材料力学第十章杆件计算的能量法

1、第十章第十章 杆件计算的能量法杆件计算的能量法10-1 概概 述述 能量法（能量法（energy method）：在：在应变能和功应变能和功的概念基础的概念基础上建立起来的一种普遍方法，可用于计算变形固体的位移、上建立起来的一种普遍方法，可用于计算变形固体的位移、变形和内力等。变形和内力等。缓慢加载，无热耗，弹性阶段（不必线弹性）缓慢加载，无热耗，弹性阶段（不必线弹性） 外力功全部转化为应变能（变形能）外力功全部转化为应变能（变形能）用途：用途：组合变形杆件以及桁架、刚架、拱等结构组合变形杆件以及桁架、刚架、拱等结构 的变形计算。的变形计算。一、杆在基本变形下的应变能一、杆在基本变形下的应变能

2、1.1.杆在轴向拉伸（压缩）时的应变能杆在轴向拉伸（压缩）时的应变能EAlFlFV2212NN10-2 杆件的弹性应变能杆件的弹性应变能Fll 1F1dFFFoABld(l)l1TW212.2.圆杆扭转时的应变能圆杆扭转时的应变能P2221GIlMMWVxxTMxPGIlMxo TTAB TlEIlMMWVe22123.3.梁弯曲时的应变能梁弯曲时的应变能3.1 3.1 纯弯曲梁纯弯曲梁EIMlleMW21 MMl3.2 3.2 剪切弯曲梁剪切弯曲梁EIxxMVM2d)(d2lMEIxxMV2d)(2)4(6223QyhbhFyxbGVQdd21d2ybyhhGbxFxVlhhQd4)(18d

3、022222622Q llGAxxFGbhxxF02Q02Q2d)(d)(106QMVVV弯矩弯矩M：剪力剪力FQ：弯矩弯矩+ +剪力剪力：为剪切形状因数为剪切形状因数二、杆在组合变形下的应变能二、杆在组合变形下的应变能lxlllxGIxMxGAxFxEIxMxEAxFV0P202Q0202Nd2)(d2)(d2)(d2)( 组合变形杆件的截面上存在组合变形杆件的截面上存在轴力轴力、弯矩弯矩、剪力剪力和和扭矩扭矩多种内力。多种内力。每种内力只在与其本身相应的位移上每种内力只在与其本身相应的位移上做功，在其它内力引起的位移上不做功做功，在其它内力引起的位移上不做功。所以，组合。所以，组合变形杆的

4、应变能等于与各种内力相应的应变能之和。变形杆的应变能等于与各种内力相应的应变能之和。三、应变能的一般计算式三、应变能的一般计算式nniiFFFFWV212121212211 niiiF121克拉贝依隆克拉贝依隆（B.P.E.Clapeyron）原理。原理。Fi称为广义力；称为广义力；i i称为广义位移。称为广义位移。 应变能的大小，由各外力的应变能的大小，由各外力的最终值决定，与各外力作用的先最终值决定，与各外力作用的先后次序无关。后次序无关。EIMlEIFlC164823EIMlEIFlA3162）（16696121212232MFllMlFEIMFVAC例例 计算图示梁中的应变能计算图示梁

5、中的应变能( (EI已知已知) )解：解：1.1.所有力按比例加载所有力按比例加载到最后到最后ABlCFMCl/2A2.2.先加先加F，再加，再加M）（1669612232MFllMlFEIWWWVFMMFCFFFW21EIlMEIMlMMWAMM6321212EIMFlEIMlFFMWCMF161622)(ABlCFMCl/2AEIlFEIFlF9648213233.3.标准式标准式lxEIxMVd22）（ ）（）（lxlxllMFlxxlMFMxM2/ 22/0 2ABlCFMCl/2A例例 计算图示杆中的应变能计算图示杆中的应变能( (EA已知已知) )。解：解：线性问题，不必积分。线性

6、问题，不必积分。iiniFWV12122112121FFEAlFEAlFFFEAlFFF22122112121EAlFFFF222222121F1lF2l不同的加载路径，结果应该相同。不同的加载路径，结果应该相同。先加先加F2 2，然后加，然后加F1 1EAlFFFV2212122*221EAlFFFF222222121EAlFFEAlFFFFV121122*1122121 21VVV 应变能的大小，由各外力的最终值决定，与各外力应变能的大小，由各外力的最终值决定，与各外力作用的先后次序无关。作用的先后次序无关。F1lF2llF2lF1ll一、余功和余应变能一、余功和余应变能10dFWFWFC

7、10d外力功外力功余功余功11FWWC余应变能余应变能FWVFCC10d10-3 虚力原理虚力原理FF1dFFFo1 dWcWdWec = dWic虚力原理虚力原理dWec为虚力在相应的真实位移上所做的外虚余功；为虚力在相应的真实位移上所做的外虚余功；dWic为虚力引起的内力分量在相应的位移上所做的内虚余功。为虚力引起的内力分量在相应的位移上所做的内虚余功。 处于平衡状态的弹性体，若在外力作用下产生变形，处于平衡状态的弹性体，若在外力作用下产生变形，则在各外力作用点沿外力作用方向有相应的位移。若则在各外力作用点沿外力作用方向有相应的位移。若保持保持位移不变位移不变，使力有一微小的改变使力有一微

8、小的改变，这一改变量称为虚力这一改变量称为虚力，虚力在真实位移上所做的功称为虚余功，虚力在真实位移上所做的功称为虚余功，dWC。二、虚力原理二、虚力原理 弹性体保持变形协调的充分必要条件是弹性体保持变形协调的充分必要条件是外虚余功等外虚余功等于内虚余功于内虚余功，即，即 当虚力为作用在弹性体上当虚力为作用在弹性体上真实力的增量真实力的增量时，外虚余功时，外虚余功的增量等于弹性体余应变能的增量，即的增量等于弹性体余应变能的增量，即dWec = dVc 虚力原理的应用，与材料的性能无关，可适用于线形材虚力原理的应用，与材料的性能无关，可适用于线形材料和非线形材料，以及几何非线形情况。但必须为小变形

9、。料和非线形材料，以及几何非线形情况。但必须为小变形。虚力原理和虚位移原理都是虚功原理。虚力原理和虚位移原理都是虚功原理。 虚力可以是任意的，但必须满足平衡条件；虚力可以虚力可以是任意的，但必须满足平衡条件；虚力可以与真实力无关，也可以是作用在弹性体上真实力的增量。与真实力无关，也可以是作用在弹性体上真实力的增量。10-4 卡氏第二定理卡氏第二定理Fiin21FnF2F1Fi有一增量有一增量d dFi 外虚余功增量外虚余功增量iieCFWddnnCiiCCCCFFVFFVFFVFFVVddddd2211余应变能的增量为余应变能的增量为iiCCFFVVddCeCVWddiCiFV因为因为d dF

10、 F1 1= d= dF F2 2= d= dF Fn n=0=0，只有，只有d dF Fi i00，所以有，所以有外虚余功增量在数值上等于弹性体余应变能的增量，即外虚余功增量在数值上等于弹性体余应变能的增量，即卡氏第二定理iiFV余应变能等于应变能，即余应变能等于应变能，即iieCFWdd又又 受力弹性体的应变能对作用于其上的某一广义力的受力弹性体的应变能对作用于其上的某一广义力的偏导数偏导数, ,即为与该广义力相应的广义位移。即为与该广义力相应的广义位移。iiFV卡氏第二定理 受力弹性体的应变能对作用于其上的某一广义位移的受力弹性体的应变能对作用于其上的某一广义位移的偏导数偏导数, ,即为

11、与该广义位移相应的广义力。即为与该广义位移相应的广义力。iiVF卡氏第一定理 若若所求广义位移处无广义力作用所求广义位移处无广义力作用，可在该点加一广义，可在该点加一广义力力F0，然后与其他广义力一起计算弹性体的应变能，求得，然后与其他广义力一起计算弹性体的应变能，求得偏导数后，令偏导数后，令F0=0，即可求得该点的广义位移：，即可求得该点的广义位移：000FFVtan/ sin/NNFFFFACAB例例 求图示支架中求图示支架中A点的铅垂位移。点的铅垂位移。FABCEA，lEAA节点水平位移？节点水平位移？EAlFEAlFVACAB2cos22N2N2322sincossin12EAlF23

12、sincos1EAFlFVAy解：解：例例 求图示梁中求图示梁中C点的铅垂位移和点的铅垂位移和A处的转角。处的转角。CA ACFMB6169612232lMFMllFEIlxEIxMVd22）（FVCMVA解：解：例例 求图示桁架中求图示桁架中A A点的位移。点的位移。已知各杆的已知各杆的EA，1 1、2 2杆长杆长l。sin22N1NFFF解：由平衡方程计算得解：由平衡方程计算得sin2cos4N3NFFFFF5Nsin02N5cos02N3021Nd2d22d22lllxEAFxEAFxEAFVsinsin2cossin2122322EAlFFVAFABCD12345ACFPBll例例 求

13、图示梁中求图示梁中A处约束反力处约束反力ACFPBFA解：解：1.1.解除解除A处约束处约束2.2.应变能应变能 lllxEIxMxEIxMV222021d2d2llAlAxEIlxFxFxEIxF2202d2d2EIFlFEIlFEIlFAA65634332320AAFV3.3.位移位移FFA165例例 求如图所示简支梁截面求如图所示简支梁截面A的转角的转角，设梁设梁EI的为常数。的为常数。解：为了求解：为了求A截面的转角截面的转角 A，可在，可在A端加一虚力偶端加一虚力偶M0，如，如图所示。则按卡氏第二定理，图所示。则按卡氏第二定理，A截面的转角截面的转角: :ABMl000MAMVMo不

14、计剪力影响，梁的应变能为不计剪力影响，梁的应变能为lxEIxMV02d2）（lMMAxMxMxMEIMV0000000d)()(1则则ABMlMo00)(MxlMxlMxM10lxMxM)(）（lx 0）（lx 0lMMAxlxMxlMxlMEIMV00000000d11)(EIMl6故故lMMAxMxMxMEIMV0000000d)()(1ABMlMo lFxFxMEIxM000d000FFV以梁为例，当计算任意点的广义位移时，由卡氏第二定理有以梁为例，当计算任意点的广义位移时，由卡氏第二定理有M(x)为由实际荷载及广义力为由实际荷载及广义力F0共同引起的弯矩共同引起的弯矩 xMxMxMFF

15、0 xMFxM00M0(x)为为F0 =1 =1（称为单位力）时的弯矩（称为单位力）时的弯矩10-5 莫尔定理莫尔定理 lFdxFxMEIxM000000FFV令令F0 =0 =0 ldxEIxMxM0莫尔定理，或称莫尔积分莫尔定理，或称莫尔积分 M(x)为由为由实际荷载实际荷载引起的梁的弯矩方程；引起的梁的弯矩方程；M0(x)为在梁上待求位移为在梁上待求位移处所加处所加单位广义力单位广义力引起引起的弯矩方程。的弯矩方程。 例例 用莫尔定理求如图所示悬臂梁用莫尔定理求如图所示悬臂梁A点处的竖直位移和转点处的竖直位移和转角。设梁的抗剪刚度为角。设梁的抗剪刚度为EI。解解: : 荷载引起的弯矩方程荷载引起的弯矩方程 lqxxxlqxxM63