求二次根式的关系式

1、华师大版九年级下册第 26 章二次函数专题复习之求二次函数的表达式一、教材分析1 教材的地位和作用函数是初等数学中最为基本的概念之一， 贯穿于整个初等数学体系之中， 也是实际生活中数学建模的重要工具之一。 二次函数在初中函数的教学中有重要地位， 它不仅是初中代数内容的引申， 更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定了基础。 研究函数的基础知识和基本技能，是一种重要的数学能力，也是中考考查的重要内容。待定系数法是初中数学学习的重要数学方法， 根据具体问题求二次函数表达式是中学函数部分的常考内容，也是解决其他问题的基础。因此，本节课的学习非常关键，根据题目的具体情况、不同的条件， 灵活地选用函数解

2、析式的形式， 熟练地利用待定系数法求二次函数表达式，是解决二次函数其他所有问题的第一步，具有承上启下的作用。2 .教学目标：通过教学，让学生掌握： （ 1）已知图象上任意三点坐标的二次函数解析式； （ 2）已知图象的顶点和另一点的坐标的二次函数解析式；3 3） 已知图象与x 轴的两个交点和另一点的坐标的二次函数解析式；4 4）会通过对简单现实情境的分析，确定二次函数的解析式。能根据具体情况确定二次函数的表达式， 在学习过程中发展学生的转化、化归思维方式。知识与能力：1 .进一步理解二次函数解析式的几种不同形式；2 . 会根据题目的条件，灵活地选用函数解析式的形式，熟练地利用待定系数法求二次函数

3、的表达式。3 .会利用二次函数解决实际问题。过程与方法：1 .通过用多种方法求二次函数的表达式,培养学生的一题多解能力及探索意识 .2 .经历对给出条件的思考和讨论的过程，体会用待定系数法求二次函数表达式的规律。情感态度与价值观：在学习过程中， 进一步树立同学之间的合作学习精神， 提高学生 参与数学学习和解决问题的能力，增强数学学习的自信心。3 .教学重点、难点重点 ：选用最适当的方法确定二次函数的解析式难点：根据不同的条件灵活的选择恰当的解析式从而用待定系数法求函数表达式。4 突破重难点办法：通过做题总结归纳待定系数法、顶点式适用的题目二、学情分析从认知状况来说，学生在此之前已经学习了用待定

4、系数法确定函数的表达式， 对求函数表达式已经有了初步的认识， 这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础， 但对于顶点式和两根式， 学生可能会产生一定的困难，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨，以符合学生的心理发展特点， 从而促进知识的掌握和思维能力的进一步发展。三、教法与学法分析教法分析： 针对学生思维特点和心理特征， 本节课我采用启发式、合作探究以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动， 以独立思考和相互交流的形式， 在教师的指导下共同探索根据不同的条件灵活的选择恰当的解析式从而用待定系数法求二次函数表达式。学法分析 ：从学生的认知状况来看，通过学生观察

5、，动手，动脑，自主探究，合作交流的学习方法，提高学生解决问题的能力。四、教学过程本节课设计了八个教学环节： 1.学情简介； 2 情境导入； 3.知识回顾；4.知识探究；5.知识运用； 6.中考链接； 7.课堂小结；八.拓展作业。导入本节课我们一起来进一步学习二次函数表达式的确定。二次函数表达式的确定是历年中考的一个重要考点， 更是中考压轴题后续问题得以解决的先决条件，因此，希望通过这节课的学习，每个同学都能熟练的掌握确定二次函数解析式的方法。一、 学情简介二次函数的图象和性质是初中数学的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，而且常与方程、几何、三角等综合在一起，出现在压

6、轴题之中 ,而确定抛物线解析式往往设置在压轴题的第一问，在压轴题中打头阵。因此，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的表达式是解决综合应用题的基础和关键。设计意图： 明确确定二次函数表达式的重要性，提升认知掌握的必要性。二、情境导入先睹为快： 同学们请先观察与思考河南省2015年、 2016年中考第 23题第一问？你有什么感悟?(2015 河南23鹿)如图,边长为8的正方形 OABC的两边在坐标 轴上，以点C为顶点的抛物线经过点儿点 尸是抛物线上点力。间 的一个动点(含端点)，过点P作PF _L BC于点 E 点。”后 的坐标分别为(。，6)、-4,0),连接 PDtPE, DE.户与点

7、力或点c重合时，PD与PF的差为定值.进而猜想：对于任意一点户，户曾与户F的差为定值.请你判断该猜想是否正确，并说明理由;(3)小明进一步探究得出结论二若将“使尸QE的面积为整数”的 点五记作“好点”，则存在多个“好点且使的周长最小的 点P也是一个"好点请直接写出所有“好点”的个数，并求出尸。后 的周长最小时“好点”的坐标.0016河南，23题)如图1, 五*虹二+ n交_*M 于.也A > 文、 轴于*C (0t 4>，被物纹尸 |x+bK十七经过卷八，文y轴干忐6 «2) .点。为梃和珑上的一个罚点”过点P作工轴的叁珑PD . 过点H作BD J_ PO于点D

8、,在捱PB.( 1)求匆舫绿,的痹行式.(2) 当4HDP为竽胜乱的三角彤时，来戏段PD的长(3)如图2,将BDP跷.占.H逆时升族*“得利3日口十*, 且上PB1S = Z<1A( 当点P的对应惠P.落在坐标轴上时， 请互提写出P点的史将BlKZ设计意图：进一步明确求二次函数表达式的考点，激发学生的求知 欲望，以便接下来更有目标有方向的复习三、知识回顾（一）（ 1）开口向下且过（ 0， 3）的抛物线是（）A 、 y=-x2+x+3 B 、 y=x2+3x+2 C 、 y=x+3 D 、 y=-x+3（ 2）开口向下，顶点为（-1 ， 2）的抛物线是（）A 、 y=-2（x+1）2+2

9、B 、 y=-2（x-1）2+2 C 、 y=（2x+1）2+2 D 、 y=x2+1（ 3）开口向上，且与x 轴交于（ -3 ， 0） ； （ 2， 0）的抛物线是（）A 、 y=3（x-3）（x+2） B 、 y=2（x+3）（x-2）（ 4）将抛物线y=x2 向右平移5 个单位后的解析式是（ ） 。设计意图： 1. 用简单的问题解决来带动知识的回顾2. 同时又检查了基础知识点的掌握与巩固。知识回顾（二）提问： 1. 二次函数表达式常见的几种模型？2. 平移，配方如何？3. 如下图所示，观察如何合理选择二次函数的表达式？生答：1. 一般式：y=ax2 +bx+c （a w0）顶点式（平移式

10、）：y=a（x+m）2 +k （a w0）交点式：y=a（x- x1） （x- x2） （ a 丰 0）2. 从 y=ax2 到 y=a（x+m）2 再到 y=a（x+m）2+k3. 如图一，已知抛物线上三点的坐标，通常选择一般式；如图二，已知抛物线上顶点坐标，通常选择顶点式；如图三，已知抛物线与x 轴的交点坐标，选择交点式。师总结： 可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则 . 二次函数的关系式可设如下三种形式：(1) 一般式：y= ax2+bx+c(a w0),给出三点坐标可利用此式来求 (2)顶点式：y=a(x-h) 2=r(a w0),给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式 来求.(3

11、)交点式：y= a(x-x1)(x-x2), 其中x1、x2为图象与x轴两交点的横坐标.=国数寿达大肢合理达碎一般式二1=办2十五/C fit丰0 )如图一，已就抛物线上三点的坐标，通常选A艇式.顶点式(平移 式):j=a(x-A)24-Ar S/ 0 )如图二，已知抛物线上顶肩坐标，通常选择顶点式。交 点式：=火乂-工 J(X72)(0/ 0 )设计意图:1 .用直观形象的图像展示二次函数表达式的合理选择,2 .培养学生课堂上数学语言表达能力的提高，3 .复习学过的待定系数法，为本节的学习做好铺垫。四、知识探究 问题一：已知二次函数的图像如下图所示，求其解析式函二7） 已加二次鬲我的陶像如图

12、所示.承其府忻丈.学生活动：（1）学生自主完成并集体交流。（2）学生可能有三种设法： 设一般式、设交点 式、顶点式。（3）通过比较分析发现一般式适用面广，但解法较复杂；交点式与两根式解法简单，但需要特定的条件。所以在选择方法的时候我们需要找到 最适合自己的方式。（4）再此基础上提出应用，水到渠成便于学生理解选对方法的重要性。问题二：已知一个二次函数的图象过点（0,-3）（4,5）对称轴为直线x=1,求这个函数的解析式?师导：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利 用顶点坐标公式。请大家试一试，比较它们的优劣。解：设所求的二次函数表达式为 y=a（x-1）2+k已知一个二次国却筋髀

13、： 谈所求的 次由数为依界意得#谷4+&.+广=©L -=i2tr设计意图： 此两题要求学生有一题多解的能力， 学会分组讨论出结果， 并发表自己的想法和做法，最后通过讨论得出最优解题方案。1. 采用一般式、 顶点式和交点式都可求解， 通过对比可发现用顶点式和交点式求解比用一般式求解简便。2. 同时也培养学生一题多思、 一题多解的能力， 从不同角度进行思维开放、解题方法开放的培养。3. 注重解题技巧的养成训练，可事半功倍。问题三：将抛物线y =x2+2x+6向左平移4个单位，再向下平移3 个单位，求平移后所得抛物线的解析式。学生活动：1. 讨论交流，归纳总结求二次函数的解析式易

14、犯的错误2、通过做题使学生能够灵活的运用平移规律来确定解析式。设计意图：经历对给出条件的思考和讨论的过程， 体会用平移法求二次函数表达式的规律“左加右减自变量，上加下减常数项” 。五、知识运用 问题四：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面 A B的宽为20ml如 果水位上升3米时，水面CD的宽为10m(1)建立合适的直角坐标系，求点 A B C D的坐标，并设出抛物线的解析 式。(2)求当正常水位时，拱桥的顶端离水面有多少米？师导：首先，提示学生注意抛物线型拱桥与圆形拱桥的区别；然后将实际问题 抽象为几何问题；提出思路，总结方法；建立不同的坐标系，可以求出不同的解 析式。同时可以选择不同

15、的方法，解决问题。学生解析：(1)以AB的中点为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y=a(x+ 10)(x 10)(2)以A点为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y=a(x 20)(x 0)(3)过C点作AB的垂线，垂足为O,以点。为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y = a(x+ 5)(x15)或：y= ax2+ bx + 3(4)以抛物线的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y= ax2(2)(3)(4)(5)以CD的中点为坐标原点建立平面直角坐标系可设抛物线：y=a(x+ 5)(x 5)如图:抛物线：y=a(x + 10)(x 10)抛物线：y =ax2+bx 或

16、y = a(x 20)(x 0)抛物线：y=a(x+5)(x 15) 或：y = ax2+bx +3设计意图：1 .策略开放型问题，只给出一定的问题情景，其条件、解题策略，结论中的两个或全部都要学生在情景中自行识定和寻找。2 .策略开放型问题的求解可培养学生的发散思维能力 。通过求二次函数关系式解决实际问题， 培养学生应用教学意识，并从中获得成功的体验。六、中考链接（2015河南23眶）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标 轴上，以点C为顶点的抛物线经过点4点P是抛物线上点 人匚间 的一个动点（含端点），过点尸作尸/_LSC于点E点D、E的坐标 分别为（0.6）,（ -4,0）,连接尸。

17、，尸C ）魁避肯出一些物缆暨曳毛;一万不萌戢赢广西莅亶爱痂鱼益P与点4或点C重合时，PD 与PF的差为定直进而猜想：对于任意一点P,PD与PF的差为定 直 请你判断该猜想是否正确，并说明理由;（3）小明进一步探究得出结论：若将“使尸DM的面积为整数”的 点尸记作"好点'则存在多个“好点"且使PQE的周长最小的 点P也是一个“好点，请直接写出所有好点'*的个数，井求出 dPDE的周长最小时“好点”的坐标.设计意图：前呼后应解决中考题，激发学生的求知欲望，增强学生学习数学的信心。七、课堂小结1 .通过这节课的学习活动，你有哪些收获？学生活动：(1)先学生自己讨论

18、交流(2)归纳总结本节课的知识结构。师总结：确定二次函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的 关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则 .二次函 数的关系式可设如下三种形式：一般式：y=ax2+bx+c(a w0),给出三点坐标可利用此式来求.(2)顶点式：y = a(x-h) 2=r(a w 0),给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来 求. 交点式：y= a(x-x1)(x-x2),其中x1、x2为图象与x轴两交点的横坐标.2 .你还有哪些困惑？说出来，与同学们分享。思维提炼利用特定系数法建立解析式模型二次函数表达一根据题目给定的信息灵活选择关系式求系

19、数女I数J XZ程思屈I券器结合思相L设计意图：通过小结梳理本节课的重点知识及数学思想；从而培养学生的知 识概括能力及对数学思想、方法的掌握。八、布置作业必做题：教材33页复习题第7、13题.选做题：1 .请写出一个开口向上，与y轴交点的纵坐标为-1 ,且经过点(1 , 3)的抛物线的 关系式_.2 .教材复习题c组第15题.知识拓展3 .有座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20ml如果水位上升3米时， 水面CD的宽为10m(1)建立如图直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一艘载有救援物质的货船，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥 280km,货船以40km/h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连 降暴雨，造成水位以每小时0. 25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在 AB 处，当水位到达CD时，禁止船只通行)试问：如果货船按原速行驶，能否安全 通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货船安全通过此桥，