等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结

1、等差数列与等比数列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念1. 数列(1) 定义： 按照一定顺序排列的一列数就叫做数列. (2) 数列与函数的关系. 从 函 数 的 角 度 来 看 , 数 列 是 特 殊 的 函 数 . 在( )yf x中 , 当 自 变 量xn时 , 所 对 应 的 函 数 值(1),(2),(3),fffl就构成一数列,通常记为na, 所以数列有些问题可用函数方法来解决. 2. 等差数列(1) 定义：一般地 , 如果一个数列从第2项起 , 每一项与它前一项的差等于同一常数, 则该数列叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用字母d表示 , 即1()nnaad nn. (2)

2、等差数列的通项公式. 若等差数列na的首项是1a,公差是d,则其通项公式为11(1)()naandndad, 是关于n的一次型函数 . 或()nmaanm d, 公差nmaadnm( 直线的斜率 )(,mn m nn). (3) 等差中项 . 若,x a y成等差数列 , 那么a叫做x与y的等差中项 , 即2xya或2axy,. 在一个等差数列中, 从第 2 项起 ( 有穷等差数列的末项除外), 每一项都是它的前一项与后一项的等差中项; 事实上 , 等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项. (4) 等差数列的前n项和2111()2(1)2222nnaanadn nddsnann(

3、类似于2nsanbn),是关于n的二次型函数( 二次项系数为2d且常数项为0).ns的图像在过原点的直线(0)d上或在过原点的抛物线(0)d上. 3. 等比数列(1) 定义 . ：一般地 , 如果一个数列从第2 项起 , 每一项与它前一项的比等于同一个非零常数, 则该数列叫做等比数列 , 这个常数叫做公比, 常用字母q表示 , 即1(q0,)nnaqnna. (2) 等比数列的通项公式. 等比数列的通项1111()(,0)nnnaaa qc qca qq, 是不含常数项的指数型函数. (3)m nmnaqa. (4) 等比中项如果,x g y成等比数列 , 那么g叫做x与y的等比中项 , 即2

4、gxy或gxy( 两个同号实数的等比中项有两个 ). (5) 等比数列的前n项和111(1)(1)(1)11nnnna qsaa qaqqqq注等比数列的前n项和公式有两种形式, 在求等比数列的前n项和时 , 首先要判断公比q是否为 1, 再由q的情况选择相应的求和公式, 当不能判断公比q是否为 1 时, 要分1q与1q两种情况讨论求解. 已知1,(1),a q qn( 项数 ), 则利用1(1)1nnaqsq求解 ; 已知1, (1)na aq q, 则利用11nnaa qsq求解. 111(1)(0,1)111nnnnaqaasqkqk kqqqq,ns为关于nq的指数型函数, 且系数与常

5、数互为 相 反 数 . 例 如 等 比 数 列na, 前n项 和 为212nnst, 则t. 解 : 等 比 数 列 前n项 和2122 4nnnstt, 则2t. 二、基本性质1. 等差数列的性质(1) 等差中项的推广. 当(, ,)mnpq m n p qn时 , 则 有mnpqaaaa, 特 别 地 , 当2mnp时 , 则 有2mnpaaa. (2) 等差数列线性组合. 设na是等差数列 , 则(,)nabbr也是等差数列 . 设,bnna是等差数列 , 则1212(,)nnabr也是等差数列. (3) 有限数列 . 对于项数为2n的等差数列 , 有: ( )21()nnnsn aa.

6、 ( )11,nnnnsasna snassndsa偶奇奇偶偶奇. 对于项数为21n的等差数列 , 有; ( )21(21)nnsna. ( ),(1),1nnnsnsna snassasn奇奇奇偶偶偶. (4) 等差数列的单调性及前n项和ns的最值 . 公差0nda为递增等差数列,ns有最小值 ; 公差0nda为递减等差数列,ns有最大值 ; 公差0nda为常数列 . 特别地若100ad, 则ns有最大值 (所有正项或非负项之和); 若100ad, 则ns有最小值 (所有负项或非正项之和). (5) 其他衍生等差数列. 若已知等差数列na, 公差为d, 前n项和为ns, 则: 等间距抽取2(

7、1),pp tptpntaaaall为等差数列 , 公差为td. 等长度截取232,mmmmmsssssl为等差数列 , 公差为2m d. 算术平均值312,123sssl为等差数列 , 公差为2d. 2.等差数列的几个重要结论(1) 等差数列na中 , 若,(,)nmam an mn m nn, 则0m na. (2) 等差数列na中 , 若,(,)nmsm sn mn m nn,则()m nsmn. (3) 等差数列na中 , 若(,)nmssmn m nn, 则0m ns. (4) 若na与b n为等差数列 ,且前n项和为ns与nt, 则2121mmmmasbt. 3.等比数列的性质(1

8、) 等比中项的推广. 若mnpq时, 则mnpqa aa a, 特别地 , 当2mnp时,2mnpa aa. (2) 设na为等比数列 , 则na(为非零常数 ),na,mna仍为等比数列 . 设na与b n为等比数列 , 则b nna也为等比数列. (3) 等比数列na的单调性 ( 等比数列的单调性由首项1a与公比q决定 ). 当101aq或1001aq时 ,na为递增数列 ; 当1001aq或101aq时 ,na为递减数列 . (4)其他衍生等比数列. 若已知等比数列na, 公比为q, 前n项和为ns, 则: 等间距抽取2(1),pp tptpntaaaall为等比数列 , 公比为tq.

9、等长度截取232,mmmmmsssssl为等比数列 , 公比为mq( 当1q时,m不为偶数 ). 4.等差数列与等比数列的转化(1) 若na为正项等比数列, 则log(c0,c1)cna为等差数列 . (2) 若na为等差数列 , 则c(c0,c1)na为等比数列 . (3) 若na既是等差数列又是等比数列)na是非零常数列. 题型归纳及思路提示题型 1 等差、等比数列的通项及基本量的求解思路提示利用等差 ( 比) 数列的通项公式或前n项和公式 , 列出关于1,( )a d q基本量的方程或不等式从而求出所求的量. 一、求等差数列的公差及公差的取值范围例 6.1 记等差数列na的前n项和为ns

10、, 若244,20ss, 则该数列的公差d( ). a.7 b.6 c.3 d.2 解析212124saaad414620sad由式可解得3d, 故选 c. 评注求解基本量用的是方程思想. 变式 1 (2012 福建理 2) 等差数列na中,15410,7aaa则数列na的公差为 ( ). a.1 b.2 c.3 d.4 变式 2 已知等差数列首项为31, 从第 16 项起小于1, 则此数列公差d的取值范围是( ). a.(, 2) b.15, 27 c.( 2,) d.15, 27二、求等比数列的公比例 6.2 在等比数列na中,201320108aa, 则公比q的值为 ( ). a.2 b

11、.3 c.4 d.8 解析因为201320108aa, 所以3201320108,aqa则2q, 故选 a. 变式 1 等比数列na的前n项和为ns, 且1234,2,aaa成等差数列 , 若11a, 则4s( ). a.7 b.8 c.15 d.16 变式 2 (2012 浙江理 13)设公比为(0)q q的等比数列na的前n项和为ns, 若224432,32sasa,则q. 变式 3 等比数列na的前n项和为ns, 若123,2,3sss成等差数列 , 则na的公比为. 三、求数列的通项na例 6.3 (1)(2012 广东理 11) 已知递增等差数列na满足21321,4aaa, 则na

12、. (2)(2012辽宁理 14) 已知等比数列na为递增数列 , 且251021,2()5nnnaaaaa, 则数列na的通项公式na. 解析 (1) 利用等差数列的通项公式求解.设等差数列公差为d, 则由2324aa得,212(1)4dd, 所以24d, 得2d, 又该数列为递增的等差数列 , 所以2d. 故1(1)21()naandnnn. (2) 由 数 列na为 等 比 数 列 , 设 公 比 为q, 由212()5nnnaaa, 得22()5nnnaa qa q, 即22(1)5qq, 解得12q或 2. 又25100aa, 且数列na为递增数列 , 则2q. 因此5532qa,

13、所以2 ()nnann. 变式 1 ns为等差数列na的前n项和 ,264,1ssa, 则na. 变式 2 已知两个等比数列,bnna, 满足11122331,1,2,4abababa, 求数列na的通项公式 . 例 6.4 在等差数列na中,138aa, 且4a为2a和9a的等比中项 , 求数列na的前n项和为ns. 解析设该数列的公差为d, 前n项和为ns. 由已知 , 得211228,(3 )adad11()(8 )adad, 所以114,(3)0add da, 解得14,0ad或11,3ad, 即数列na的首项为4, 公差为 0, 或首项为 1, 公差为 3. 所以数列的前n项和为4n

14、sn或232nnns. 变式 1 已知数列na的前n项和29nsnn, 则其通项na; 若它的第k项满足58ka, 则k. 变式 2 已知数列na的前n项和1(nnsaa为非零实数 ), 那么na( ). a.一定是等差数列 b.一定是等比数列c.或者是等差数列, 或者是等比数列d.既不可能是等差数列, 也不可能是等比数列题型 2 等差、等比数列的求和思路提示求解等差或等比数列的前n项和ns, 要准确地记住求和公式, 并合理选取公式, 尤其是要注意其项数n的值 ; 对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨论. 主要是从n为奇数、偶数, 项na的正、负进行分类. 一、公式法 (

15、准确记忆公式,合理选取公式) 例 6.5 在等比数列()nann中, 若1411,8aa, 则该数列的前10 项和为 ( ). 8910111111.2.2c.2d.22222ab解析由334111,82aa qqq得, 所以1010911( )1221212s, 故选 b. 变式 1 na是由正数组成的等比数列,ns为前n项和 , 已知2431,7a as, 则ns. 变式 2 设4710310( )22222()nf nnnl, 则( )()f n. 1342222.(81).(81).(81).(81)7777nnnnabcd二、关于等比数列求和公式中q的讨论例 6.6 设等比数列na的

16、前n项和为ns, 若396,sss成等差数列 , 求数列的公比q. 解析若1q, 则3161913,6,9sa sa sa, 因为10a, 所以3692sss, 与396,s ss成等差数列矛盾 , 故1q. 由题意可得3692sss, 即有369111(1)(1)2(1)111aqaqaqqqq, 整理得363(21)0qqq, 又0q,故63210qq, 即33(21)(1)0qq. 因为31q, 所以312q, 所以331422q. 变式 1 设数列na是等比数列 , 其前n项和为ns, 且333sa, 则其公比q. 变式 2 求和2311357(21)(2,)nnsxxxnxnnnxr

17、l. 三、关于奇偶项求和问题的讨论例 6.7 已知数列na的通项公式为12( 1)nnan, 求其前n项和为ns. 解析 (1) 当n为偶数时 ,222221234(1)nsnnl22222(12 )(34 )(1)nnl37(21)nl(321)(1)222nnn n. (2) 当n为奇数时 , 则1n为偶数 , 所以211(1)(2)(1)(1)22nnnnnn nssan. 综上 ,(1)()2(1)()2nn nnsn nn为正偶数为正奇数. 评注： 本题中，将n为奇数的情形转化为n为偶数的情形，可以避免不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。变式 1 已 知数列na中，通项为正偶数

18、）为正奇数）nnnann(3(12，求其前n项和ns. 四、对于含绝对值的数列求和例 6.8 已知数列na的前n项和ns210nn，数列nb的每一项都有nnab，求数列nb的前n项和nt解析： 由ns210nn，当2n时，1ns2) 1()1(10nn，1121nssannn当1n时，911sa满足112nan，故112nan（*nn）由nnab，当5n时，112nabnn此时ntnnaaaa11ns210nn当6n时，112nabnn此时ntnnaaaaaaaa65165150102)(251nnsaan故数列nb的前n项和nt),6(5010), 5(10*2*2nnnnnnnnnn评注：

19、 由正项开始的递减等差数列na的绝对值求和的计算题解题步骤如下：(1)首先找出零值或者符号由正变负的项0na(2)在对n进行讨论，当0nn时，nnst，当n0n时，nnnsst02变式 1 在等差数列na中，22,232510aa，其前n项和为ns(1)求使0ns的最小正整数n(2)求ntnaaa21的表达式变式 2 (2012 湖北理 18）已知等差数列na前三项的和为3，前三项的积为8. (1)求等差数列na的通项公式(2)若132,aaa成等比数列，求数列na的前n项和题型 3 等差、等比数列的性质应用思路提示利用等差、等比数列的性质，主要是利用: 等差中项和等比中项等差数列中,232m

20、mmmmsssss成等差数列；等比数列中,232mmmmmsssss(当1q时m不为偶数 )成等比数列 . 等差数列nnans)12(12等差数列的单调性利用以上性质，对巧解数列的选择题和填空题大有裨益。一、利用性质:当),(*nqpnmqpnm时，在等差数列na中，有qpnmaaaa；在等比数列nb中，有qpnmbbbb求解。例 6.9 已知等差数列na的前n项和为ns，若5418aa，则8s等于（）a、 18 b、36 c、54 d、72 解析： 由5418aa得1854aa，8s28)(81aa28)(54aa72 故选 d 变式 1 设数列na，nb都是等差数列，若711ba，2133

21、ba，则55ba_ 变式 2 在等差数列na中，已知1684ba，则该数列的前11 项和11s等于（）a、 58 b、88 c、143 d、176 变式 3 在等差数列na中，24)(3)(2119741aaaaa，则该数列的前13 项和13s等于（）a、 13 b、26 c、52 d、156 变式 4 在等差数列na中，39741aaa，27963aaa，则该数列的前9 项和9s等于（）a、 66 b、99 c、144 d、297 二、 利用等差数列中,232mmmmmsssss成等差数列；等比数列中,232mmmmmsssss（当1q时m不为偶数成等比数列求解。例 6.10 等差数列na的

22、前n项和为ns，若22s,104s,则6s等于（）a、 12 b、18 c、24 d、42 解析： 由46242,sssss成等差数列且22s，824ss知1446ss，可得6s=14+4s=24 故选c 评注： 本题除了使用本法求解之外，还有几种求解方法，如（1）基本量法；（2）使用nsn为等差数列求解； （ 3）使用bnansn2)(*nn求解变式 1 等差数列na的前n项和为ns，若3184ss，则168ss（）a、103b、31c、91d、81变式 2等比数列na的前n项和为ns，若336ss，则69ss（）a、 2 b、37c、38d、3 三、用有限等差数列的性质求解例 6.11 已

23、知某等差数列共有10 项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）a、 5 b、4 c、3 d、2 解析 ：依题意有1597531aaaaas奇，30108642aaaaas偶，可知155dss奇偶，得3d，故选 c 变式 1 已知等差数列na的前n项和为377，项数n为奇数，且奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，求中项变式 2 已知数列na与nb都是等差数列，且前n项和为ns与nt，且3457nntsnn，则使得nnba为整数的正整数n的个数是（）a、 2 b、3 c、4 d、5 四、利用等差、等比数列的单调性求解例 6.12 已知数列na是递增数列，且对*nn，都有nnan2，

24、则实数的取值范围是（）a、),27(b、, 0c、, 2d、),3(解析： 由递增数列的定义，nnaa1（*nn） ，得0121naann，即12n，*nn恒成立，则3，故选 d 评注：（1） 【错解】因为nnan2=4)2(22n，由题意知na是递增数列，所以nnan2在, 1上是单调递增函数。因此可得212，即所求的取值范围是2.以上解答由na是递增数列断定nnan2在, 1上是单调递增函数，这是错误的，因为数列通项公式中的n是正整数，而不是取, 1上的任意实数。如图6-1 所示的数列na显然是递增数列，但不满足12，事实上，232. xy图6-1o123上述错解是由于忽略n的取值范围而导

25、致错误。（2）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“ 若数列na是递增数列*nn，nnaa1恒成立 ” 。（3）数列)(nfan的单调性与)(xfy，, 1x的单调性不完全一致。一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理。但若数列对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题。即“ 离散函数有单调性/连续函数由单调性；连续函数有单调性离散函数有单调性” 。变式1 已知函数)7( ,)7( , 3)3()(6xaxxaxfx，若数列na满足)(nfan(*nn),且na是递增数列，则实数a的取值范围是（）a、3,49b、)3,49(c、)3

26、 ,2(d、)3 ,1 (例 6.13 在等差数列na中，已知201a，前n项和为ns，且1510ss，求当n为何值时，ns取最大值，并求此最大值。分析： 由201a及1510ss，可求出d，进而求出通项，由通项得到此数列前多少项为正，或利用ns是关于n的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解。解析解法一： 因为201a，1510ss，所以dd21415201529102010，得35d，所以)35()1(20nan36535n，故013a，当12n时，0na；当14n时，0na；所以当1312nn或时，ns取最大值，最大值为1312ss=130 解法二： 依题意，bnansn2)0(a,如图

27、 6-2 所示。nsn图6-2o1213由1510ss得1312nn或时ns取 最 大 值 ，2252,1abbaa， 得 到6125,65ba，nnsn6125652，1312ss=130 解法三：由1510ss知01514131211aaaaa，故0513a，得013a，3512113aad，故当1312nn或时ns取最大值，最大值为1312ss=130. 评注 ：求等差数列前n项和ns的最值的常用方法如下：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项。（2）利用性质求出其正负转折项，便可以求得和的最值。（3）利用等差数列前n项和bnansn2)0(a为二次函数，根据二次函数的性质求最值。

28、变式 1 数列na是等差数列，若11011aa，且其前n项和ns有最小值，那么当ns取最小值时，n等于（）a、 11 b、17 c、19 d、20 变式 2 设等比数列na的首项为1a， 公比为q， 则“1001qa且” 是“ 对于任意*nn都有nnaa1”的（）a、充分不必要条件b、必要不充分条件c、充分必要条件d、既不充分也不必要条件变式 3 已知7980nnan（*nn） ，则在数列na的前 50 项中最小项和最大项分别是（）a、501,aab、509,aac、98,aad、89,aa题型 4 判断和证明数列是等差、等比数列思路提示判断和证明数列是等差、等比数列常见的3 中方法如下：（

29、1）定义法： 对于2n的任意正整数，都有1nnaa（或1nnaa）为同一常数（用于证明）。（ 2）通项公式法：若)()1(11danddnaan，则数列na为等差数列（用于判断）；若nnnnqcqqaqaa?111，则数列na为等比数列（用于判断）；（3）中项公式法：若112nnnaaa（*,2nnn） ，则数列na为等差数列（用于证明）；若112nnnaaa（*,2nnn） ，则数列na为等比数列（用于证明）；一、定义法例 6.14 (1)设na为等差数列，证明：数列nac（1, 0 cc）是等比数列。(2)设na为正项等比数列，证明：数列ncalog（1,0 cc）是等差数列。分析本题蒋函

30、数与数列巧妙地结合，完美地进行等差数列与等比数列的转化，可利用定义法证明。解 析 （ 1 ）na为 等 差 数 列 ， 则1nnaad（*,2nnn，d为 常 数 ） ， 令nancb， 则0111daaaannccccbbnnnn是常数，所以数列nac是等比数列。（2）na为正项等比数列， 则qaann 1（0q） 令ncnablog， 则qaabbcncncnnlogloglog11是常数，所以数列ncalog是等差数列。评注将等差数列转化为等比数列，利用指数运算来转化；将正项等比数列转化为等差数列，利用对数运算来转化。变式 1 在数列na中，241nnas且11a（1）设nnnaab21

31、，求证：数列nb是等比数列（2）设22nnac，求证：数列nc是等差数列变式 2 数列na的前n项和为ns，已知11a，nnsnna21（,4,3,2n） ，证明：数列nsn是等比数列。变式 3 已知定义在r 上的函数)(xf和数列na满足下列条件：aa1，)(1nnafa（,4, 3,2n） ， （21aa） ，)(naf)(1naf)(1nnaak（,4 ,3 ,2n） ，其中a为常数，k为非零常数。令nnnaab1（*nn） ，证明：数列nb为等比数列。二、中项公式法例 6.15 已知数列na满足11a，32a，nnnaaa2312（*nn）. (1)证明：数列nnaa1为等比数列。(2

32、)求数列na的通项公式。(3)若数列nb满足nnbnbbbba) 1(44441111321?（*nn） ，证明：数列nb是等差数列。分析第（ 1）问利用定义证明；由第（1）问可得na的通项公式；第（3）问的解答需要将na的通项公式带入并整理。三问环环相扣，每一问都是后一问解题的基础。解析（1）因为nnnaaa2312，所以)(2112nnnnaaaa，即2112nnnnaaaa， （*nn） ，又212aa，故数列nnaa1是首项为2，公比为2 的等比数列。（2）由（ 1）得nnnaa21（*nn）故1122aa，2232aa，3342aa，112nnnaa（2n）叠加得到2221)21(2

33、11nnnaa，所以12nna（2n）1n时也成立，所以12nna（*nn）（3）由（ 2）可知nnbnbbbba)1(44441111321?，即nnnbnbbb24)(21，故nnnbnbbb2)(221设ns为数列nb的前n项和，则nnnbns22，11)1()1(22nnbnns，两式相减得nnnnbbnb11)1(22即1)1(2nnbnnb则有nnbnbn)2(2)1(1（2n）得11)1()1()1(2nnnbnbnbn，即112nnnbbb（2n）故数列nb是等差数列。评注第（ 1）问给出数列na的一个递推公式，要证明形如nnaa1的数列为等差或等比数列，一般将递推公式代入，利

34、用定义法证明。利用等差中项法解决第（3）问并不能明显看出来，这需要在对第（3）问的整理和变形中去发现解题方法。在解数学题时，既要有严谨的推理，也要勇于探索尝试。变式 1 （2012 年陕西理17）设na是公比不为1 的等比数列，其前n项和为ns，且5a，3a，4a成等差数列(1)求数列na的公比；(2)证明：对任意,*nk12,kkksss成等差数列变式 2 (2010 安徽理 20)设数列,21naaa中的每一项都不为0 . 证明：na为等差数列的充分必要条件是：对任何nn，都有211aa321aa+11nnaa11naan题型 5 等差数列与等比数列的综合应用思路提示(1)等差数列与等比数

35、列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等比数列通过对数运算转化为等差数列。(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零常数数列。一、等差数列与等比数列的相互转化例 6.16 已知数列na，nb是各项均为正数的等比数列，设nnnabc(*nn) （1）数列nc是否为等比数列？证明你的结论（2）设数列naln，nbln的前n项和分别为ns，nt,若21a，12nntsnn，求数列nc的前n项和解析（1）数列nc是等比数列。依题意，设na的公比为1q（01q） ，nb的公比为2q（02q） ，则nncc11211qqababnnnn，故数列n

36、c是等比数列。（2）由题意知数列naln，nbln都是等差数列，且12nntsnn，得到nnnnbanntslnln14121212，因为naln，nbln都是关于n的一次型函数，可令naln)12( nr，则nbln)14( nr)0(r当1n时 ，1ln a2lnr， 即2ln)12(lnnan，122nna, 同 理142nnb，故nnc4，进一步可得数列nc的前n项和为)14(34n变式 1 设数列na是正项等比数列，且8165aa，那么13loga23log a103log a的值是（）a、 30 b、20 c、10 d、5 变 式2 已 知 等 比 数 列na满 足 各 项 均 为

37、 正 数 ， 且nnaa25252（3n） ， 则 当1n时 ，12log a32log a122logna等于（）a、)12( nnb、2) 1(nc、2nd、2)1(n变式 3 设na是公比大于1 的等比数列，前n项和为ns，已知73s，且31a，23a，43a构成等差数列。（1）求数列na的通项；（2）令13lnnnab（*nn） ，求数列nb的前n项和nt. 二、等差数列和等比数列的交汇问题例 6.17 已知首项为32的等比数列na不是递减数列， 其前n项和为ns（*nn） ， 且33sa，55sa，44sa成等差数列，求数列na的通项公式。分析利用等比数列的性质结合已知条件求出公比q

38、，进而可得通项公式。解析设等比数列na的公比为q，因为33sa，55sa，44sa成等差数列，所以2（55sa）=33sa+44sa，即534aa，于是214q，又数列na不是递减数列，132a，所以12q，故数列na的通项公式11313()( 1)222nnnnag变式1 设数列na是首项为a，公差为d(0)d的等差数列，其前n项和为ns记nnsbn，（*nn） ，124,b b b成等比数列，证明：2nkksn s（*,k nn）例 6.18 在等差数列na中，公差0d，2a是1a与4a的等比中项， 已知数列1a，3a，1ka，2ka，nka，成等比数列，求数列nk的通项nk解析依题意可得

39、4122aaa，所以)3()(1121daada，由0d可得da1，则ndan，由已知得,3,21dkdkdkddn是等比数列。因为0d所以,3 ,121nkkk成等比数列，首项为1，公比为3，由此91k，所以11339nnnk（*nn） ，故数列nk的通项为13nnk变式 1 设 2009 个不全相等的正数1a，2a，2009a依次围成一个圆圈，且1a，2a，1005a是公差为d的等差数列，而1a，2009a，2008a，1006a是公比为q的等比数列，52a，2008a+2009a=121a，求通项na（*,2009nnn）例 6,19 设naaa,21是各项均不为零的n)4(n项等差数列

40、，且公差0d.若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序排列）是等比数列。（1）当4n时，求da1的数值；求n的所有可能值 . （2）求证：对于给定的正整数n)4(n，存在一个各项及公差均不为0 的等差数列nbbb,21，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。解析 （1）依题意，等差数列为4321,aaaa，假设要删去1a或4a，当删去1a时，432,aaa既是等差数列又是等比数列，故0d，与题意不合；当删除4a时，321,aaa既是等差数列又是等比数列，故0d，与 题 意 不 合 ； 因 此 删 去 的 项 只 能 是2a或3a若 删 去2a， 则 由431,aaa成 等 比

41、数 列 ， 得)3()2(1121daada因0d，故由上式得da41，即da1- 4此时数列为dddd,2,3,4，满足题设 若删去3a， 则421,aaa成等比数列， 得)3()(1121daada 因0d， 故由上式得da1，即da11此时数列为dddd4,3,2,满足题设综上可知da1的值为4或 1一个 “ 基本事实 ” ：一个数列既是等差数列又是等比数列,则该数列是非零常数数列。当n6时，则从满足题设的数列naaa,21中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故知，数列naaa,21的公差必为0，这与题设矛盾所以满足题设的数列的项数5n 又因题设4n，故4n或5n当4n时，由（ 1）中的讨论知存在满足题设的数列当5n时，若存在满足题设的数列54321,aaaaa，则由 “ 基本事实” 知，删去的项只能是3a，从而5421,aaaa成等比数列， 故)3()(1121daada且)4)()3(1121dadada分别化简上述两个等式， 得da1和da51，故0d矛盾 因此， 不存在满足题设