高三数学特殊数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明知识精讲

1、高三数学特别数列求和、数列极限的意义及运算、数列极限的应用、数学归纳法、归纳猜想、证明学问精讲一. 特别数列求和：1. 概念：这里所指的“特别数列”是指中学阶段能够求和的数列，包括：等差、等比数列，常数列，自然数列，自然数的平方数列，自然数的立方数列，项部分相消数列等；数列求和，就是通过一些手段将数列转化为上述这些特别数列而达到求和的目的；2. 常用求和公式（ 1）等差： snna12an na1nn21) dna1 q1（ 2）等比： sna1 11q n q1qn1（ 3）inn1i 12nn n1 2n1（ 4）i 2i 1n3n n61 2（ 5）ii 123. 常见数列求和的方法大致

2、有五种如：直接由求和公式求和（如等差、 等比数列的求和） ，裂项分组求和，裂项相消求和，错位相减求和，倒序相加求和；（ 1）在求等比数列前n 项和 sn 时，肯定要留意分清公比q1 仍是 q1；（ 2）裂项法的关键是讨论通项公式，裂项的目的是转化成几个等差或等比数列或自然数的平方组成的数列求和，或者正、负相消；（ 3）错位相减法求和， 主要用于一个等差与一个等比数列相应项相乘所得的数列求和；（ 4）含有组合数的数列求和，留意考虑利用组合数的性质公式求和或利用倒序相加求和；（ 5）三角函数求和考虑裂项相消求和或利用复数转化为等比数列求和；学习时，仍要留意归纳总结一些常见类型的数列求和方法；二.

3、数列极限的意义及运算1. 数列极限的概念对于数列 a n ，假如存在一个常数a ，无论预先指定多么小的正整都能在数列中找到一项 a n 使得这一项后面的全部项a n 与 a 的差的肯定值都小于，（即当 nn 时，恒有 |a na|成立），就把常数a 叫做数列 an 的极限，记作：lim；aann2. 数列极限概念的懂得懂得数列极限的概念要留意以下几点：（ 1）a 与 n 无关，a 与无关，a 与 n 无关；a 是否存在以及a 的值确定， 由数列 an 来打算；（ 2）n 与 n 无关， n 与有关，一般来说，的值不同， n 也不同；另一方面n 并不1惟一， 由于假如 n 具有该性质， 那么 n

4、1，n2，nk kn 都具有该性质，考察数列的极限时并不需要找出n 的最小值；（ 3）定义的核心是“对一切nn ，都有 |ana|”这个不等式成立，也就是有aana，这里“0 ”是“任意预先给定”而不是“存在”一个0 ；（ 4）有穷数列无极限，数列极限的讨论对像是无穷数列；（ 5）不是全部的无穷数列都有极限；假如一个数列有极限，那么其极限也只有一个；3. 数列极限四就运算n假如 lim ana， lim bnnb ，那么（ 1） lim ann（ 2） lim annbn abbn abana（ 3） limb0nbnb（ 4） lim c an nca （ c 为常数）kk（ 5） limn

5、an a（ k 为常数）4. 几个常用极限及其应用（ 1） limn（ 2） limcc（ c 为常数）10nn01q1n（ 3） lim qn1q1无|q|1或q10mpmm 1a0 na1 nama0（ 4） limpp 1mpnb0 nb1 napb0无 mpn（ 5） lim anlim ann1 （无穷数列）三. 数列极限的应用1. 数列的各项和的概念无穷数列各项的和，它的实质是前n 项和 sn 的极限；2. 无穷递缩等比数列的各项和公式sa1| q|11q3. 无穷递缩等比数列各项和存在的充要条件是|q|用范畴；4. 综合运用1（ q0 ），要留意公式的含义及适（ 1）化循环小数为

6、分数，基本方法是转化为无穷递缩等比数列的各项和；（ 2）求某些特别数列的各项和；（ 3）与几何图形有关的应用问题；2基本解题思路是：第一结合图形分析相邻图形的依靠关系，论证所求问题可否组成一个无穷等比数列，且公比肯定值小于1，然后代入运算；四. 数学归纳法用数学归纳法证明命题的详细步骤是：（ 1）证明当n 取第一个初始值n0 （例如 n01， n02 等）时，结论正确；（ 2）假设当 nkkn且kn0 时结论正确，证明当nk1 结论也正确；在完成这两个步骤后，就可以肯定命题对从nn0 开头的全部的自然数n 都正确；上面的证明第一步是递推基础，其次步是递推的依据，两者缺一不行；五. 归纳、猜想、

7、证明1. 懂得归纳法的意义由一系列有限的特别事例得出一般性结论的推理方法通常叫做归纳法；2. 懂得不完全归纳法与数学归纳法之间的关系本节是不完全归纳法与数学归纳法并举，简洁而快速的运算是抽像的前提，常见的等差、等比数列的有关结论是抽像的桥梁，而运用数学归纳证明才是抽像的归宿；3. 把握归纳推理的思维方法求解某些数学问题而不能直接找到解题途径，可先考查几个连续的初始特例；归纳出规律，猜想结论，这是关键，规律的发觉要凭借体会，有时仍要合理变形；例 1. （ 2001·全国）已知等差数列前三项为a，4， 3a，前 n 项和为 sn ， sk（ 1）求 a 及 k 的值；111（ 2）求 l

8、im2550ns1s2sn解析：（ 1）设等差数列为 an sk2550，就 a1a， a24，a33a由已知有 a3a24解得 a 1a2公差 da 2代入公式 ska12k k1ka12d 得：2kk k1 2整理得 k 2k2255025500k50， k故 a2，k51（舍去kn）50（ 2）依据（ 1）的结果及等差数列求和公式可求得3snnn11111snnn1nn1111s1s2sn11 11223 1111nn1n1lim111 1nsns2sn例 2. （ 1994 全国理 25）设 an 是正数组成的数列，其前 n 项和为 sn ，并且对全部自然数n、an 与 2 的等差中项

9、等于 sn 与 2 的等比中项；（ 1）写出数列 an 的前三项；（ 2）求数列 an 的通项公式（写出推证过程）；1 a n 1a n（ 3）令 bn nn ，求 lim b1b2bnn2 a nan 1nan2解：（ 1）由题意2 s ， a0nn2a12令 n1 时，解得 a 122a222 s1 ， s1a1令 n2 时，有解得 a 262a322 s2 ， s2a1a 2令 n3时，有2解得 a 3102 s3， s3a 1a2a3故该数列的前三项为2、6、10（ 2）解法一：由（ 1）猜想数列 an 有通项公式a n4n2 ；下面用数学归纳法证明数列 a n的通项公式是a n4n2

10、 nn 1 当 n1时，由于4122 ，又在（ 1）中已求得a12 ，所以上述结论正确；2 假设 nk 时，结论正确，即有a k4 k2由题意有ak222 sk得 a k4k2 代入上式，得2k2sk解得 sk2k 2由题意有ak 1222 sk1 ， sk 1ska k 1得 sk2k 2 代入得 a k 122 22a k 12k 2 k1整理 a 24ak 1416k 20由于 a k 10 解得 a k 124 k4所以 a k 124k4 k12这就是说 nk1时，上述结论成立依据 1 、2上述结论对全部自然数n 成立；解法二：由题意有1a n2222sn nz 整理得 sn由此得

11、sn 1a n8n1 a82212122所以 a n 1sn 1sn an 182) a n2整理得 an 1a n a n 1an40由题意知 a n 1an0所以 a n 1an4即数列 an 为等差数列其中 a 12 ，公差 d4所以 a na1n1 d24n1即通项公式an4n2（ 3）令 cnbn1 ，就nc1 an 1an22anan 11 2n11 2n1122n1112n12n1b1b2 c1c22n1bnn cn11 11 11335112n12n12n11所以 lim b1b2nbnnlim 1n12n1说明：该题的解题思想是从所给条件动身，通过观看、试验、分析、归纳、概括

12、、猜想出一般规律，然后再对归纳，猜想的结论进行证明，对于自然数n 的命题，可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳，概括和数学变换的才能；例 1. 某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆， 估计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为爱护城市环境， 要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解： 2001年末汽车保有量为b1 万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2 万辆， b3 万辆，每年新增汽车x 万辆，就 b130，b2b10.94x ，对于 n1 ，有5bn 1bn0.94xbn 10.94 210.94xbb0.94

13、 nx10.9409. 4 n 1 n 11b10.94 n10.94 nx0.06xx30n0.94当 300.06x0.060 ，即 x1.8 时， bbb30当 300.06x0.06n 1n10 ，即 x1.8 时lim blimx 30x0.94n 1 xnnn0.060.060.06x并且数列 bn 逐项增加，可以任意靠近0.06因此，假如要求汽车保有量不超过60 万辆，即bn60nx1， 2， 3，就0.0660 ，即 x3.6 （万辆）综上，每年新增汽车不应超过3.6 万辆例 3. （ 2002 天津理· 22）已知 an 是由非负整数组成的数列，满意a10，a23，

14、 an1 anan 12 an 22， n3， 4， 5（ 1）求 a3 ；（ 2）证明 anan 22，n3， 4，5（ 3）求 a n 的通项公式及其前n 项和 sn ；解：（ 1）由题意得a3 a410 且 a3 、a4 均为非负整数所以 a 3 的可能的值是1， 2， 5， 103如 a31，就 a4如 a35 ，就 a 410， a 52， a5与题设冲突；235与题设冲突；23如 a310， a 41， a560， a 6与题设冲突；5所以 a 32（ 2）用数学归纳法证明；<1>当 n3，a3a12 等式成立；<2>假设当 nk k3 时等式成立，即a k

15、a k 22由题设 a k1a k ak 12 a k 22由于 a ka k 220所以 a k 1ak 12也就是说当nk1时，等式 a k 1ak 12 成立6由（ 1）（ 2）得对于全部n3 ，有 an 1a n 12（ 3）由 a2k 1a2k 12 ， a10 及 a2ka2 k 12，a23得 a2 k 12k1，a2 k2k1，k1， 2， 3，即 ann1 n ， n 11， 2， 3，所以 snn n21 ，当n为偶数1 n n121， 当n为奇数说明：此题主要考查数列与等差数列前n 项和等基础学问，以及精确表述，分析和解决问题的才能；1. 设数列 a n 满意： a1a2

16、1，a32，an an1 an2 an 3100anan 1an 2an 3 ，n1 ，且 an a n1 a n2 1 对一切 n 都成立，试求：s100ai 之值；i 12. 已知数列 a n 的首项 a13 ，且对任意自然数n 都有2n n1) ；（ 1）求 a n ；（ 2）设 bn1a1 a2 a3，求数列 bn a na n的前 n 项和；1a n 13. 设 an 为无穷等比数列且lim aa23nan ，就首项 a1 的取值范畴是 （）4a. ， 1 21b.0，1c. ， 02d. ，0， 24. 设等差数列 a n 的前 n 项和为 sn，且 sn 1a n 2 ，如 bn

17、21 n s ；n（ 1）求数列 bn 的前 n 项和 tn 的表达式；bn（ 2）如 limntn的极限存在，试求此极限；5. 设正数数列 a 的前 n 项的和为s，通项为 a，且知 s1 a1 ，用数学归纳法证明：annnn1nnnn2an6. 已知数列 a n 满意 a1b， b2) ，且 an 112annn（ 1）试将 a n 表示为 b 的函数；（ 2）试求 lim a1a2a3 nan 7参考答案 1. 由已知条件有：对任何n1， an a n1 a n2 a n 3ana n 1an 2a n 31an 1 an2 a n3 an 4a n 1an 2an 3an 42 1 2

18、 得an 1 an2 an3 a na n 4 a nan 4即 a na n 4 a n1a n2 a n310而由已知 a n1a n2a n3 1 知 a n 4an n1即 an 是以4 为周期的数列，又一个周期内各项之值a1a 2a 3a 48 而100254故 s1002582002112. （ 1）由已知得ana n 12n n1nn1anan 1 an 1an 2 a2a1 a12 11nn11n11 1n2213（ 2）由于 a1a 2a 3an2n345n1n2123n1nn1 n2121 n21所以 bn2 n1 n2n1n2所以 snb1b2bn11111123. d2334nn21n1n2lim a 2a3na4 4a n 的公比 |q|1a211q4a1q11q4即q14a111|1|14 a11解得 a 1应选 d或 a1024. （ 1） tn1 nnn128（ 2） 2略解：（ 1）由 a1s 1a1 2 得 a111