江苏省徐州市沛县第五中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷

2023-2024学年江苏省徐州市沛县五中八年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．3．（3分）为了了解某区12000名八年级学生的体重情况，从中随机抽取了500名学生的体重进行调查．其中，下面说法错误的是（）A．此调查属于抽样调查 B．12000名学生的体重是总体 C．每个学生的体重是个体 D．500名学生是所抽取的一个样本4．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．5．（3分）下列式子从左到右变形正确的是（）A．＝1 B． C． D．＝a﹣b6．（3分）关于x的分式方程有增根，则a的值为（）A．﹣1 B．5 C．1 D．37．（3分）若顺次连接一个四边形的各边的中点所得的四边形是矩形，则原来的四边形的两条对角线（）A．互相垂直且相等 B．相等 C．互相平分且相等 D．互相垂直8．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（3分）比较大小：3223．11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件，使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可）12．（3分）若＝1﹣a，则a的取值范围为．13．（3分）如图，点A在函数y＝的图象上，过A作AB∥x轴，AB与y＝的图象交于点B，点C、D在x轴上，若AB＝DC，则四边形ABCD的面积为．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为．15．（3分）如图是一个正方形及其内切圆，正方形的边长为a．随机地往正方形内投一粒米，不落在圆内的概率是．16．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得△DBE，连接CD，若AB＝AC＝5，BC＝6，则CD＝．三、解答题（共92分）17．（10分）（1）计算：﹣；（2）解方程：﹣3＝．18．（10分）计算：（1）﹣+；（2）（﹣1）0+（+1）（﹣1）．19．（9分）如图，A、D、B、F在一条直线上，DE∥CB，BC＝DE，AD＝BF．（1）求证：△ABC≌△FDE；（2）连接AE、CF，求证四边形AEFC为平行四边形．20．（10分）某校组织学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩（满分为100分，取整数）进行统计，绘制的部分统计图如下：（1）a＝，n＝；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，已知全校共有1200名学生，估计该校有多少名成绩优秀的学生？21．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4）、B（﹣7，1）、C（﹣2，1）．（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标：；（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，直接写出点A的对应点P的坐标：；（3）请直接写出：与A、B、C三个顶点构成平行四边形的D的坐标：．22．（10分）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，n）、B两点．（1）求k的值；（2）当y2＜2时，x的取值范围是；（3）当y1﹣y2＜0时，x的取值范围是；（4）若x轴上存在点P，使得△PAB的面积为2，求点P的坐标．24．（10分）【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明．（1）【思考尝试】：有同学发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．（2）【实践探究】：有同学受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E与B不重合），当△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．25．（12分）如图，一次函数y＝x+8的图象与反比例函数的图象交于A（a，6），B（﹣6，b）两点．（1）求此反比例函数的表达式；（2）在y轴上存在点P，使得AP+BP的值最小，求AP+BP的最小值；（3）M为反比例函数图象上一点，N为x轴上一点，是否存在点M、N，使△MBN是以MN为底的等腰直角三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年江苏省徐州市沛县五中八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的概念，中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，即可解题．【解答】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：B．【点评】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键．2．（3分）下列分式中，最简分式是（）A． B． C． D．【分析】直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分式一个分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可．【解答】解：A．＝，故原式不是最简分式，不合题意；B．原式＝＝，故原式不是最简分式，不合题意；C．原式＝＝，故原式不是最简分式，不合题意；D．，是最简分式，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．3．（3分）为了了解某区12000名八年级学生的体重情况，从中随机抽取了500名学生的体重进行调查．其中，下面说法错误的是（）A．此调查属于抽样调查 B．12000名学生的体重是总体 C．每个学生的体重是个体 D．500名学生是所抽取的一个样本【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．【解答】解：A、此调查属于抽样调查，说法正确，故A不符合题意；B、12000名学生的体重是总体，说法正确，故B不符合题意；C、每个学生的体重是个体，说法正确，故C不符合题意；D、500名学生的体重是所抽取的一个样本，原来的说法错误，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．4．（3分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．【解答】解：的被开方数是2．A、＝2，所以与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；B、＝2，被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项符合题意；C、的被开方数是6，所以与是同类二次根式，故本选项不符合题意；D、＝2，被开方数是5，所以与不是同类二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．5．（3分）下列式子从左到右变形正确的是（）A．＝1 B． C． D．＝a﹣b【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，可得答案．【解答】解：A、＝﹣＝﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意；B、＝±，原变形错误，故此选项不符合题意；C、＝＝1+，原变形错误，故此选项不符合题意；D、＝＝a﹣b，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．6．（3分）关于x的分式方程有增根，则a的值为（）A．﹣1 B．5 C．1 D．3【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可．【解答】解：去分母，得：1﹣（a﹣2）＝x﹣2，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程，可得：a＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7．（3分）若顺次连接一个四边形的各边的中点所得的四边形是矩形，则原来的四边形的两条对角线（）A．互相垂直且相等 B．相等 C．互相平分且相等 D．互相垂直【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．【解答】解：已知：如图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD；故选：D．【点评】本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．8．（3分）若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）在反比例函数的图象上，且y1＞y2，则a的取值范围是（）A．a＜﹣1 B．﹣1＜a＜1 C．a＞1 D．a＜﹣1或a＞1【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．【解答】解：∵k＝1＞0，∴图象在一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，∵y1＞y2，∴或，解得a＞1或a＜﹣1，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，∵y1＞y2，∴，无解，故选：D．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．二、填空题（每小题3分，共24分）9．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥﹣3．【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．10．（3分）比较大小：32＞23．【分析】分别计算32和23，再比较大小即可．【解答】解：∵32＝9，23＝8，∴9＞8，即32＞23．故答案为：＞．【点评】本题考查了有理数的乘方以及有理数的大小比较，是基础知识要熟练掌握．11．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件BF＝DE（答案不唯一），使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可）【分析】可连接对角线AC，通过对角线互相平分得出结论．【解答】解：添加的条件为BF＝DE；连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BF＝DE，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；故答案为：BF＝DE（答案不唯一）．【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．12．（3分）若＝1﹣a，则a的取值范围为a≤1．【分析】根据＝|a|得到＝＝|a﹣1|，则有|a﹣1|＝1﹣a，然后根据绝对值的意义有a﹣1≤0，再解不等式即可．【解答】解：∵＝＝|a﹣1|＝1﹣a，∴a﹣1≤0，∴a≤1．故答案为a≤1．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了绝对值的意义．13．（3分）如图，点A在函数y＝的图象上，过A作AB∥x轴，AB与y＝的图象交于点B，点C、D在x轴上，若AB＝DC，则四边形ABCD的面积为3．【分析】延长BA交y轴于E，过A点作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，则平行四边形ABCD的面积等于矩形ABNM的面积，即为5﹣2＝3．【解答】解：延长BA交y轴于E，过A点作AM⊥x轴于M，作BN⊥x轴于N，则平行四边形ABCD的面积等于矩形ABNM的面积，∵点A在函数y＝的图象上，点B在函数y＝的图象上，∴S矩形ABNM＝xB•yB﹣xA•yA＝5﹣2＝3，∴四边形ABCD的面积为3，故答案为：3．【点评】本题主要考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD＝5，则EF的长为5．【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中位线，则EF应等于AB的一半．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD＝AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，∴EF＝×10＝5cm．故答案为：5．【点评】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．15．（3分）如图是一个正方形及其内切圆，正方形的边长为a．随机地往正方形内投一粒米，不落在圆内的概率是1﹣．【分析】直接根据题意得出圆的面积进而利用圆的面积除以正方形面积得出答案．【解答】解：由题意可得，圆的面积为：，正方形面积为：a2，故随机地往正方形内投一粒米，不落在圆内的概率是：1﹣＝1﹣．故答案为：1﹣．【点评】此题主要考查了几何概率，正确掌握概率公式是解题关键．16．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得△DBE，连接CD，若AB＝AC＝5，BC＝6，则CD＝．【分析】连接CE，设BE、CD交于点O．先判定△DEC≌△DBC（SSS），得到∠1＝∠2．再判定△DEO≌△DNO（SAS），即可得出∠DOE＝∠DOB＝90°，进而得到等腰△BDE中，O为BE中点，即，最后根据勾股定理求得DO，CO的长即可．【解答】解：如图，连接CE，设BE、CD交于点O．由旋转得BE＝BC＝6，∵∠CBE＝60°，∴△CBE为等边三角形，∴CE＝CB，∵△BDE中，DE＝DB，∴△DEC和△DBC中，．∴△DEC≌△DBC（SSS），∴∠1＝∠2．又∵△DEO和△DBO中，，∴△DEO≌△DNO（SAS）．∴∠DOE＝∠DOB＝90°，∴等腰△BDE中，O为BE中点，∴，∴Rt△DOE中，，Rt△COE中，．∴．故答案为：．【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解本题的关键是判断出DC是线段BE的垂直平分线．三、解答题（共92分）17．（10分）（1）计算：﹣；（2）解方程：﹣3＝．【分析】（1）先约分，再加减比较简便；（2）按解分式方程的一般步骤求解即可．【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝＝1；（2）去分母，得1﹣3（x﹣2）＝﹣2，整理，得x﹣2＝1，∴x＝3．经检验，x＝3是原方程的解．所以原方程的解为：x＝3．【点评】本题考查了分式的混合运算和解分式方程，掌握分式混合运算的法则和解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．18．（10分）计算：（1）﹣+；（2）（﹣1）0+（+1）（﹣1）．【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；（2）直接利用零指数幂的性质以及平方差公式化简，进而合并得出答案．【解答】解：（1）原式＝3﹣+4＝；（2）原式＝1+3﹣1＝3．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．19．（9分）如图，A、D、B、F在一条直线上，DE∥CB，BC＝DE，AD＝BF．（1）求证：△ABC≌△FDE；（2）连接AE、CF，求证四边形AEFC为平行四边形．【分析】（1）由SAS可证△ABC≌△FDE；（2）结合（1），用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可解答．【解答】证明：（1）∵AD＝BF，∴AD+DB＝DB+BF，∴AB＝FD，∵DE∥CB，∴∠ABC＝∠FDE，∵BC＝DE，∴△ABC≌△FDE（SAS），（2）如图：由（1）知△ABC≌△FDE，∴∠CAB＝∠EFD，AC＝EF，∴AC∥EF，∴四边形ABCD为平行四边形．【点评】本题考查全等三角形判定与性质和平行四边形判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理和平行四边形判定定理．20．（10分）某校组织学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩（满分为100分，取整数）进行统计，绘制的部分统计图如下：（1）a＝16，n＝126；（2）补全频数分布直方图；（3）若成绩在80分以上（不含80分）为优秀，已知全校共有1200名学生，估计该校有多少名成绩优秀的学生？【分析】（1）由两个统计图可得“B”的频数是40人，占调查人数的20%，可求出调查总人数，进而求出“A”的频数即可确定a的值，求出“D”所占调查人数的百分比，即可确定n的值；（2）求出“C”的频数即可补全频数分布直方图；（3）求出“优秀”所占的百分比即可．【解答】解：（1）40÷20%＝200（人），a＝200×8%＝16（人），360°×＝126°，即，n＝126，故答案为：16，126；（2）200×25%＝50（人），“E”的频数为200﹣16﹣40﹣50﹣70＝24（人），补全频数分布直方图如下：（3）1200×（1﹣8%﹣20%﹣25%）＝564（人），答：全校1200名学生中大约有564名成绩优秀的学生．【点评】本题考查频数分布直方图，掌握频率＝是正确解答的前提．21．（9分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4）、B（﹣7，1）、C（﹣2，1）．（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标：（3，﹣4）；（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，直接写出点A的对应点P的坐标：（4，3）；（3）请直接写出：与A、B、C三个顶点构成平行四边形的D的坐标：（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）．【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案．（2）根据旋转的性质可得答案．（3）结合平行四边形的判定可得答案．【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．由图可得，A'（3，﹣4）．故答案为：（3，﹣4）．（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，点A的对应点P的坐标为（4，3）．故答案为：（4，3）．（3）如图，点D1，D2，D3均满足题意，∴与A、B、C三个顶点构成平行四边形的D的坐标为（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）．故答案为：（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键．22．（10分）加强生活垃圾分类处理，维护公共环境和节约资源是全社会共同的责任．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，营造干净、整洁、舒适的人居环境，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同．（1）求甲、乙两种分类垃圾桶的单价；（2）该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？【分析】（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，利用数量＝总价÷单价，结合用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同，列出分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3600元，列出一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值即可．【解答】解：（1）甲分类垃圾桶的单价是x元，则乙分类垃圾桶的单价是（x+40）元，根据题意得＝，解得x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，∴x+40＝160+40＝200．答：甲分类垃圾桶的单价是160元，乙分类垃圾桶的单价是200元；（2）设购买甲分类垃圾桶y个，则购买乙分类垃圾桶（20﹣y）个，依题意得：200（20﹣y）+160y≤3600，解得：y≥10，∵y为正整数，∴y的最小值为10．答：最少需要购买甲种分类垃圾桶10个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，n）、B两点．（1）求k的值；（2）当y2＜2时，x的取值范围是x＜0或x＞1；（3）当y1﹣y2＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1；（4）若x轴上存在点P，使得△PAB的面积为2，求点P的坐标．【分析】（1）把A（﹣1，n）代入y1＝﹣2x，可得A（﹣1，﹣2），把A（﹣1，﹣2）代入，即可求得k＝2；（2）根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标，观察函数图象即可求解；（3）根据图象即可求解；（4）根据S△PAB＝OP•（yB﹣yA）＝2即可求得OP＝1，求得P（1，0）或（﹣1，0）．【解答】解：（1）把A（﹣1，n）代入y1＝2x，可得n＝﹣2，∴A（﹣1，﹣2），把A（﹣1，﹣2）代入，得﹣2＝，∴k＝2；（2）∵正比例函数y1＝2x的图象与反比例函数的图象交于A（﹣1，﹣2）、B两点，∴A、B关于原点对称，B（1，2），由图象可知，当x＜0或x＞1时，y2＜2，故答案为：x＜0或x＞1；（3）由正比例函数与反比例函数的对称性可知B（1，2），由图象可知，当x＜﹣1或0＜x＜1时，y1＜y2，∴当y1﹣y2＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜1，故答案为：x＜﹣1或0＜x＜1；（4）∵△PAB的面积为2，∴S△PAB＝•OP•（yB﹣yA）＝OP•[2﹣（﹣2）]＝2，∴OP＝1，∴P（1，0）或（﹣1，0）．【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．24．（10分）【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明．（1）【思考尝试】：有同学发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．（2）【实践探究】：有同学受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E与B不重合），当△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．【分析】（1）AE＝EP，理由如下：如图1所示，取AB的中点F，连接EF，根据已知条件可证明△AFE≌△ECP（ASA），即可得出结论．（2）如图2所示，在AB上取AF＝EC，连接EF，根据条件可证△FAE≌△CEP（SAS），得出∠ECP＝∠AFE，由∠AFE＝135°，可得出∠ECP＝135°，即可得出结论．【解答】解：（1）AE＝EP，理由如下：如图1所示，取AB的中点F，连接EF，∵F，E分别为AB，BC的中点，∴AF＝BF＝B