多元函数微积分及其应用3

1、第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用一、全微分的定义一、全微分的定义二、可微的条件二、可微的条件368在线手册祝你好运(http:/),(),(yxfyxxf xyxfx ),( ),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二元函数二元函数 对对x和对和对y的的偏微分偏微分 二二 元元 函函 数数 对对x和和 对对y的的 偏偏 增增量量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得一、全微分的定义一、全微分的定义368在线手册祝你好运(http:/)全增量的概念全增量的概念).,(),( , , ),(),( ),( )( ),( yxfyyxxfzzyx

2、pyxfyyxxfyyxxpx,ypyxfz 即即全增量，记为全增量，记为的的对应于自变量的增量对应于自变量的增量为函数在点为函数在点的函数值之差的函数值之差的任一点，则称这两点的任一点，则称这两点为该邻域内为该邻域内内有定义，并设内有定义，并设的某邻域的某邻域在点在点如果函数如果函数368在线手册祝你好运(http:/)全微分的定义全微分的定义. , )( ),( )( ),( )()( , , , )( ),(),( )( ),( 22ybxadzdzx,yyxfzybxax,yyxfzyxyxyxbaoybxazyxfyyxxfzx,yyxfz 即即的全微分，记为的全微分，记为在点在点称

3、为函数称为函数可微分，可微分，在点在点，则称函数，则称函数有关，有关，而仅与而仅与不依赖于不依赖于其中其中可以表示为可以表示为的全增量的全增量在点在点如果函数如果函数 368在线手册祝你好运(http:/)事实上事实上),( oybxaz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf . 0, 00 yx 我们可以证明：我们可以证明：. ),( ),( 处连续处连续在点在点故函数故函数yxyxf. ),( ),( 在该点连续在该点连续可微分，则函数可微分，则函数在点在点若函数若函数yxyxfz . 内可微分内可微分称这函数在称这函数在内各点处处可微分

4、，则内各点处处可微分，则若函数在某区域若函数在某区域dd368在线手册祝你好运(http:/)二、可微的条件二、可微的条件. ),( ),( ),( ),( ),( )( 1 yyzxxzdzyxyxfzyzxzyxyxyxfz 的全微分为的全微分为在点在点且函数且函数必存在必存在，处的偏导数处的偏导数可微分，则该函数在点可微分，则该函数在点在点在点如果函数如果函数必要条件必要条件定理定理368在线手册祝你好运(http:/)证明证明. )( oybxaz 则则),(),(yxfyxxf |),(|xoxa xyxfyxxfx),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzb a, 0 xy

5、 时，上式仍成立，此时时，上式仍成立，此时当当 ),( ),( ，可微分可微分点点在在如果函数如果函数yxyxf ),( ，的某个邻域的某个邻域设点设点pyyxxp 368在线手册祝你好运(http:/)一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存全微分存在在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf处有处有在点在点)0 , 0(. 0)0 , 0()0 , 0( yxff)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx ),0 , 0( ),( 趋近于趋近于沿着直线沿着直线如果考

6、虑点如果考虑点xyyxp 368在线手册祝你好运(http:/)则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 ),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx . )0 , 0( ),( 不可微不可微在点在点故故yxf，而趋于而趋于说明它不能随着说明它不能随着0 0 时，时，当当 0 说明：说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，368在线手册祝你好运(http:/)证明证明),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf . ),( ),( , ),( )(2 可微分可微分连续，

7、则该函数在点连续，则该函数在点在点在点的偏导数的偏导数如果函数如果函数充分条件充分条件定理定理yxyxyzxzyxfz ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在在第第一一个个方方括括号号内内，应应用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理 xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）368在线手册祝你好运(http:/)，时，时，当当0 0, 0 1 yx. , 1的函数的函数是是其中其中yx xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy . ),( ),(

8、处可微处可微点点在在故函数故函数yxyxf，时，时，当当0 0 2 y368在线手册祝你好运(http:/)习惯上，记全微分为习惯上，记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况368在线手册祝你好运(http:/)解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 , 2(exz ,2

9、2)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分为所求全微分为. )1 , 2( 1处的全微分处的全微分在点在点计算函数计算函数例例xyez 368在线手册祝你好运(http:/)解解 xz yzdyyzdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 ),2sin(yxy ),2sin(2)2cos(yxyyx . 44 )2cos( 2 时的全微分时的全微分，当，当求函数求函数例例 dydxyxyxyz368在线手册祝你好运(http:/). )0 , 0( ),( ,)0 , 0( )0 , 0( )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),( 4 22可微

10、可微在点在点而而不连续不连续偏导数在点偏导数在点连续且偏导数存在，但连续且偏导数存在，但在点在点证明函数证明函数例例yxfyxyxyxxyyxf 解解, 1 xu yu,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz ,2cos21yzzey . 2sin 3的全微分的全微分计算函数计算函数例例yzeyxu 368在线手册祝你好运(http:/)证明证明221sin yxxy xy ),0, 0(0yx01sinlim 2200 yxxyyx )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx 同理同理. 0)0 ,

11、0( yf),0 , 0(f 连续，连续，故函数在点故函数在点 )0 , 0( 368在线手册祝你好运(http:/) ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy ),(lim)0,0(),(yxfxyx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在. .时时，当当 )0 , 0(),( yx时，时，趋于点趋于点沿直线沿直线当点当点 )0 , 0( ),( xyyxp 不连续，不连续，在点在点故故 )0 , 0( ),( yxfx368在线手册祝你好运(http:/)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(0022yxoyx . 0)0,0( df. )0 , 0( ),( 不连续不连续