第五章第六节向心力

1、第六节 向心力学习目标 1.理解向心力是一种效果力，其效果是产生向心加速度，方向总是指向圆心 2.知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算3.知道在变速圆周运动中向心力为合力沿半径方向的分力)()2.(1)变速圆周运动的向心力并不指向圆心(2)变速圆周运动的向心力大小改变( )(3)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变 提示： (1)× (2) (3) 向心力来源的分析学生用书 P27几种常见的匀速圆物体做圆周运动时， 向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供 周运动的实例如下：实例受力分析力的分解不需分解(自选例题，启迪思维 )满足的方程FNmg2Ff m2rFcos

2、 mg2Fsin m lsin FNcos mgFNsin m2rF 升 cos mgF 升 sin m 2rFN Mg2FT mg M r(2015 ·抚顺高一检测 )如图，小物体 m 与圆盘保持相对静止，随盘一起做匀速圆周运动， 则物体的受力情况是 ( )A受重力、支持力、静摩擦力和向心力的作用 B摩擦力的方向始终指向圆心 OC重力和支持力是一对平衡力 D摩擦力是使物体做匀速圆周运动的向心力思路点拨 (1) 向心力是效果力，受力分析时不考虑向心力 (2)向心力的方向始终指向圆心解析 物体随水平圆盘做匀速圆周运动时，受到重力 G 和圆盘对它的支持力 FN，是 一对平衡力， 不能提供

3、向心力， 因此充当向心力的只能是圆盘对物体的静摩擦力， 方向指向圆心，故 B、C、D正确A 选项中多加了一个向心力，应明确这里的向心力就是静摩擦力， 故A 错误答案 BCD(2015 ·安庆高一检测 )在水平面上， 小猴拉着小滑块做匀速圆周运动， O 点为圆心， 能 正确地表示小滑块受到的牵引力及摩擦力 Ff的图是 ( )解析 滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反， 故滑动摩擦力的方向沿圆周的切线 方向， B、D错误；小滑块做匀速圆周运动，其合外力提供向心力，故A 正确， C错误答案 A如图所示，一小球用细绳悬挂于 O 点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以 O 点为圆心做圆周

4、运动，运动中小球所需的向心力是 ( )A 绳的拉力B重力和绳拉力的合力C重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力解析如图所示， 对小球进行受力分析， 它受重力和绳子拉力的作用， 向心力是指向圆心方向 的合力 因此， 可以说是小球所受合力沿绳方向的分力， 也可以说是各力沿绳方向的分力的 合力，选项 C、D 正确答案 CD借题发挥 小球做变速圆周运动， 绳的拉力与重力的合力不是向心力 (在最低点除外 )匀速圆周运动的处理方法学生用书 P281分析思路凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力， 而物体所受外力的合力充当向心力， 这是 处理该类问题的理论基础2 解题步骤 (1)

5、明确研究对象，分析运动情况，确定运动的平面、圆心和半径； (2)受力分析，画出受力示意图；(3)将物体所受外力通过力的正交分解将其分解在两个方向上，其中一个方向沿半径指 向圆心；2v2(4) 列方程：沿半径方向满足 F 合mr m2r ，垂直半径方向合力为零；(5)解方程求出结果(自选例题，启迪思维 )(2015 ·潍坊高一检测 )如图所示的圆锥摆中， 摆球 A、B 在同一水平面上做匀速圆周运动， 关于 A、B 球的运动情况和受力情况，下列说法中正确的是( )A摆球 A 受重力、拉力和向心力的作用B摆球 A 受重力和拉力的作用C摆球 A、 B 做匀速圆周运动的周期相等D摆球 A、 B

6、 做匀速圆周运动的周期不相等解析 设绳和竖直方向的夹角为 ，A、B 球受重力、拉力，二者的合力提供向心力， 故 B 正确；小球所受合力的大小为 mgtan ，根据 mgtan mLsin 2，得 两小球 Lcos选 BC.相等，所以角速度相等，根据 T2知周期相等， 故 C正确故答案 BC如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO 转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为 R和 H，筒内壁 A点的高度为筒高的一半 内壁上有一质量为 m的小物块 求：(1) 当筒不转动时，物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大小；(2) 当物块在 A 点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为0 时，筒转动的

7、角速度解析 (1)当筒不转动时， 物块静止在筒壁 A 点时受到重力、 摩擦力和支持力三力作用而平衡 (如图甲所示 )，由平衡条件得，摩擦力的大小支持力的大小甲乙(2)当物块在 A 点随圆锥筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为0 时，物块在筒壁 A 点时受到重力和支持力作用 (如图乙所示 )，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为，2R有 mgtan m ·，H由几何关系得 tan H，R解得 2RgH.R答案 见解析O 点，让其在水平面内做匀长为 L 的细绳，一端拴一质量为 速圆周运动 (圆锥摆 )，摆线 L 与竖直方向的夹角为 ，求：(1)细线的拉力 F ；(2)小球运动的线速度的

8、大小；(3)小球运动的角速度及周期思路探究 (1) 小球在竖直方向上处于(2)小球在水平面内做圆周运动的半径为(3)小球受到 力和解析状态来提供做匀速圆周运动的小球受力如图所示，小球受重力mg和细绳的拉力 F 的作用(1)因为小球在水平面内做匀速圆周运动， 所以小球受到的合力沿水平方向指向圆心O .mg由平行四边形定则得小球受到的合力大小为 mgtan ，细绳对小球的拉力大小为 F cos 2 mv(2)由牛顿第二定律得 mgtan r由几何关系得 rLsin 所以，小球做匀速圆周运动的线速度的大小为 v gLtan ·sin .(3)小球运动的角速度v gLtan ·si

9、n g rLsin Lcos 2小球运动的周期 T 22答案 (1)comsg (2) gLtan ·sin (3) Lcogs 名师点评 圆锥摆模型问题特点： (1)物体只受重力和弹力两个力作用 (2)物体在水平面内做匀速圆周运动 (3)在竖直方向上重力与弹力的竖直分力相等 (4)在水平方向上弹力的水平分力提供向心力2 Lcogs 变速圆周运动和一般曲线运动的求解学生用书 P281变速圆周运动中，向心加速度和向心力的大小和方向都变化22 v2v 2变速圆周运动中， 某一点的向心加速度和向心力均可用anr、anr2和 Fnmr、Fn mr2 公式求解，只不过 v、都是指该点的瞬时值3

10、一般曲线运动的求解：把曲线上的每一小段看成某个圆周的一部分，对每一部分均2可用 Fnmv mr2 求解只是不同部分对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”不同 r（自选例题，启迪思维 ）如图所示，一质量为 m 的木块从光滑的半球形的碗边开始下滑，在木块下滑过程中 （）A 它的加速度方向指向球心B它所受合力就是向心力C它所受向心力不断增大D它对碗的压力不断减小 解析 下滑过程中木块沿弧线切线和法线方向均有加速度， 合加速度不指向球心 （底端 除外 ），A 错误；物体所受合力的法向分量是向心力，且是变化的，B 错误；下滑过程中速2度加快，由 F 向 mv ，向心力增大， C 正确；而向心力是由支持力

11、和重力法向分力的合力Rv2提供， 设重力与沿半径方向成夹角 ，则 FNmgcos mvR ，由于 减小， 而合力在增大， 因此支持力在增大，即可推出物体对碗压力增大， D 错误答案 C一般的曲线运动可以分成很多小段， 每小段都可以看成圆周运动的一部分， 即把整条曲 线用一系列不同半径的小圆弧来代替如图所示，曲线上的 A 点的曲率圆定义为：通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做 A 点的曲率圆，其半径 叫做 A 点的曲率半径现将一物体沿与水平面成角的方向以速度 v0 抛出，如图所示则在其轨迹最高点A.2 v0 gP 处的曲率半径是 (22v0sin B.g2

12、 2 2 2 v0cos v0cos C. 0 D. 0ggsin 解析 物体在最高点时速度沿水平方向， 曲率圆的 P 点可看成与该点对应的竖直平面 2 2 2 内圆周运动的最高点， 由牛顿第二定律及圆周运动规律知 mgmv ，解得 vg v0cogs g g 22 v0cogs .故选项 C正确答案 C名师点评 非匀速圆周运动的向心力是由物体所受合力沿半径方向的分力提供的， 求 解非匀速圆周运动问题，前提是正确地对物体进行受力分析 学生用书 P29规范答题 水平圆周运动中的临界问题范例（11分）如图所示，细绳一端系着质量为 M0.6 kg 的物体，静止在水平面上另一端通 过光滑小孔 O吊着质

13、量 m0.3 kg的物体， M的中点与圆孔距离为 0.2 m，已知 M和水平面 的最大静摩擦力为 2 N现使此平面绕中心轴转动问角速度在什么范围内 m 处于静止状态？ （g 取 10 m/s2）思路点拨 （1）M 恰好不向圆心滑动时， 所受摩擦力的方向背离圆心， 此时角速度最小（2）M 恰好不向外滑动时，所受摩擦力的方向指向圆心，此时角速度最大解析 设物体 M 和水平面保持相对静止，当 具有最小值时， M 有向着圆心 O运动 的趋势，故水平面对 M 的摩擦力方向背离圆心，且等于最大静摩擦力Fm2 N.对M有 FTFmMr12.（3分）则 1FT Fm / Mr mgFm / Mr0.3

14、5;102 / 0.6×0.2 rad/s2.9 rad/s.（2 分）当 具有最大值时， M 有离开圆心 O 的趋势， 水平面对 M 摩擦力的方向指向圆心， Fm2 N.对M有 FT F m Mr22.（3分）则 2FT Fm / Mr mgFm / Mr 0.3×102 / 0.6× 0.2 rad/s6.5 rad/s.（2 分）故 的范围为 2.9 rad/s6.5 rad/s.（1 分）答案 2.9 rad/s 6.5 rad/s名师点评 关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，要特别注意分析物体做圆周运动 的向心力来源， 考虑达到临界条件时物体所处的状态，

15、即临界速度、临界角速度， 然后分析该状态下物体的受力特点，三种力的作用：结合圆周运动的知识，列方程求解 通常碰到较多的是涉及如下(1)与绳的弹力有关的临界条件：绳弹力恰好为0.(2)与支持面弹力有关的临界条件：支持力恰好为0.(3) 因静摩擦力而产生的临界问题：静摩擦力达到最大值如图所示，半径为 r 的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴内壁上， 它与圆筒间的动摩擦因数为 ，要使小物体不下落，OO 转动，小物体 a 靠在圆筒的 圆筒转动的角速度至少为 ( )解析：选 C.当圆筒的角速度为 时，其内壁对物体 a的弹力为 FN，要使物体 a 不下落，FN mr ，联立两式解得应满足 FNmg，又因为物体在水

16、平面内做匀速圆周运动，则则圆筒转动的角速度至少为 学生用书 P30 随堂达标 1下列关于向心力的说法中正确的是( )A 物体由于做圆周运动而产生向心力B向心力不改变做圆周运动物体的速度大小C做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 D做圆周运动的物体所受各力的合力一定是向心力 解析： 选 B. 力是改变物体运动状态的原因，因为有向心力物体才做圆周运动，而不是 因为做圆周运动才产生向心力，故选项 A 错误向心力只改变物体运动的方向，不改变物 体速度的大小，故选项 B 正确物体做匀速圆周运动的向心力方向永远指向圆心，其大小 不变，方向时刻改变，故选项 C 错误只有匀速圆周运动中，合力提供向心力，而非匀

17、速 圆周运动中向心力并非物体所受的合力，而是合力指向圆心的分力提供向心力，故选项 D 错误2.如图所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为 m 的小球，另一端固定在天花板上 的 O 点则小球在竖直平面内摆动的过程中，以下说法正确的是 ( )A 小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力B在最高点 A、 B，因小球的速度为 0，所以小球受到的合力为 0C小球在最低点 C 所受的合力，即为向心力 D小球在摆动过程中使其速率发生变化的力为绳子的拉力 解析： 选 C.小球以悬点 O 为圆心做变速圆周运动，在摆动过程中，其所受外力的合力 并不指向圆心 沿半径方向的合力提供向心力， 重力沿圆弧切向的分力提

18、供切向加速度， 改 变小球运动速度的大小在 A、B 两点，小球的速度虽然为 0，但有切向加速度，故其所受 合力不为 0；在最低点 C，小球只受重力和绳的拉力， 其合力提供向心力 由以上分析可知， 选项 C 正确3在光滑的水平面上，用长为 l 的细线拴一质量为 m 的小球，使小球以角速度 做匀 速圆周运动下列说法中正确的是 ( )Al、不变， m 越大线越易被拉断Bm、 不变， l 越小线越易被拉断 Cm、l不变， 越大线越易被拉断 Dm不变，l 减半且角速度加倍时，线的拉力不变 解析： 选 AC. 在光滑的水平面上细线对小球的拉力提供小球做圆周运动的向心力由Fn m2r 知，在角速度 不变时，

19、 Fn与小球的质量 m、半径 l 都成正比， A 正确， B 错误； 质量 m不变时， Fn又与 l和2成正比， C正确，D错误4A、B、C 三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为，A 的质量为 2m， B、C 质量均为 m，A、B离轴为 R， C离轴为 2R，则当圆台旋转时 (设 A、B、C都没有滑动，如图 所示 )，则 ()A C 的向心加速度最大BB 受到的静摩擦力最小C当圆台转速增加时， C 比 A 先滑动D当圆台转速增加时， B 比 A 先滑动解析： 选 ABC. 三者角速度一样，由 a 2r 可知 C 物体的向心加速度最大， A 正确； 三物体都靠静摩擦力提供向心力， 由 Fm 2

20、r 可知 A、B 之间 B 物体向心力小， 同时可知 B、 C 之间还是 B 物体向心力小，因此 B 受静摩擦力最小， B 正确；当转速增加时， A、 C 所需 向心力同步增加，且保持相等，但因 C 的最大静摩擦力小， C 比 A 先滑动， C 正确；当转 速增加时， A、B 所需向心力也都增加， 且保持 21关系， 但因 A、B 最大静摩擦力也满足 2 1 关系，因此 A 、 B 会同时滑动5.（选做题 ）有一种叫“飞椅”的游乐项目， 示意图如图所示 长为 L 的钢绳一端系着座椅， 另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动 当转盘以角速 度 匀速转动时，钢绳与转

21、轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为.不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度 与夹角 的关系解析：F m2r 得对座椅进行受力分析，由向心力公式2则 答案：gtan r Lsin.gtan r Lsinmgtan m （rLsin ） 课时作业 一、选择题1.如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮， 橡皮块随圆盘一起转动 （俯视为逆时针 ）某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘 静止，在这段时间内， 关于橡皮块所受合力 F 的方向的四种表示 （俯视图 ）中，正确的是 （ ）解析： 选 C. 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；合力

22、 的径向分力提供向心力，切线分力产生切向加速度由于做加速圆周运动，转速不断增加， 故合力与速度的夹角小于 90°；故选 C.2.（2015 汕·尾高一检测 ）如图所示， 有一贴着圆锥面做匀速圆周运动的光滑小球，那么， 它（）A一定受到重力、弹力、细线拉力三个力的作用 B一定受到重力、弹力、细线拉力和向心力四个力的作用 C可能受到重力、细线拉力和向心力三个力的作用 D可能受到重力、细线拉力两个力的作用 解析： 选 D. 小球绕圆锥转速较小时，小球受重力、弹力和细线拉力三个力，转速较大 时，小球会离开圆锥表面， 此时小球只受重力和拉力两个力， A 错， D 对；向心力是效果力，

23、 由其他力或其他力的合力 （分力 ）提供，实际物体不单独受向心力， B、C 错3.（2015 ·高考天津卷 ）未来的星际航行中， 宇航员长期处于零重力状态， 为缓解这种状态带 来的不适， 有人设想在未来的航天器上加装一段圆柱形“旋转舱”， 如图所示 当旋转舱绕 其轴线匀速旋转时， 宇航员站在旋转舱内圆柱形侧壁上， 可以受到与他站在地球表面时相同 大小的支持力为达到上述目的，下列说法正确的是 （ ）A 旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越大B旋转舱的半径越大，转动的角速度就应越小C宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越大 D宇航员质量越大，旋转舱的角速度就应越小 解析： 选 B. 旋转舱

24、对宇航员的支持力提供宇航员做圆周运动的向心力，即mgm2r，解得 gr ，即旋转舱的半径越大，角速度越小，而且与宇航员的质量无关，选项B 正确4.（2015 ·成都高一检测 ）质量不计的轻质弹性杆 P 插在桌面上，杆端套有一个质量为 m 的 小球，今使小球沿水平方向做半径为 R 的匀速圆周运动，角速度为 ，如图所示，则杆的 上端受到的作用力大小为 （ ）2A m R2 2 2 4 2B. m g m R2 2 2 4 2C. m2g2m24R2 D不能确定解析：选 C.小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动这两个力的合力充当向心力， 如图所示用力的合成法可得杆对小球的作用力：F mg

25、 2 F2向 m2g2m24R2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的反作用力FF，C 正确5.如图所示， 在旋转圆盘上 正确的是 (AA 的速度比 B 的大BA 与 B 的向心加速度大小相等C悬挂 A、 B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小 解析： 选 D. 当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，二者的角速度 可知， A的速度比 B的小，选项 A 错误由 a2r 可知，选项 B错误，由于二者加速度不 相等，悬挂 A、B的缆绳与竖直方向的夹角不相等， 选项 C错误悬挂 A 的缆绳所受的拉力 比悬挂 B的小，选项 D 正确6.“旋转秋千” 不考虑空气阻力的影响，

26、)，通过相同长度的缆绳悬挂当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时， 下列说法 相等，由 v r如图所示，质量为 受到的摩擦力的最大值为AF mgBF< mgCF> mgD无法确定 F 与m 的滑块与轨道间的动摩擦因数为.当滑块从 A 滑到 B 的过程中，F，则 () mg的大小关系解析： 选 C.滑块下滑，到达水平面之前做圆周运动，在圆轨道的最低点，弹力大于重力 FNmgmvR ，故摩擦力的最大值 F> m.g7如图所示， M 能在水平光滑杆上自由滑动，光滑杆连架装在转盘上M 用绳跨过在圆心处的光滑滑轮与另一质量为 m 的物体相连当转盘以角速度 转动时， M 离轴距离为 r，且恰

27、能保持稳定转动当转盘转速增至原来的2倍，调整 r 使之达到新的稳定转动状态，则滑块 M( )A所受向心力变为原来的1B线速度变为原来的 21C半径 r 变为原来的 22倍12解析： 选 B. 转速增加，再次稳定时， 等于 m 的重力，所以向心力不变，故 AD M 的角速度变为原来的M 做圆周运动的向心力仍由拉力提供，拉力仍然错误转速增至原来的 2 倍，则角速度变为原来的2 1 12 倍，根据 F mr2，向心力不变，则 r 变为原来的 4.根据 v r ，线速度变为原来的 2，故B 正确， C、 D 错误8.B，在各如图所示， 固定的锥形漏斗内壁是光滑的， 内壁上有两个质量相等的小球 A 和

28、自不同的水平面做匀速圆周运动，以下物理量大小关系正确的是 （ ）A 速度 vA>vBB 角速度 A>BC向心力 FA>FBD 向心加速度 aA>aB解析：选 A.设漏斗的顶角为 2，则小球的合力为 F 合tamng ，由 FnF 合tamng m rmrma，知向心力 FA F B，向心加速度 aA aB，选项 C、D 错误；因 rA>rB，又由于 v和 rtagn 知 vA>vB、 A<B，故 A 对， 9.B 错绕竖直直A.C.D.B.解析： 选 D. 小球受重力和圆环的弹力，两个力的合力垂直于转轴，提供向心力，根据2牛顿第二定律有： F 合mgc

29、ot 30° mRcos 30°，解得 .故 D 正确，A、 B、C 错误 10.（多选 ）（2014 高·考新课标全国卷 ）如图，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b（ 可视为质点 ） 放在水平圆盘上， a与转轴 OO的距离为 l，b 与转轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩如图，放于竖直面内的光滑金属圆环半径为R，质量为 m 的带孔小球穿于环上，同时 有一长也为 R 的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点当圆环以角速度 径转动时，绳被拉直且小球受两个力作用则为 （ ）k 倍，重力加速度大小为表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 b 一定比 a 先开始滑

30、动a、 b 所受的摩擦力始终相等擦力为木块所受重力的动，用ABg.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转()C是 b 开始滑动的临界角速度D 当 23klg时， a 所受摩擦力的大小为解析： 选 AC.小木块 a、b 做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即 度增加时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，对木块kmgf m 2R.当角速2a：famal，当 fa kmg 时，kmgm2al，alg；对木块 b：f b m2b·2l ，当 fb kmg 时，kmgm2b·2l，bl ，所以 b 先达到最大静摩擦力，选项 A 正确；两木块滑动前转动的角速度相同，则 f

31、a m2l，fb m 2·2l，f a< fb，选项 B 错误；当 b 刚开始滑动，选项 C 正确；当 lg时， a没有滑动，则 fam2l32kmg，选项 D 错误 、非选择题11.(2015 新·余高一检测 )如图所示，一根长为 L2.5 m 的轻绳两端分别固定在一根竖直棒 上的 A、B两点，一个质量为 m0.6 kg 的光滑小圆环套在绳子上，当竖直棒以一定的角速 度转动时，圆环以 B 为圆心在水平面上做匀速圆周运动，(37°，g10 m/s2)则：(1)此时轻绳上的张力大小等于多少？(2)竖直棒转动的角速度为多大？Fsin mg解析： (1)环受力如图所示圆环在竖直方向所受合外力为零，即： 所以 F mg 10 N ，sin 即绳子的拉力为 10 N.(2)圆环在水平面内做匀速圆周运动，由于圆环光滑，所以圆环两端绳的拉力大小相等BC 段绳水平时，圆环做圆周运动的半径rBC，r则有： rcosr L解得： r 190 m则： Fcos F mr2 解得： 3 3 rad/s. 答案： (1)10 N (2)3 3 rad/s 12.如图所示，