黑龙江省哈尔滨市2024-2025学年高二上学期10月月考 数学试卷含答案

数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（

）A． B． C． D．答案：C解：在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（

）A． B． C． D．答案：D解：由题意可得，设，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐标为.故选：D.3．已知两条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A解：当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则（

）A．16 B． C．4或 D．或16答案：C解：由点在平面内，若点，可得，因为平面的一个法向量，且点到的距离为，可得，即，解得或.故选：C.5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B解：解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选：B．6．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（

）A．9 B．12 C．18 D．24答案：B解：设直线：，，因为直线过点，所以，即，所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.故选：B.7．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（

）A． B．C． D．答案：A解：平行六面体中，，因为，，，，所以，所以，即的长为.故选：A.8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（）A．2+2 B． C． D．答案：B解：如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，则，在中，，则，在中，，则，在中，，由余弦定理：，则，所以截面周长为：.故选：B.9．下列命题中正确的是（

）A．若向量满足，则向量的夹角是钝角B．若是空间的一组基底，且，则四点共面C．若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为答案：BC解：对A：若，则向量的夹角是钝角或向量反向共线，故A错误；对B：，即有，故四点共面，故B正确；对C：假设不是空间中的一个基底，则存在实数，使，即，由向量是空间的一个基底，则向量不共面，故不存在这样的实数，即是空间的一个基底，故C正确；对D：设直线与平面所成角为，则，由题意可得，，则，故D错误.故选：BC.10．以下四个命题为真命题的是（）A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为B．直线的倾斜角的范围是C．直线与直线之间的距离是D．直线恒过定点答案：BD解：对于A，当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为，综上，所求直线方程为或，故A错误；对于B，直线的斜率，所以倾斜角的范围是，故B正确；对于C，直线，即为，故直线与直线之间的距离为，故C错误；对于D，由，得，由，解得，所以定点为，故D正确.故选：BD.11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（

）A．不存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大答案：CD解：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，对于A，假设存在点，使得，由，，所以，解得，即点Q与D重合时，，A错误；对于B，假设存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为，由，，所以，方程无解；所以不存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为，B错误；对于C，连接；设，因为，所以当，即点Q与点D重合时，取得最大值2，又点N到平面AMQ的距离，所以，C正确；对于D，由上解题思路知：，，若是面QMN的法向量，则，令，则，得，因为，设直线DC与平面QMN所成的角为，，所以，当点Q自D向C处运动时，的值由0到2变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.故选：CD.三、填空题12．已知，则向量在上的投影向量的坐标是．答案：解：因为，，所以，向量在上的投影向量是，其坐标为.故答案为：.13．当点到直线l：距离的最大值时，直线l的一般式方程是．答案：解：解：∵直线l：，∴可将直线方程变形为，∴，解得，，由此可得直线l恒过点，所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA．∵，∴直线l的斜率为，∴，∴，∴直线l的一般方程为．故答案为：．14．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体的一个顶点，定义多面体在点P处的离散曲率为，其中（，2，……，k，）为多面体的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以P为公共点的面.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点S在底面的射影O为的中点.若该四棱锥在S处的离散曲率，则直线与平面所成角的正弦值为.

答案：解：由题意可知，四棱锥的四个侧面三角形全等，则，因为四棱锥在处的离散曲率，则，，设，则，又，则，而，所以，解得，作于，则为的中点，因为是正三角形，所以，作于，则，且，则，连接，由平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，作于，则平面，所以即是直线与平面所成角，则.故答案为：.

四、解答题15．已知直线，.(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.答案：(1)或(2)或解：（1）设原点O到直线m的距离为，则，解得或；（2）由解得，即m与n的交点为.当直线l过原点时，此时直线斜率为，所以直线l的方程为；当直线l不过原点时，设l的方程为，将代入得，所以直线l的方程为.故满足条件的直线l的方程为或.16．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.(1)求直线的方程和点C的坐标；(2)求的面积．答案：(1)，，(2).解：（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上，于是，解得，即点，设关于直线的对称点为，则有，解得，即，显然点在直线上，直线的斜率为，因此直线的方程为，即，由，解得，则点，所以直线的方程为，点C的坐标为.

（2）由（1）得，点到直线的距离，所以的面积.17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．(1)求证：平面．(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．答案：(1)证明见解析；(2)存在，的值为.解：(1)因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，所以平面.(2)假设在棱上是否存在点，使得平面，取中点，连接，，如下图：因为，，所以，，从而，故平面，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图：由题意可知，，，，，设，因为点在棱上，故，，所以，故，设平面的法向量为，故，令，则，，从而平面的法向量可以取，因为平面，所以，解得，，故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时，即，从而.18．已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，.(1)求的长；(2)若为的中点，求二面角的余弦值；答案：(1)2(2)解：（1）因为底面为矩形，所以，，因为底面，底面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以为直线与所成的角，即，设（），则，，在中，，又，所以，解得或（舍去），所以.（2）在平面内过点作交的延长线于点，连接，因为底面，底面，所以，又，，，平面，所以平面，又平面，所以，所以为二面角的平面角，因为为的中点，所以，，所以，设二面角的平面角为，则，所以，即二面角的余弦值为.19．如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点，

(1)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.答案：(1)；(2)解：（1）取中点，连接，由，得，而平面平面，平面平面平面，则平面，过作，则平面，又平面，于是，在矩形中，，，则，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，设平面的法向量为，则，令，得，设直线BC与平面所成的角为，则，所以直