2022年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷参考答案

1、2022 年福建省高中数学竞赛2022（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：20225229：0011：30160）一、填空题（10660）1f (x) 3cos(xsin(x)（ 0）的最小正周期为 f (x在区间6300，上的最大值为。23【答案】 23【解答】f (x)3cos(x)sin(x)3cos(x)sin(x)63662 3cos(x ) cos(x ) 4cos(x ) ，且 f (x) 的最小正周期为 。666 2 ， f (x) 4cos(2 x x ， 时， 2x，626663， 2x ，即x 0时，f (x)在区间0上取最大值2。3，166212已知集合Axx23

2、x20 xx 3 ，若A B ，则实数a 的取值范围为。【答案】 (1)2【解答】Ax1 x 2。由 1 a ，得ax 3a 1 0 。 a 0时，B xx x3x 3。满足 A B 。a 0ax10 x (31a10 ，B xx 3 x 3 A B 。x3x3a a 0ax10 x (31a1 0 ，B x31 x 3A B ，得3 1 1x3x3a a 0 。a2a 1。a 的取值范围为(1)。22函数f(x) x2 lnxx2 2零点的个数为。【答案】 1【解答】 f(x)2xlnxx2x x(2ln x3)。220 x e 3 f (x 0 x e 3 f (x 0 。2222f(x)

3、在区间(0e3 )上为减函数，在区间(e3)上为增函数。22331又0 x2时，lnx110，f (x) x2(lnx1)20；22 33f (e2e3(1)20f(e2e2 20。2 函数 f(x1或：ylnxy1图像交点的个数。x2如图，在正方体ABCD ABC D 中，二面角B ACD的大小为。【答案】 1201 1111C【解答设正方体棱长为1。作BE AC于E，连结DE。DC111由正方体的性质知， A DC A BC 。11AB DE AC ， BED为二面角B ACD的平面角，11BE DE 11232，BD 。D232AB22 cos BED 213232 323232 323

4、2（第 （第 4 题）D1C1 二面角B ACD的大小为。A11AC 、BD 交于点O BEO 60 BED 120 。DEB1CAB5 ABCD AB 2 BC 3 CD 4 DA 5 AC BD 。AD AB AD AB BC CD。AB BC CD 为基底向量。则AD2AD2 ( AB BC CD)2 ，CCAD2AD2 AB2BC2CD22ABBC2ABCD2BCCD。25 4 9 16 2(AB BC ABCD BC CD)，AB BC AB CD BC CD 2 。AC BD (AB BC) (BC CD) AB BC AB CD BC CD BC BC 2 9 7 。BDx2已知

5、直线l过椭圆C：y2 1的左焦点F且交椭圆C于A、B两点。O为坐标原x22点，若OAOB，则点O到直线AB的距离为。6【答案】63【解答】 F(10)x ABxty1。 x ty 1由 x2，得(t2 2)y2 2ty10 2 y2 110A(x1)，B(x1y y21 t2 2，y y 1 2。t2 2由OA OB ，得(t2 1)2tx x yy (ty 1)(ty 1)y y (t2 1)y yt(y y )1t1 0 。1 21 211 21 211t2 2t2 2 (t2 1)2t2 t2 20t2 。21t21 126 点O到直线AB1t21 12633已知zC若关于x的方程x2

6、2zxi 0（i 为虚数单位有实数根则复数z 的34模z 的最小值为。【答案】 1【解答】z abi（abRx x0是方程x2 2zxi 0的一个实数根。343x2 2(a bi)x 3 i 0 。0043 x2 2ax 0 004。 2bx01 011133b2 1由得，x，代入，得2a0，3b24ab10，a 。04b23b2 1452513535 z 2成立。 a2 b2()2 b2 b2 1b1616b2888时等号5z1。2552555（a ，b 或a ，b ，即z (25 i)。2552555555555将16 本相同的书全部分给4 个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数互

7、不相同，则不同的分配方法种数为（用数字作答）【答案】 216【解答】 将16 分解成4 个互不相同的正整数的和有9 种不同的方式：1612310，161249，161258，161267，161348，16 13 5 7 ，16 1 4 5 6 ，16 2 3 4 7 ，16 2 3 5 6 。 符合条件的不同分配方法有9A 44 216 种。(xRf(0)1008xRf(x4) f(x2(x1)，f(x12) f(x)6(x5)，则f(2016) 。2016【答案】504【解答】对任意xR，f(x4) f(x)2(x1)，f(x12) f(x)f(x12) f(x8)f(x8) f(x4)f

8、(x4) f(x) 2(x 8) 1 2(x 4) 1 2(x 1) 6x 30 6(x 5)又 f (x 12) f (x) 6(x 5)，f(x12) f(x) 6(x5)。f (2016) f (2016) f (2004)f (2004) ff (12) f (0) f(0)62009619976510086(20095)168100810081008。2f (2016) 504。20162x yz 17【答案】174xz yz的最大值为。x2 y2 z2217【解答】 x2 16 z2 216xz，当且仅当x 4z时等号成立，17171711717111717y2 z217 2yz，

9、当且仅当y z时等号成立。117161162117 x2 y2 z2 (x2 174xz yz17z2y2 z2 2xz2yz(4xz yz。171716171741x2 y2 z2立。，当且仅当x z，y z，即xyz 41：17 时等号成171721717174xz yz的最大值为。17x2 y2 z22注：本题利用待定系数法。将z2 拆成两项 z2 和(1 )z2 。由x2 z2 2 xz，11221y2 (1 )z2 2yz ，以及，得 。由此得到本题的解法。117二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程）已知数列a的前n项和S 2 （n N *

10、。nnn求 an的通项公式a；n设bn 1 an1n(n1)是数列bn的前n 项和，求正整数k ，使得对任意n N * 均有T T ；kn设cn (1 anan 1)(1)n 1，R 是数列cn的前nnN* Rn 成立，求 的最小值。（1）由Sn 2an2，得n 2an 2。两式相减，得n 2an 2a 。n an 1 2an，数列an为等比数列，公比q 2 。由又S1 2a12，得a1 2a1 2 ，a1 2 。 a 2n 。 5分n111 n(n1)（2）b1 。n2nn(n1)n(n1)2nb1 0 ，b20 ，b30 ，b40。当n 5n(n1) (n1)(n2) (n1)(n2)0，

11、得当n5 n(n1) 为2n2n 12n 12nn 5 n(n 1) 5(5 1) 1。2n251 n(n1)n n 5 时， bnn n(n1)21 0 。T T12 T T ，T34T T。56。 对任意n N* 均有T4T 。故k 4。 10分n（3） can 12n 12(11) 15n(1an)(1n )(1 2n )(12n 1)2n 12n 11(12n 1 R2 (11)(1(12n 11) 2(11) 2 2。n35592n 1 132n 1 132n 1 1 对任意nN*Rn 成立， 2 。 的最小值为2 。 20分33f (x) ln(axbx2（a 0。y f (x在点

12、 (1)y x，求a b 的值；f (x) x2 x恒成立，求ab的最大值。【解答（1）f(x)a 2x。ax b依题意，有f (1)a a 2a 1 b 2 。 f (1)ln(ab)11 a 1 ，b 2。5分（2）g (x) f (xx2 xg(x) ln(ax b x g (x) 0。 a 0g(x)定义域(b)，ax 使得bb 1e b 1 baa b 。000aag(x0) ln(ax0b) x0ln(ax0b)(b)(b 1) baaa 1 0 g (x) 0矛盾。 a 0时，g(x)0不恒成立，即a 0不符合要求。10分a(x a b ) a 0时，g(x)a1ax ba（ax

13、b 0。ax b当 b x a b g(x) 0 x a b g(x 0 。aaa， g(x)在区间(bab)上为增函数，在区间(ab)上为减函数 aaa， g(x)在其定义域(b )g(ab)。aaaba bg(x0g() lna 0。aa b a a ln a 。15分 ab a2 a2 ln a 。ee设h(a) a2 a2 ln a ，则h(a 2a 2a ln a a a(1 2ln a。ee 0 a h(a0a 时， h(a) 0 。e h(a)在区间(0，e)上为增函数，在区间()上为减函数。eee h(a)的最大值为h(e) e。22e 当 a e，b eeab 取最大值为 。

14、e22eab 。20分2为的外接圆，DA是的切线，且ABC，EDB与的另一交点。点F 在上，且，G 是CF DA 的交点。求证：FCOABDFCOABDGE（第13题）【解答】在ABC 和ABD DA 是的切线知，BAD BCA 。又DBA ABC 。 ADB CAB 。 A B E 、C 四点共圆， CAB CEB 180 。5 分 ADE DEC 180 。 ECDA 。10 分， ECBFDG 。EC BF 是的两条平行弦知CF EB 。 GC DE ， GF DB 。15 分又GA2 GF GC DA2 DB DE 。 GA2 DA2 AG AD 。20 分x2如图，F、F 为双曲线C

15、：y2 1的左、右焦点，动点P(x2) （ 1 ）在双124000曲线C 上的右支上。设F PFx轴于点M(m0)yN 。12求m 的取值范围；设 过 F1，N 的直线l 交双曲线C 于点 D ，E两点，求F2DE 面积的最大值。【解答（1）依题意，F(50)，(50)。PFy1y 02(x5)PF 方y1y 00 x 520(x5) 。x 50PFx(x5)y5y 0；（第14题）PF21y00 x (x005)y5y00 0 。ym5yy m5y由点M(m0)在FPF 的平分线上，得0000。12y2 (x 5)2y2 (x 5)20000由5 m5 ，1 y2 1 x2 122。0040

16、0555 y2 (x 5)2 x2 25x 4 (x 2)2 ， y2 (x 5) 2 ( 2)2 。00400200020m55 55。m 。 5分4x4x 2x 202020 x022，得0 4 2 。x0 m的取值范围为0，2。 10分y 0404（2）由（1）知，直线 PM 方程为 y 04x 0 x0(x。x00 ( 1 )4y11y1x0y0坐标为(0)。k 0。x2 4y00yl505y005y 直线l 方程为 y 5y1(x5)。 y 由由 x21(x5y05y0 x 得(5y2 4) y2 10 y0y10 4 y2 1 的判别式 100 y2 4(5 y2 4) 80 y2

17、 16 0 。00010y1D(x1) ，E(x1y y2105 y2 0，y y1 25 y2 40。 15分y y12。( y y )2 ( y y )2 4 y y121 2(10y05 y2 40)2 415 y2 045 y2105 y2 40由y 1，得y y0 0 ，y y 0。015 y2 01 25 y2 401245 y21245 y210 y 0，y 0 ， FF y25。1212225 y2 40设5 y2 4 t ，则t 1，t25 t25 1t5()2 t1011120S303045t t 54545。 t 1P P(21)F2302230DE面积取最大值4。 F2

18、DE 面积的最大值为4。 20分求满足下列条件的最小正整数nA1， n63 个两两不相交的子集（它们非空且并集为集合A）A ，A， A ，A，则总存在两个正整12363x y Ai（1 i 63 ）x y 31x 32 y 。【解答】考虑模 63 的剩余类，即将集合 A 划分为如下 63 个两两不相交的子集：Aaa 6k ikNi 1，2，3，63。 5分iAi（1i 63）x yAi（x y ）x y 63 。y x 63 x n 。 32 y 31x 32(x 63) 31x x 3263 n 2016 。若n 2016 ，则32 y 31x n 2016 0 31x 32 y ，与31x 32 y 矛盾。 n 2016时，不满足题设条件。 10分n 2016 2016 32