2015届【北师大版】高三数学一轮课时作业【51】（含答案）

1、课时作业51抛物线一、选择题(每小题5分，共40分)1已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B1C. D.解析：如图，|AF|BF|AC|BD|2|MN|3，|MN|，又p，AB中点M到y轴的距离为|MN|.答案：C2(2014·郑州模拟)抛物线y24x上点P(a,2)到焦点F的距离为()A1 B21 / 13C4 D8解析：因为P(a,2)在抛物线y24x上，求得P(1,2)，又抛物线y24x的焦点为F(1,0)，则|PF|2.答案：B3设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若O

2、AF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay2±4x By2±8xCy24x Dy28x解析：由已知得抛物线焦点为F，AF所在直线方程为y2.A，SOAF×·4，a264，a±8，抛物线的方程为y2±8x.答案：B4(2014·济南质检)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y22px(p>0)上的两点，并且满足OAOB，则y1y2等于()A4p2 B3p2C2p2 Dp2解析：OAOB，·0.x1x2y1y20.A、B都在抛物线上，代入得·y1y20，解得y1y24p2.答案：A5

3、(2013·四川理，6)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B.C1 D.解析：抛物线y24x的焦点为(1,0)，双曲线x21的渐近线为y±x.d.答案：B6(2013·北京，7)直线l过抛物线C：x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A. B2C. D.解析：依题意，l的方程为y1，它与抛物线相交弦的长为4，所求的面积，相当于一个矩形面积减去一个积分值，即S42dx42(|).选C.答案：C7(2013·山东理，11)抛物线C1：yx2(p>0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象

4、限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B.C. D.解析：由已知抛物线x22py(p>0)的焦点为A(0，)，双曲线y21的右焦点为B(2,0)，则过A、B两点的直线方程为yx，与抛物线x22py(p>0)联立解得交点M的横坐标为x0，由y知，y，则y|xx0，×，p，解之得p，注意y的焦点为(0，)答案：D8(2014·湖南衡阳一模)若点P到定点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，则点P的轨迹方程是()Ay216x By232xCy216x Dy216x或y0(x<0)解析：点F(4,0)在直线x50的右侧，且P点

5、到定点F(4,0)的距离比它到直线x50的距离小1，点P到F(4,0)的距离与它到直线x40的距离相等故点P的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，设抛物线方程为y22px(p>0)，则p8.故点P的轨迹方程为y216x.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)9(2013·安徽理，13)已知直线ya交抛物线yx2于A、B两点，若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则a的取值范围为_解析：不妨设A(，a)，B(，a)，C(x0，x)，则(x0，ax)，(x0，ax)，ACB90°.·(x0，ax)(x0，ax)0.xa(ax)0，则xa<0.(ax

6、)(ax1)0，ax10.xa1，又x0.a1.答案：a110(2013·江西理，14)抛物线x22py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_解析：如图不妨设A(x0，)F(0，)，FDp，可解得A(，)在RtDFA中，tan30°，.p236，p6.答案：611(2013·浙江理，15)设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点若|FQ|2，则直线l的斜率等于_解析：设lAB：yk(x1)与抛物线y24x联立得k2x2(2k24)xk20，其中(2k24

7、)24k2·k2>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则Q(，)，其中，|FQ|2，解得k±1.答案：±1三、解答题(共3小题，每小题15分，共45分解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)12已知抛物线C：y22px(p>0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解：(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p·1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其

8、准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt由得y22y2t0因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d，可得，解得t±1.综上知：t1.所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.13P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值解：(1)抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x1.P点到准线x1的距离等于P到F(1,0)的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使P到A(1,1)的距离与P到F(1,0)的距离之和最小显然P是

9、AF的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|.即：所求距离的最小值为.(2)|PF|与P点到准线的距离相等，如图，过B作BQ准线于Q点，交抛物线于P1点|P1Q|P1F|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.|PB|PF|的最小值为4.14(2013·湖南理，21)过抛物线E：x22py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k1>0，k2>0，证明：·<2p2；(2)若点M到直线l的距离

10、的最小值为，求抛物线E的方程解：(1)由题意，抛物线E的焦点为F(0，)，直线l1的方程为yk1x，由得x22pk1xp20.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根从而x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pkp.所以点M的坐标为(pk1，pk)，(pk1，pk)同理可得点N的坐标为(pk2，pk)，(pk2，pk)于是·p2(k1k2kk)由题设，k1k22，k1>0，k2>0，k1k2，所以0<k1k2<()21.故·<p2(112)2p2.(2)由抛物线的定义得|FA|y1，|FB|y2，所以|AB|y1y2p2pk2p，从而圆M的半径r1pkp.故圆M的方程为(xpk1)2(ypk)2(pkp)2，化简得x2y22pk1xp(2k1)yp20.同理可得圆N