2022年《概率论》期中测试题参考解答

1、优秀学习资料欢迎下载概率论期中测试题参考解答1、 （10 分）设 abc、 、表示三个随机事件，试用事件abc、 、的运算分别表示下列各事件：(1) a不发生而 bc、都发生；表示为：abc(2) abc、 、三个事件至少有一个发生；表示为： abcuu；或表示为：abcabcabcabcabcabcabcuuuuuu(3) abc、 、三个事件至多有一个发生；表示为：abcabcabcabcuuu(4) abc、 、恰有两个不发生；表示为：abccabbacuu；(5) abc、 、都不发生；表示为：abc(6) abc、 、三个事件不少于两个发生；表示为： abbcacuu；或表示为：ab

2、cabcabcabcuuu(7) abc、 、同时发生；表示为： abc(8) abc、 、三个事件不多于两个发生；表示为：abcuu；或表示为：abc或表示为：abcabcabcabcabcabcabcuuuuuu(9) abc、 、不全发生；表示为：abcuu；或表示为：abc精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载或表示

3、为：abcabcabcabcabcabcabcuuuuuu(10) abc、 、恰有一个发生 . 或表示为：abcabcabcuu2、 （14 分）已知()0.6,()0.3,( )0.6,p ap abp b求：(1)()p ab；(2)()p ab；(3)()p abu；(4)()p ab；(5)()p a b ；(6)()p b a ；(7)()p a bau. 解： （1）因为0.3()()()()p abp abp ap ab，所以有()()0.31()0.30.40.30.1p abp ap a；（2）()()()1()()(10.6)0.10.3p abp ap abp ap a

4、b（3）()( )()()0.40.60.10.9p abp ap bp abu；（4）()()1()10.90.1p abp abp abuu；（5）()0.11()()0.66p abp a bp b；（6）()()0.33()()1()0.44p abp abp b ap ap a；（7）()()()()( )()()p a bap abaap a bap bap bp ap bauuuu()( )()()()p abp bp ap bp ab()0.11()()0.60.17p abp ap ab3、 （8 分）一个盒子中有 10个球，其中 4 个黑球 6 个红球，求下列事件的概率：(

5、1) a=“从盒子中任取一球，这个球是黑球” ；(2) b=“从盒子中任取两球，刚好一黑一红”；(3) c =“从盒子中任取两球，都是红球” ；(4) d =“从盒子中任取五球，恰好有两个黑球”. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载解： （1）141102()5cp ac； （2）11462108()15c cp bc；

6、 （3）262101( )3cp cc；（4）234651010( )21c cp cc4、 （3 分）设甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1 1 2,3 2 3，求目标被命中的概率 . 解：设1a=“ 甲命中目标 ” ；2a=“ 乙命中目标 ” ；3a=“ 丙命中目标 ” ； a=“ 目标被击中” 。则123aaauu，且123,aaa独立。故有，123123123( )()1()1()p ap aaap aaap a a auuuu1231()()()1(1 1/ 3)(1 1/ 2)(12/ 3)8/9p a p ap a5、 （6 分）设某批产品中 , 甲、乙、

7、丙三厂生产的产品分别占45%、35%和 20%，各厂的产品的合格品率分别为96%、98%、95%. 现从中任取一件， (1) 求恰好取到不合格品的概率；(2)取到的不合格品是由甲厂生产的概率. 解：设 a=“ 任取一件产品，恰为不合格品” ；ib=“ 任取一件产品，恰为第i 条流水线生产 ” ， i =甲，乙，丙。()0.45p b甲，()0.35p b乙，()0.20p b丙，(|)0.04p a b甲，(|)0.02p a b乙，(|)0.05p a b丙。（1）由全概率公式有：()() (|)()(|)()(|)p ap bp a bp bp a bp bp a b甲甲乙乙丙丙=0.45

8、0.04+0.35 0.02+0.20.05=0.035（2）由贝叶斯公式有：()() ( |)0.450.04(| )=0.51429()( )0.035p abp bp a bp bap ap a甲甲甲甲精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载6、 （8 分）在电源电压不超过200 伏, 在 200240伏和超过 240

9、伏三种情形下 ,某种电子元件损坏的概率分别为0.1, 0.001和0.2. 假设电源电压 x )25,220(2n,试求：(1)该电子元件损坏的概率； (2)在该电子元件损坏时， 电源电压在 200240伏的概率 . (注：7881.0)8.0() 解：设a=“ 该电子元件损坏 ” ；1b=“ 电源电压不超过200 伏” ，2b=“ 电源电压在 200240伏” ，3b=“ 电源电压超过 240伏” 。已知(|)0.1p a b1，(|)0.001p a b2，(|)0.2p a b3200220()(200)()( 0.8)25p bp x11(0.8)10.78810.2119，24022

10、0200220()(200240)()()2(0.8)10.57622525p bpx2，240220()(240)1(240)1()1(0.8)0.211925p bp xp x3，（1）由全概率公式有：()()(|)()(|)()(|)p ap bp a bp bp a bp bp a b112233=0.21190.1+0.5762 0.001+0.2119 0.2=0.064146（2）由贝叶斯公式有：()()( |)0.57620.001(| )=0.008983()()0.064146p abp bp a bp b ap ap a22227、 （6 分）设在一次试验中，事件a发生的

11、概率为 p ，现进行n次独立试验，试求: (1) a恰好发生两次的概率； (2) a至少发生两次的概率； (3) a至多发生两次的概率 .解： 设x表示n次独立试验中事件a发生的次数，易知( ,)xb n p。（1）222(2)(1)nnp xc pp；（2）2(2)(1)niin inip xc pp；或000111(2)1(0)(1)1(1)(1)nnnnp xp xp xc ppc pp精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

12、 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载11(1)(1)nnpnpp；（3）20(2)(1)iin inip xc pp；8、 （ 6 分 ）从37 五 个 整 数 中 任 取 三 个 不 同 的 数 ， 设 为123,x xx， 记123min,xx xx，求：(1) x 的分布列； (2) x 的分布函数；(3) 24px.解： （1）随机变量 x 的可能取值为： 3,4,5且有24356(3)10cp xc；23353(4)10cp xc；22351(5)10cp xc。所以x的分布列为：x3 4 5 p6/10 3/1

13、0 1/10 （2）分布函数036 /1034( )9 /104515xxf xxx；（3）( 24)(3)(4)9/10pxp xp x；9、 （6 分）设随机变量x 的分布函数为0,20.3,21( )0.5,130.7,371,7xxf xxxx，求：（1） x 的分布列；（2）()e x； （3）()var x. 解： （1） x 的可能取值为分布函数( )f x的间断点： -2,1,3,7；(2)( 2)( 10)0.300.3p xff；(1)(1)(10)0.50.30.2p xff；(3)(3)(30)0.70.50.2p xff；(7)(7)(70)10.70.3p xff；

14、所以x 的分布列为：x-2 1 3 7 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载p0.3 0.2 0.2 0.3 （2）()20.31 0.23 0.270.32.3e x；（3）22222()( 2)0.310.230.270.317.9e x；222()()()17.92.312.61var xe xe x。10、 （3

15、分）随机变量 x 服从泊松分布，且(0)(1)p xp x，求(2)p x. 解：因为 x 服从泊松分布，即( )xp，故 x 的分布列为：()!kp xkek，因为(0)(1)p xp x，所以有010!1!ee，得1，所以2111(2)2!2ep xe11、 （14 分）设随机变量x 的密度函数为,03( )2,3420,kxxxf xx其它，(1)确定常数 k ；(2)求随机变量 x 的分布函数； (3)求712px； （4）求()e x； （5）求()var x. 解： （1）由34031( )(2)2xf x dxkxdxdx，16k；故,036( )2,3420,xxxf xx其他

16、（2） x 的分布函数( )()( )xf xp xxf t dt，（i）当0 x时，( )( )00 xxf xf t dtdt；（ii ）当 03x时，200( )( )0612xxtxf xf t dtdtdt；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载（iii ）当 34x时，20303( )( )0(2)23624xx

17、ttxf xf t dtdtdtdtx；（iv）当4x时，034034( )( )0(2)0162xxttf xf t dtdtdtdtdt；故22000312( )2334414xxxf xxxxx（3）773221137411( )(2)26248xxpxf x dxdxdx；或2777171411( )(1)23222421248pxff。（4）34037()( )(2)623xxe xxfx dxxdxxdx；（5）3422220337()( )(2)626xxe xx f x dxxdxxdx；22237713()()()6318var xe xe x。12、 （3 分）设随机变量

18、x 的分布列如下，试求2yxx 的分布列 . x21012p0.30.20.10.30.1解：因为：x21012精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载p0.30.20.10.30.12yxx2 0 0 2 6 所以2yxx 的分布列为：y0 2 6 p0.3 0.6 0.1 13、 （8 分）设随机变量x 的密度函数为2,0

19、3( )90,xxxfx其它，求： （1）随机变量28yx的密度函数；（2）求( )e y； （3）求( )var y. 解： （1）分布函数法：记28yx的分布函数与密度函数分别为：( )yfy，( )yfy；则有：828( )()(28)()( )2yyxyfyp yypxyp xfx dx（i）当802y，即8y时8822( )( )00yyyxfyfx dxdx；（ii ）当8032y，即814y时88202202(8)( )( )0936yyyxxyfyfx dxdxdx；（iii ）当832y，即14y时880322032( )( )0019yyyxxfyfx dxdxdxdx；故208(8)( )81436114yyyfyyy，8814( )( )18yyyyfyfy其它0精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - -精品学习资料