上海2020届黄浦区高考数学一模

1、黄浦区2019学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷2020年1月(完卷时间：120分钟满分：150分)考生注意：1 每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2. 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3. 本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟.、填空题(本大题共有12题，满分54分.其中第16题每题满分4分，第7 12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 设集合 A =x |(x1)(x -2) ：0,集合 B =x |1 ： X ： 3,则 AUB= =.2. 已知z

2、=(a -i)(1 i) ( a R , i为虚数单位)为纯虚数，则 a =.3. 抛物线X2 =8y的焦点到准线的距离为 .2 I 84. X -1的展开式中X4的系数为.(用数字作答)ZVC5. 设二为第二象限的角，Sin”3 ,则tan2r的值为.6. 母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为 .7. 若无穷等比数列a满足：a2aa4 , a5二秸，且ar R(n N*),则数列 丄的所有项的和为 & 四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是.(结果用数字作答)9. 已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点 M在E上， ABM为等腰三角

3、形，且顶角为 120 ,则E的两条渐近线的夹角为10. 已知函数y =f()与y=g()的图像关于直线 X对称，若f()= log2(2x 2),则满足f (x) log23 g(x)的X的取值范围是 11. 设函数y =f (X)的定义域为D ,若对任意的Xr D ,总存在x< D ,使得f (x1) f (X2) =1,则称函数f (x)具有 性质M .下列结论：函数y =X3 -X具有性质M ;函数y =35具有性质M ;若函数log8(X 2), 0,t具有性质M ,则t =510 ;若Y= 3sin： a具有性质M ,则a =5 .其中正确结论的序号是12.I I 1已知正六边

4、形 A1A2A3A4A5A6的边长为2,点P是该正六边形边上的动点，记-=AlP A2P A2P A3P* I*IIA3P A4PA4PA5PA5PAePA6PAlP,则二的取值范围是 .二、选择题(本大题共有 4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.2x 113 .方程 C=5的解集是 ()3 XA. 2B. 2 , -2C. 1 , -1D. i ,一 i14. 将函数y =sin(4x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移 个单位，得到的函数图像的一条对称轴的方程为 ()A. X B. X=

5、 -C. X=D. X=12164215. 若函数f(x)的定义域为R ,贝U “(x)是偶函数"是f(x)=f(x)对一切x R恒成立"的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件16. 设曲线E的方程为-4T-9T=1 ,动点A (m,n), B(-m,n),C( -m,-n), D (m ,-n)在E上.对于结论：四边形X yABCD的面积的最小值为 48;四边形ABCD外接圆的面积的最小值为 25 .下面说法正确的是()A.错，对B.对，错C.都错D .都对三、解答题(本大题共有 5题，满分76分.)解答下列各题必须在答题纸

6、相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在三棱锥P -ABC中，已知PA,PB,PC两两垂直，PB =3 , PC =4 ,且三棱锥P-ABC的体积为10 .(1) 求点A到直线BC的距离；(2) 若D是棱BC的中点，求异面直线 PB,AD所成角的大小(结果用反三角函数值表示).18. (本题满分14分)本题共有2小题，第小题满分 8分，第小题满分 6 分.在厶ABC中，a,b,c分别是角 A,B,C的对边，且acosC =(2b -c)CoSA .(1) 若ABAC=3 ,求 ABC的面积；(2) 若/ ZC，求2c

7、os2 B cos2 C的取值范围.佃(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分.某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y (微克/毫升)与给药时间X (小时)之间的若干组数据，并由此得出 y与X之间的一个拟合函数 y =40(0.6x - 0.62x) (x 0,12),其简图如图所示.试根据此拟合 函数解决下列问题：(1) 求药峰浓度与药峰时间(精确到0.01小时)，并指出血药浓度随时间的变化趋势；(2) 求血药浓度的半衰期(血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间)(精确到0.01小时).20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小

8、题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 X轴上，椭圆C上一点A(2.3, -1)到两焦点距离之和为 8.若点B是椭 圆C的上顶点，点P,Q是椭圆C上异于点B的任意两点.(1) 求椭圆C的方程；T I(2) 若BP _BQ ,且满足3PD =2DQ的点D在y轴上，求直线BP的方程;(3) 若直线BP与BQ的斜率乘积为常数 (,；“ ： 0)，试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点 坐标；若不经过定点，请说明理由.21. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于数列an,若从第二项起的每一项均大于该项之前的

9、所有项的和，则称an为P数列.(1) 若an的前n项和Sn =3n 2 ,试判断佝是否是P数列，并说明理由；(2) 设数列a1, a2 ,a3l,a10是首项为-1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；(3) 设无穷数列an是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列g, q1是从%中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1,T2 ,求an是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题若a 0且Tl订2 ,则an不是P数列”第9页参考答案黄浦区2019学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷2020年1月(完卷时间：120分钟满分：150分)考生注意：1 每位考生

10、应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2. 答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；3. 本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟.一、填空题(本大题共有12题，满分54分.其中第16题每题满分4分，第7 12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 设集合 A =x I(X 1)(x -2) ：0,集合 B =x |1 ： X ： 3,则 AUB= =.【解析】A=-1cx<2> , B=1<xv3,贝U AUB=1 c x < 32. 已知z =(a -i)(1 i

11、) ( a R , i为虚数单位)为纯虚数，则 a =.”fa+1 = 0【解析】z=a*i 1 i =a V a-1i ,由题意知，=a = Ta十03. 抛物线x2 =8y的焦点到准线的距离为 .【解析】焦点F 0,2 ,准线方程为y = -2 ,故抛物线的焦点到准线的距离为4.2 I 84. X -扌的展开式中X4的系数为.(用数字作答)【解析】t*c8(x2芦(丄=c8(-1j严r,V XJ”444当 16-3r =4= r =4 , - X 的系数为 C* T =705. 设二为第二象限的角，s*=3 ,则tan2值为【解析】tantan2 J 二2ta n V1 -tan 口246

12、. 母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长为2：，半径为3,7若无穷等比数列佝满足：a2a3“4 ,a51 ,且an R(nN*),则数列a?.1的所有项的和为16 【解析】 a?a3 = a = a1a4 = a4 = a = 1 ；a :16则数列:a2nj的所有项的和为s(结果用数字作8 四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是答)【解析】 先从4名男生中选出 2名男生捆绑在一起，和剩下的2名男生插入到 2名女生形成的三个空中，故P2P2P =144 种.9.已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点

13、M在E 上， ABM为等腰三角形，且顶角为 120 ,则E的两条渐 近线的夹角为2 2【解析】若双曲线的焦点在X轴上时，设双曲线的方程为 笃-笃=1 a 0,b 0， a b过点M作MN - X轴，垂足为N ,则.NBM =60，可得，MB=IABI =2a , BNl= 2a cos60 =a, MN =2a sin60 =T3a ,故M 2a,、3a ,代入双曲线中，可得 a2 =b2,E的渐近线方程为y =X ,两条渐近线的夹角为90 ;若双曲线的焦点在 y轴上时，同理；综上，E的两条渐近线的夹角为90 .X10.已知函数y=f()与y =g()的图像关于直线 X对称，若f()= log

14、2(22),则满足f (x) log 2 3 g(x)的X的取值范围是 .【解析】注意到f X -X =Iog2 2x 2 1恒成立，故f X在y = X上方；而f 0= log2 3 ,且f X单调递增，故f X f 0可知X 0 ；而 X IOg2 3时，f XIOg23 log2 3 2 = log215 ,即 log23 g x 的解为 X log215 ；综上所述，x 0,log2i5 .11.设函数y =f (X)的定义域为D ,若对任意的Xi D ,总存在X2 D ,使得f (X1) f(X2) =1,则称函数f (x)具有性质M .下列结论：函数y =X3-X具有性质M ；函数

15、y=3x 5x具有性质M ；若函数y =0g8(x 2),X0,t具有性质M ,则t =510 ；若y =3sinX a具有性质M ,则a =5 其中正确结论的D曰 号疋【解析】关于函数值域的问题；若函数值域为-" ,0 U 0, ：,显然符合题意;错误； f 0 =0 ；若函数值域均为正或负，贝IJ：0,r ,:,0 ,或a,b其中ab = 1均符合题意;而值域为0,符合题意；对,3,log8 t 2若具有性质M ,则log8 t 2 = 3= t = 510；对，y;-A1P A2P A2P A3P.4-4'4 4 ,故即紀1-5'故错；综上所述'12.已

16、知正六边形 A1A2A3A4A5A6的边长为2,点P是该正六边形边上的动点，记A4P A4P AP A5P AP A6P AlP ,则二的取值范围是PA2=PM122 2而 PM12 PM 562-M 12M 562PM12卩M 561 222=12 2 4PO - M12M56二 2PO 64二 6PO 12,而l-30,36 L、选择题(本大题共有 4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代 表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13 方程231 =5的解集是3 XA. 2B 2 , -2C. 1 , -1D i ,-i2x 1【解析】=2x 3

17、 = 5 =X = z÷2，选 B .3 X2倍，再向右平移 个单位，得到的函数图像的一14. 将函数y =Sin(4x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的条对称轴的方程为A.B.16C. X【解析】将函数f X =Sini4x图像上的点横坐标伸长为原来的I 3丿2倍，可得函数y = Sin2x -3,再向右平移-个单位'可得( JI)JI ( Jl)y =sin 2 X÷- I=Sin 2xI；3丿3I 3丿k ,5 1令2x飞*Z'得到X=于石K Z ,则此图像的一条对称轴为Xr选A.15. 若函数f(x)的定义域为R ,贝U “(x)是偶函数"

18、是f(x)=f(x)对一切x R恒成立"的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件【解析】若f (x )是偶函数，贝IJ f (x ) = f ( -X )= f ( X )对一切XE R都成立；若f (x )=f (x )对一切XE R都成立，即f (X)= f (x )= H-X ),则f (x)是偶函数。选C.16. 设曲线E的方程为-47 ' -92 =1，动点A (m,n), B(-m,n),C( -m, -n), D (m , -n)在E上.对于结论： 四边形 X yABCD的面积的最小值为 48;四边形ABCD外接圆的

19、面积的最小值为 25 .下面说法正确的是()A.错，对B.对，错C.都错D .都对【解析】四点可构成矩形，不是一般性，其面积，只研究A在第一象限时，与坐标轴围成的矩形面积，4即ABCD492 3122 - 2mn - 12,故面积最小值 48,正确;mnm n矩形外接圆半径，即为对角线一半，即为OA长度;22224m n m n 22Im n2 2一 4n9m “ c c CL=132 厂 _ 132 2 3 = 25;m n故Gin = 5，故Smin= 25二，正确；由选D .三、解答题（本大题共有 5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本

20、题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8 分.在三棱锥P -ABC中，已知PA,PB,PC两两垂直，PB =3 , PC =4 ,且三棱锥P-ABC的体积为10 .（1）求点A到直线BC的距离;（2）若D是棱BC的中点，求异面直线 PB,AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.解:(1)；(2) arccos552518.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分 8分，第小题满分 6分.在厶A BC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且acosC =(2b-c)CoSA .-H -1(1)若AB AC =3 ,求 ABC的面积；解:(2)若/B C ,求2c

21、os2B - cos2C的取值范围.(1)痘；(2) 3924 4 .丿佃（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题8分，第2小题6分.某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y （微克/毫升）与给药时间X （小时）之间的若干组数据，并由此得出 y与X之间的一个拟合函数 y =40（06x - 0.62x） （X 0,12）,其简图如图所示.试根据此拟合 函数解决下列问题：解：(1) 10微克/毫升；1.36小时；I,go.651单调递增，IiOgo.6 0.5,12】单调递减(2) 2.40小时20. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

22、题满分6分.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在 X轴上，椭圆C上一点A(2.3,-1)到两焦点距离之和为 8.若点B是椭 圆C的上顶点，点P,Q是椭圆C上异于点B的任意两点.(1) 求椭圆C的方程；(2) 若BP _BQ ,且满足3PD =2DQ的点D在y轴上，求直线 BP的方程；(3) 若直线BP与BQ的斜率乘积为常数 (“ : 0)，试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.【解析】(1) 2a2=8, ，1621,n(2)由题意,BP,BQ斜率必然存在;设直线BP :联立 y4x'216 XPX 4y -16 = 04k2同理，XQ =16

23、 -丄k1兰1 k216k,若 3PD = 2 DQ ,且 XD k 4宀kk24第18页即 BP : y = ；2x 2或 y 一 - 2x 2 ；(3)设 P X1,y1 , Q X2,y2 ,则 kBP屮-2X1，kBQy2 2yi - 2y2 - 2X2则X1X2而直线PQ方程y = kx b将满足: 22U12164=1 4ky 二 kX b28kbX 4b 16=0 =y1y k XiX22b2-8k b“ 2bb = 1 4k21 4k2y1y2XiX1X2X1X22 2 2 2 22 4k b -16k 8k b X1X2kb X1 X2b21 4k21 4k2b2y2 _2

24、_ yy - 2 y1y24X2X1X2=/u 8kb= 21 4k24b - 164k22 2b -16k1 4k22 2 2b -16k - 4b 416k4b2 - 16b 2=4 b 8 -I 8 2 b =1-4故直线恒过点；0,I 1 4几丿21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8 分.对于数列an,若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称an为P数列.（1） 若an的前n项和Sn =3n 2 ,试判断気是否是P数列，并说明理由；（2） 设数列a1,a2,a3,H,a10是首项为-1、公差为d的等差数列，若该数列是P

25、数列，求d的取值范围；（3） 设无穷数列an是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列bn, c1是从気中取出部分项按原来的顺 序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1,T2 ,求an是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题若a 0且T1订2 ,则an不是P数列”【解析】(1)当 n2 时，a Sn - Snj = 2 3nj ,故 an.1=23n ； an 1 - Sn = 3n - 2 0对 n _ 2 恒成立，故 CaJ 是 P 数列;（2）由题意，an I-1 nd , Sn- -n nn1d ,若其为 P数列，则对 n ",2,.,9 2一1 nd-n nn-1 d 恒成立

26、;2，即 d ：2 n -1n n 12(n-1)n - 11 n - 128显然n =9时取到最小值，即d ：45而 n = 1 时，a2 a1 = -1 d *1 = d 0 ；f 8 、综上所述，d O,-I 45 J（3）（ i）若 q = 1，则 an I= a1， Sn= na1，若 an 1 ' Sn 恒成立即a na1对n N*恒成立，而n =1时该式既不成立，故 q = 1;nn(ii) an 1=；n Cq ,Sh = Q1 -q ;若为P数列，则a1n1 - qqa11 -q1 -q若a <O ,则 qnn:q ;而由a2a1 = q：11 -q(ii-1)若q乞-1 ,则 a： =-P,即 S2 =a1a2-O,2而a3 = a1q ： O ,故不可能;(ii-2)若T < iq : O ,则 qn 一 qn 1Y：1 - qn= qn 2-q ：1 ,显然2 - qO且为定值，而q2n' ： O，O < q2n < q2n ,故只需n = 2时不等式成立即可即 a3 ya? = Qq2 y ag =q2 _ q