万有引力与航天--典型例题(修改稿)1

1、万有引力与航天-例题考点一天体质量和密度的计算1解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即Gmanmm2rm(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即Gmg(g表示天体表面的重力加速度)2天体质量和密度的计算(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于Gmg，故天体质量M，天体密度.(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.由万有引力等于向心力，即Gmr，得出中心天体质量M；若已知天体半径R，则天体的平均密度；若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度.可见，只要测出卫星

2、环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度例11798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2.你能计算出()A地球的质量m地 B太阳的质量m太C月球的质量m月 D可求月球、地球及太阳的密度1天体质量的估算“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟已知引力常量G6.67×1011

3、 N·m2/kg2，月球的半径为1.74×103 km.利用以上数据估算月球的质量约为()A8.1×1010 kg B7.4×1013 kg C5.4×1019 kg D7.4×1022 kg2天体密度的计算“嫦娥三号”探测器已于2013年12月2日1时30分，在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥三号”携带“玉免号”月球车首次实现月球软着陆和月面巡视勘察，并开展月表形貌与地质构造调查等科学探测已知月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0，地球和月球的半径之比为4，表面重力加速度之比为6，则地球和月球的密度之比为()A. B. C4 D6

4、估算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有rR；计算天体密度时，VR3中的R只能是中心天体的半径考点二卫星运行参量的比较与计算1卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心例

5、2(2013·广东·14)如图1，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动，下列说法正确的是()图1A甲的向心加速度比乙的小 B甲的运行周期比乙的小C甲的角速度比乙的大 0D甲的线速度比乙的大3卫星运行参量的比较(2013·海南·5)“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍下列说法正确的是()A静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍B静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍C静止轨道卫

6、星的角速度大小约为中轨道卫星的D静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的4同步卫星问题的有关分析已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是()A卫星距地面的高度为 B卫星的运行速度小于第一宇宙速度C卫星运行时受到的向心力大小为GD卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度同步卫星的六个“一定”考点三卫星变轨问题分析1当卫星的速度突然增大时，G<m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v 可知其运行速度比原轨道时减小2当卫星的速度突然减小时，G&g

7、t;m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v 可知其运行速度比原轨道时增大卫星的发射和回收就是利用这一原理例3在完成各项任务后，“神舟十号”飞船于2013年6月26日回归地球如图2所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道进入椭圆轨道，Q为轨道上的一点，M为轨道上的另一点，关于“神舟十号”的运动，下列说法中正确的有()图2A飞船在轨道上经过P的速度小于经过Q的速度B飞船在轨道上经过P的速度小于在轨道上经过M的速度C飞船在轨道上运动的周期大于在轨道上运动的周期D飞船在轨道上经过P的加速度小于在轨道上经过M的加速度5变轨中

8、运行参量的比较2013年12月2日，我国探月探测器“嫦娥三号”在西昌卫星发射中心成功发射升空，此飞行轨道示意图如图3所示，地面发射后奔向月球，在P点从圆形轨道进入椭圆轨道，Q为轨道上的近月点下列关于“嫦娥三号”的运动，正确的说法是()图3A发射速度一定大于7.9 km/sB在轨道上从P到Q的过程中速率不断增大C在轨道上经过P的速度小于在轨道上经过P的速度D在轨道上经过P的加速度小于在轨道上经过P的加速度6变轨中运行参量的比较如图4所示，搭载着“嫦娥二号”卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100 km、周期为11

9、8 min的工作轨道，开始对月球进行探测，则()图4A卫星在轨道上的运动速度比月球的第一宇宙速度小B卫星在轨道上经过P点的速度比在轨道上经过P点时的大C卫星在轨道上运行周期比在轨道上短D卫星在轨道上的运行周期比在轨道上长考点四宇宙速度的理解与计算1第一宇宙速度又叫环绕速度推导过程为：由mg得：v1 7.9 km/s.2第一宇宙速度是人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度3第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度注意(1)两种周期自转周期和公转周期的不同(2)两种速度环绕速度与发射速度的不同，最大环绕速度等于最小发射速度(3)两个半径天体半径R和卫星

10、轨道半径r的不同(4)第二宇宙速度(脱离速度)：v211.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(5)第三宇宙速度(逃逸速度)：v316.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度7第一宇宙速度的理解与计算某人在一星球表面上以速度v0竖直上抛一物体，经过时间t后物体落回手中已知星球半径为R，那么沿星球表面将物体抛出，要使物体不再落回星球表面，抛射速度至少为()A. B. C. D.8宇宙速度的理解与计算2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星已知火星的质量约为地球

11、质量的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是()A发射速度只要大于第一宇宙速度即可B发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的考点五双星或多星模型绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示，双星系统模型有以下特点：图6(1)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即m1r1，m2r2(2)两颗星的周期及角速度都相同，即T1T2，12(3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1r2L(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即(5)双星的运动

12、周期T2 (6)双星的总质量公式m1m2例5宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用相互绕转，称之为双星系统在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图7所示若AO>OB，则()图7A星球A的质量一定大于星球B的质量B星球A的线速度一定大于星球B的线速度C双星间距离一定，双星的质量越大，其转动周期越大D双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大（选做）9双星模型(2013·山东·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星

13、系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为()A.T B.TC.T D.T练出高分一、单项选择题1(2013·江苏单科·1)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积22013年6月13日，神舟十号与天宫一号成功

14、实现自动交会对接假设神舟十号与天宫一号都在各自的轨道做匀速圆周运动已知引力常量为G，下列说法正确的是()A由神舟十号运行的周期和轨道半径可以求出地球的质量B由神舟十号运行的周期可以求出它离地面的高度C若神舟十号的轨道半径比天宫一号大，则神舟十号的周期比天宫一号小D漂浮在天宫一号内的宇航员处于平衡状态3一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的，不考虑卫星质量的变化，则变轨前、后卫星的()A向心加速度大小之比为41B角速度大小之比为21C周期之比为18D轨道半径之比为124随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已不是梦想假如我国宇航员登上月球并在月

15、球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后小球回到出发点已知月球的半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是()A月球表面的重力加速度为B月球的质量为C宇航员在月球表面获得 的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动D宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为 5小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图1所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回当第一次回到分离点时恰与航天站对接登月器快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行已知月球

16、表面的重力加速度为g0，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为()图1A4.7 B3.6C1.7 D1.462012年，天文学家首次在太阳系外找到一个和地球尺寸大体相同的系外行星P，这个行星围绕某恒星Q做匀速圆周运动测得P的公转周期为T，公转轨道半径为r.已知引力常量为G，则()A恒星Q的质量约为B行星P的质量约为C以7.9 km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面D以11.2 km/s的速度从地球发射的探测器可以到达该行星表面72012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如

17、图2所示此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中()图2A它们做圆周运动的万有引力保持不变B它们做圆周运动的角速度不断变大C体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小8为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国发射了一颗火星探测器假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出()A火星的质量B探测器的质量C火星

18、对探测器的引力D火星表面的重力加速度万有引力与航天-例题-答案例1解析对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g，所以地球质量m地，选项A正确对地球绕太阳运动来说，有m地L2，则m太，B项正确对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误答案AB变式题组1答案D解析由Gm(Rh)()2，解得月球的质量M42(Rh)3/GT2，代入数据得：M7.4×1022 kg，选项D正确2答案B解析设星球的密度为，由Gmg得GMgR2，联立解得：，则：，将4，6代入上式，解得：，选项B正确例2答案A解析由万有引力提供向心力得Gm

19、m2rmamr，变形得：a，v ， ，T2 ，只有周期T和M成减函数关系，而a、v、和M成增函数关系，故选A.变式题组3答案A4答案BD解析天体运动的基本原理为万有引力提供向心力，地球的引力使卫星绕地球做匀速圆周运动，即F万F向m.当卫星在地表运行时，F万mg(R为地球半径)，设同步卫星离地面高度为h，则F万F向ma向<mg，所以C错误，D正确由得，v < ，B正确由，得Rh ，即h R，A错误例3解析由开普勒行星运动定律可知选项A正确；飞船在轨道上做匀速圆周运动，故飞船经过P、M两点时的速率相等，由于飞船在P点进入轨道时相对于轨道做向心运动，可知飞船在轨道上P点速度小于轨道上P点

20、速度，故选项B正确；根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道上运动的周期小于在轨道上运动的周期，选项C错误；根据牛顿第二定律可知，飞船在轨道上经过P的加速度与在轨道上经过M的加速度大小相等，选项D错误答案AB递进题组5答案ABC解析“嫦娥三号”探测器的发射速度一定大于7.9 km/s，A正确在轨道上从P到Q的过程中速率不断增大，选项B正确“嫦娥三号”从轨道上运动到轨道上要减速，故在轨道上经过P的速度小于在轨道上经过P的速度，选项C正确在轨道上经过P的加速度等于在轨道上经过P的加速度，D错6答案AC例4】答案(1)(2)解析(1)设木星探测器在题述圆形轨道运行时，轨道半径为r，由v可得：r由题意可知，

21、T联立解得r(2)探测器在圆形轨道上运行时，万有引力提供向心力，Gm.设木星的第一宇宙速度为v0，有，Gm联立解得：v0 v由题意可知Rrsin ，解得：v0.变式题组7答案B解析要使物体不再落回星球表面，抛射速度必须达到星球的第一宇宙速度，满足v ，而由竖直上抛规律知v0gt，所以v ，B对8答案CD解析根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火，R火，则.【例5】解析设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，两者间距为L，周期为T，角速度为，由万有引力定律可知：mA2RAmB2RBRARBL由式可得，而AO>OB，故A错误vARA，vBRB，B正确联

22、立得G(mAmB)2L3，又因为T，故T2 ，可知C错误，D正确答案BD变式题组9答案B解析双星靠彼此的引力提供向心力，则有Gm1r1Gm2r2并且r1r2L解得T2当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T2·T故选项B正确练出高分1答案C解析火星和木星在各自的椭圆轨道上绕太阳运动，速度的大小不可能始终相等，因此B错；太阳在这些椭圆的一个焦点上，因此A错； 在相同时间内，火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，因此D错本题答案为C.2答案A解析神舟十号和天宫一号都绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，则有m(Rh)，得T ，已知周期和轨道半径，又知道引力常量G，可以求出地球质量M，A对只知道周期而不知道地球质量和轨道半径无法求出高度，B错由T可知轨道半径越大，则周期越大，若神舟十号的轨道半径比天宫一号大，则神舟十号的周期比天宫一号大，C错漂浮在天宫一号内的宇航员和天宫一号一起做匀速圆周运动，不是处于平衡状态，D错3答案C解析根据Ekmv2得v ，所以卫星变轨前、后的速度之比为.根据Gm，得卫星变轨前、后的轨