况与 1 正好的相反。3、121,1，因为在竞争甲的资源中乙较弱，而在竞争乙的资源中甲较弱，于是可以达到一个双方共存的稳定的平衡状态3p， 这是种群竞争中很少出现的情况。4、121,1，请大家作出解释。12/n1x3po 21/n2n2x00（4）121,13p不稳定1n精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - -

24、生态学中有一个 竞争排斥 原理；若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲的最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡， 用本节的模型很容解释这个原理。将方程（ 2） 、 （3）改写为111212111(1)nxxdxnr xdtn221221222(1)nxxdxnr xdtn原理的两个条件相当于121212211,1,nnnnnn从这 3 个式子显然可得121,1，这正是1p稳定，即种群乙灭绝的条件。二、种群的相互依存自然界中处于同一环境下两个种群相互依存而共生的现象是很普遍的，植物可以独立生存。 昆虫的的授粉作用又可以提高植物的增长率，而以花粉为食物的昆虫却不能离开植物单

25、独存活， 人类与人工饲养的牲畜之间也有类似的关系，这种共生现象可以描述如下。设种群甲可以独立存在，按logistic规律增长，种群乙为甲提供食物，有助于甲的增长，类似于前面的方程（2） ，种群甲的数量演变规律可以写作（r1、n1、n2的意义同前）11211112(1)dxxxr xdtnn (9) 1前面的号这里变成 +号，表示乙不是消耗甲的资源而是为甲提供食物，1的含义是 : 单位数量乙（相对于n2）提供的供养甲的食物量为单位数量甲（相对于 n1）消耗的供养甲食物量的1倍。种群乙没有甲的存在会灭亡，设其死亡率为r2，则乙单独存在时有222/dxdtr x (10) 甲为乙提供食物，于是（ 2

26、）式右端应加上甲对乙增长的促进作用，有122221/(1)xdxdtr xn (11) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - -显然仅当121xn时种群乙的数量才会增长， 与此相同乙的增长又会受到自身的阻滞作用，所以93）式右端还要添加logistic项，方程变为12222212/(1)xxdxdtr xnn (12) 方程（ 9） 、

27、（12）构成相互依存现象的数学模型，下面利用平衡点的稳定性分析，讨论时间足够长以后两个种群的变化趋向。类似于前面的作法将方程（9） 、 （12）的平衡点及其稳定性分析的结果列入表 2 表 2 种群依存模型的平衡点及稳定性平衡点pq稳定条件11(,0)p n122(1)rr1 22(1)r r2121,1112221212(1)(1)(,)11nnp112212(1)(1)1rr1 21212(1)(1)1r r12121,1,13(0,0)p12rr1 2r r不稳定显然，2p点稳定才表明两个种群在同一环境里相互依存而共生，我们着重分析2p稳定的条件。由2p的表达式容易看出，要使平衡点2p有实际意义，即位于相平面第一象限 (120,0 xx)，必须满足下面两个条件中的一个：1121221212:1,1,1:1,1,1aa而由表 2