高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 抛物线的几何性质课件3 新人教B版选修1-1

1、2.3.2 抛物线的几何性质 第1课时 抛物线的几何性质 图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程220ypx(p) 220 xpy(p) 220 xpy(p) 2p(0) ，2p(0,)2p(0,) 220ypx(p) 2p(0)，2px 2px 2py 2py 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？以讨论抛物线的哪些几何性质？【思考思考】 抛物线有许多重要性质抛物线有许多重要性质. .我们根据抛物线的我们根据抛物线的标准方程标准方程研究它的一些简单几何性质研究它的一些简单几何性质. .探究点探究点 抛物线的简单几

2、何性质抛物线的简单几何性质）（ 1 )0(22ppxy1.1.范围范围 因为因为p0，由方程（，由方程（1）可知，对于抛物线）可知，对于抛物线（1）上的点）上的点m (x，y)，x0，所以这条抛物线在，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与轴的右侧，开口方向与x轴正向相同轴正向相同; 当当x的值增大时，的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，右上方和右下方无限延伸，y r.2.2.对称性对称性 以以y代代y，方程，方程（1）不变，所以这条抛物线不变，所以这条抛物线关于关于x轴对称轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做我们把抛物线的对称轴叫做抛物线抛物线

3、的轴的轴3.3.顶点顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点.在在方程（方程（1）中，当）中，当y=0时，时，x=0，因此抛物线（，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点的顶点就是坐标原点4.4.离心率离心率 抛物线上的点抛物线上的点m与焦点的距离和它到准线的与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做距离的比，叫做抛物线的离心率抛物线的离心率，用，用e表示由抛表示由抛物线的定义可知，物线的定义可知，e=1还记得椭圆、双曲线的离心率的范围吗？还记得椭圆、双曲线的离心率的范围吗？方程方程图图形形范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率y2 = 2px（p0）y2 =

4、-2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）lfyxolfyxolfyxox0yrx0yrxry0y0 xrlfyxo关于关于x轴对称轴对称关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴抛物线只有一条对称轴,没有对称中心没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率抛物线的

5、离心率e是确定的，为是确定的，为;【总结提升总结提升】解：解：因为抛物线关于因为抛物线关于x x轴对称，它的顶点在坐标原轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点点，并且经过点m m（，），所以，可设它的标（，），所以，可设它的标准方程为准方程为2 22y2px(p0),因为点因为点m m在抛物线上，所以在抛物线上，所以2( 2 2)22,p因此因此, ,所求抛物线所求抛物线的的标准方程标准方程是是24 .yx 【例例】 已知抛物线关于已知抛物线关于x x轴对称，它的顶点为坐标轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点原点，并且经过点m m（，），求它的标准方程（，），求它的标准方程. .2 2即即p

6、 =2.p =2.2214yxf,a,bab.l 【例例 】斜斜率率为为的的直直线线 经经过过抛抛物物线线的的焦焦点点且且与与抛抛物物线线相相交交于于两两点点，求求线线段段的的长长分析：分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线又直线l的斜率为的斜率为1 1，所以可以求出直线，所以可以求出直线l的方程；的方程；与抛物线的方程联立，可以求出与抛物线的方程联立，可以求出a,b两点的坐标；两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出利用两点间的距离公式可以求出 ab.这种方这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，

7、我们介绍另外一种方法下面，我们介绍另外一种方法数形结合的方法数形结合的方法.1122112111aaab a(x ,y ),b(x ,y ).afaaa .aad ,dx,afdx.bfbbdx, 如如图图，设设由由抛抛物物线线的的定定义义可可知知，等等于于点点 到到准准线线的的距距离离设设而而于于是是同同理理，于于是是得得122abafbfxx.12 a,bxx ,ab . 由由此此可可见见，只只要要求求出出点点的的横横坐坐标标之之和和就就可可以以求求出出xyofabba 1211abafdx,bfdx,122abafbfxx.于于是是1 01 f( , ),ab yx. (1)由由已已知知

8、得得抛抛物物线线的的焦焦点点为为所所以以直直线线的的方方程程为为211 012p p, f( , ), :x.l 由由意意可可知知，焦焦解解：准准1122aba(x ,y ),b(x ,y ),a,bld ,d .如如图图，设设到到准准线线 的的距距离离分分别别为为由由抛抛物物线线的的定定义义可可知知题题点点线线lxyofabba 221414yx, (x)x,将将（）代代入入方方程程得得2610 xx.化化简简得得126xx. 利利用用根根与与系系数数的的关关系系可可以以直直接接求求出出8ab.所所以以，线线段段的的长长是是1232 232 2 x,x,由由求求根根公公式式得得1228abx

9、x.于于是是还可以如何还可以如何求求x1+x2?设而不求设而不求分析：分析：运用抛物运用抛物线的定义和平面线的定义和平面几何知识来证比几何知识来证比较简捷较简捷 如上题，求证：以如上题，求证：以ab为直径的圆和抛物线的准为直径的圆和抛物线的准线相切线相切【变式练习变式练习】 所以所以eh是以是以ab为直径的为直径的圆圆e的半径，且的半径，且ehl，因而圆，因而圆e和准线和准线l相切相切证明：证明：如图，设如图，设ab的中点为的中点为e，过，过a，e，b分别向准分别向准线线l引垂线引垂线ad，eh，bc，垂足分别为，垂足分别为d，h，c，则则afad，bfbcabafbfadbc =2eh范围范围抛物线只位于半个坐标平面内，虽然抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线它也可以无限延伸，但没有渐近