幂函数及其性质

1、幂函数及其性质幂函数及其性质学习目标学习目标一、知识目标：1.通过实例了解并记住幂函数的概念.2.结合几个常见幂函数的图象观察图象特征并能自行发现幂函数的性质.3.记住幂函数的性质并会应用.能力目标：通过观察图象特征来归纳函数性质,从而培养学生数形结合的能力.情感目标：通过观察图象体会数学的简洁美.一、幂函数的概念的引入 阅读课本第85页的具体实例（1）（5），思考下列问题： 1.它们的解析式分别是什么？若用 表示自变量, 表示 的函数,上述五个函数解析式分别是什么? xxy问题引入：函数的生活实例问题问题1：如果张红购买了每千克：如果张红购买了每千克1元的苹果元的苹果w千克，千克，那么她需要

2、付的钱数那么她需要付的钱数p = 元，元， 。问题问题2：如果正方形的边长为：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，那么正方形的面积 是是S = ， 。问题问题3：如果立方体的边长为：如果立方体的边长为a，那么立方体的体积，那么立方体的体积是是V = ， 。问题问题4:如果正方形场地的面积为如果正方形场地的面积为S，那么正方形的，那么正方形的边长边长a= ， 。问题问题5：如果某人：如果某人t s内骑车行进了内骑车行进了1km，那么他骑车，那么他骑车的平均速度的平均速度v = ， 。 w这里这里p是是w的函数的函数a这里这里S是是a的函数的函数a 这里这里V是是a的函数的函数21S这里这里a

3、是是S的函数的函数这里这里v是是t的函数的函数1t km/s若将它们的自变量全部用若将它们的自变量全部用x来表示来表示,函数值用函数值用y来表示来表示,则它们的函数关系式将是则它们的函数关系式将是:xy xy2xy3xy21xy1xay 以上问题中的函数有什么共同特征？以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；）都是函数；（2）均是以自变量为底的）均是以自变量为底的幂；幂；（3）指数为常数；）指数为常数；（4）自变量前的系数为）自变量前的系数为1;（5）幂前的系数也为）幂前的系数也为1。 y=x y=x2 y=x1/2y=x3y=x-1 一般地，函数一般地，函数y= 叫做叫做，其中，其中

4、x是自是自变量，变量，是常数是常数.注意注意:幂函数中幂函数中的可以为任意实数的可以为任意实数.x一、幂函数的定义：一、幂函数的定义：一般地，我们把形如一般地，我们把形如 的函数的函数叫做叫做幂函数，其中幂函数，其中 为自变量，为自变量， 为常数。为常数。xy x练习练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？：判断下列函数哪几个是幂函数？xyxyxyxyyx1)5(; 1)4( ;2) 3( ;)2( ;31222）（答案答案（2）（）（5）思考：指数函数思考：指数函数y= =ax与幂与幂函数函数y= =x有什么区别？有什么区别？xy x2.已知幂函数已知幂函数y = f (x)的图象经过点的图象经

5、过点待定系数法待定系数法分析：分析：例题要求函数的解析式，首先由题知，例题要求函数的解析式，首先由题知，此函数是幂函数，也就符合幂函数的一般形此函数是幂函数，也就符合幂函数的一般形式式 ，而且我们知道图像过点，而且我们知道图像过点 只要把点带入解析式中即可求出只要把点带入解析式中即可求出a，也就可以求，也就可以求出函数的解析式。出函数的解析式。yx)2,2(（3 ， ），求这个函数的解析式。），求这个函数的解析式。3解：设所求幂函数的解析式为解：设所求幂函数的解析式为yx21axy21a33因为点因为点) 3, 3(在函数图像上，所以代在函数图像上，所以代入解析式得：入解析式得： 3.如果函数

6、如果函数f (x) = (m2+2m2) 是幂函数，求实数是幂函数，求实数m,n的值。的值。32112 nxm解：由题意得解：由题意得0320112222 nmmm.,233 nm解解得得 式子式子 名称名称常数常数 x y指数函数指数函数: y=a x（a0且且a1) 幂函数幂函数: y= x a为底数底数指数指数为指数指数底数底数幂值幂值幂值幂值二、幂函数与指数函数比较判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点：看未知数看未知数x是是指数指数还是还是底数底数幂函数幂函数函数函数二、五个常用幂函数的图像和性质 (1) (2) (3) (4) (5)21

7、xy 2xy 1 xy3xy xy 定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：RR上是奇函数在R上是增函数在Rxy 函数函数 的图像的图像定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：R), 0 上是偶函数在R上是增函数在), 0 上是减函数在0 ,(函数函数 的图像的图像2xy xy=x3-3-27-2.5-15.63-2-8-1.5-3.375-1-1-0.5-0.125000.50.125111.53.375282.515.625327用描点法作出函数y=x3的图象.定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：RR上是奇函数在R上是增

8、函数在R函数函数 的图像的图像3xy x001121.41431.7324252.23662.44972.64682.82893103.162113.317123.464133.606143.742153.87316412 yx用描点法作出函数的图象.12 yx定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：), 0 非奇非偶函数上是增函数在), 0 ), 0 函数函数 的图像的图像21xy 定义域：定义域：值值 域：域：奇偶性：奇偶性：单调性：单调性：0 xx上是奇函数在0 xx上是减函数在), 0( 上是减函数在)0 ,(0yy函数函数 的图像的图像1 xy下面将5个函数的图

9、像画在同一坐标系中 (1) (2) (3) (4) (5)21xy 2xy 1 xy3xy xy 4321-1-2-3-4-6-4-2246y=x-1y=x12y=x3y=x2y=x(4,2)(-2,4)(2,4)(-1,1)(-1,-1)(1,1)21xy 幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数数取值的不同而不同取值的不同而不同. .y= x3定义域定义域值值 域域单调性单调性公共点公共点y = xRRR0，+）R0，+）R0，+）奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶非奇非偶函数函数奇函数奇函数在在R R上上是增函是增函数数在（在（,0

10、上是减函上是减函数，在数，在(0, +）上是）上是增函数增函数在在R上上是增函是增函数数在在(0，+)上是增函数上是增函数在在( ,0)，(0, +）上是）上是减函数减函数（1，1）奇偶性奇偶性y = x21 xy0， （0，+ ）0， （0，+ ）101a=1小结：小结： 幂函数的性质幂函数的性质: :.所有幂函数的图象都通过点所有幂函数的图象都通过点(1,1(1,1);幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数常数取值的不同而不同取值的不同而不同. .如果如果0,0,则幂函数则幂函数在在(0,+)(0,+)上为减函数。上为减函数。 0,0,则幂函数

11、则幂函数 在在(0,+)(0,+)上为增函数上为增函数; ;2.2.当当为奇数时为奇数时, ,幂函数为奇函数幂函数为奇函数, , 当当为偶数时为偶数时, ,幂函数为偶函数幂函数为偶函数. .练习：利用单调性判断下列各值的大小。练习：利用单调性判断下列各值的大小。（1）5.20.8 与与 5.30.8 （2）0.20.3 与与 0.30.3 (3) 2.5-25与 2.7-25解解:(1)y= x0.8在在(0,)内是增函数内是增函数, 5.25.3 5.20.8 5.30.8 (2)y=x0.3在在(0,)内是增函数内是增函数0.20.3 0.20.3 0.30.3(3)y=x-2/5在在(0

12、,)内是减函数内是减函数2.52.7-2/5练习练习(4)1）0.51.30.51.525.125.092）3）140.5140.44）230.7230.8则则且且任任取取证证明明,),0,:2121xxxx 2121)()(xxxfxf2121xxxx ,0,0,0212121 xxxxxx所所以以因因为为.),0)()()(21上上的的增增函函数数在在即即幂幂函函数数所所以以 xxfxfxf212121)(xxxxxx.), 0)(. 1上是增函数在证明幂函数例xxf例例2 2：练习练习3: 如图所示，曲线是幂函数如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象在第一象限内的图象，已知限内的

13、图象，已知 k分别取分别取 四个四个值，则相应图象依次为值，则相应图象依次为:_ 11,1, 22一般地，幂函数的图象在直线一般地，幂函数的图象在直线x=1的右侧，大指数在上，小指数在下，的右侧，大指数在上，小指数在下，指大图高指大图高C4C2C3C11思考思考4 4：根据上述五个函数的图象，你能：根据上述五个函数的图象，你能归纳出幂函数归纳出幂函数 在第一象限的图在第一象限的图象特征吗？象特征吗？ayxxyo10 00时图象过原点且上升，时图象过原点且上升，0时图象不过原点且下降，时图象不过原点且下降，同时以两坐标轴为惭近线同时以两坐标轴为惭近线.3.在在 x=1x=1 的右侧指大图高的右侧指大图高.11小结小结: :1记住幂函数的定义；记住幂函数的定义；2掌握幂函数的图象和性质；掌握幂函数的图象和性质；3能利用幂函数的性质解决有关问题能利用幂函数的性质解决有关问题;4这节课我们从观察图象入手这节课我们从观察图象入手, ,运用自然语言描述运用自然语言描述了函数的图象特征了函数的图象特征, ,最后抽象到运用数学语言和符最后抽象到运用数学语言和符号刻画了相应的数量特征号刻画了相应的数量特征. . 这是一个循序渐进的这是一个循序渐进的