第二十二章一元二次方程导学案

1、7.1 一元二次方程一、学习目标21、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax bx c 0a0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过 程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。二、学习重点难点重点、一元二次方程的概念和一般形式 . 难点、正确理解和掌握一般形式中的a 0 ，“项”和“系数” .三、学习过程（一）、自主学习1问题 1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为 900 平方米的一块长 方形绿地，并且长比宽多 10 米，那么绿地的长和宽各为多少？（列出方程）2问题 2学

2、校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册. 求这两年的年平均增 长率 . （列出方程）3思考、讨论这样，问题 1和问题 2分别归结为解方程（ 1）和（ 2）. 显然，这两个方程都不是一元一次 方程 . 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢?整式方程： 一元一次方程： （二）、合作探究1、（ 1）一元二次方程的概念 : 一元二次方程特 征：（1） （ 2 ） （3）（2）. 下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。x 2 22 1 x 2 2（ 1） 3x 2 5x 3（2） x2 4 （3） x 1（4） x4 （x 2）2、一元二次方程

3、的一般形式（ 1）、任何一元二次方程经过化解后通常可写成如下的一般形2 式： （a、b、c 是已知数， a0）。注意：（1）其中 ax叫做 ， a 叫做 ； bx 叫做 _ ， b 叫做 c 叫做 （2） 为什么要 a 0;若a=0并且 b 0则方程是 2 2 2 2（3） 当 a 0 时 ax2bxc0；ax2c0；ax2 bx0； ax 2 0；均为一元二次方程4）：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：221) 6yy 2)(x-2 )(x+3)=83 ) (x 3)(3x 4) (x 2)例 3： 方程( 2a4) x2 2bx+a=0, 在什么条件下

4、此方程为一元二次方程？在什么条件下 此方程为一元一次方程？例 4：已知关于 x 的一元二次方程 (m-1)x 2+3x-5m+4=0 有一根为 2，求 m。三、本课小结：1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程，叫做一元二次方程。22、一元二次方程的一般形式为 ax bx c 0( a 0)，一元二次方程的项及系数都是根 据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。3、在实际问题转化为数学模型(一元二次方程 )的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。四、达标练习1、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项2x 2 2 3

5、x 2x(x-1)=3(x-5)-42y 1 2 y 1 2 y 3 y 222、关于 x的方程 (m 3)x nx m 0 ，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？7.2 用配方法解一元二次方程导学案(一) 学习目标1、了解形如 x h 2 k(k 0) 的一元二次方程的解法 直接开平方法2、会用直接开平方法解一元二次方程学习重点难点重点：会用直接开平方法解一元二次方程难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系教学过程一、预习内容1、什么是一元二次方程？将方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次 项系数和常数项 （1）5 4x x2（1）5 3x2 （3）y2 y

6、 1 2 y 2 y 22、如果 x2 a那么 x 叫做 a 的, 记作 ; 如果 x2 4, 那么记作3、3 的平方根是； 0的平方根是；-4 的平方根二、学习内容问题如何解方程： x 4根据平方根的定义，由 x24可知， x就是 4的平方根，因此 x的值为 2和2 即 根据平方根的定义，得 x 2 4x± 2即此一元二次方程的解为： x 1=2， x2 = 2 这种解一元二次方程的方法叫做 。例 1 解下列方程：22（1） x2 2（ 2）4x210注：形如方程 x2 k 0 （ k_）可变形为 x2k （k） 的形式，即方程左边是关于 x 的一次式的平方， 右边是一个 数，可用

7、直接开平方法解此方程。 方程的两根分别用 x1,x2表示。例 2 解下列方程：2 2 2 （x1）2= 2 2 （x1）24 = 0 12 （3x）23 = 0注：形如 x h 2 k（k 0） 的方程的解法。1）解形如 x h 2 k（k 0） 的方程时，可把 x h 看成整体，然后直开平方程。2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数，3）如果变形后形如 x h 2 k 中的 K 是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根。4）如果变形后形如 x h 2 k 中的 k=0 这时可得方程两根 x1,x2相等。三、本课小结：1、用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤；2、任

8、意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗 四、练习1、用直接开平方法解方程（ xh） 2=k ，方程必须满足的条件是（ ） Ako B ho C hk> o D k< o2、方程（ 1-x ）2=2 的根是（ ）A.-1 、3 B.1 、-3 C.1-2 、1+ 2 D. 2-1、 2 +13、下列解方程的过程中，正确的是（）(A)x 2=-2, 解方程，得 x=± 22(B)(x-2) 2=4, 解方程，得 x-2=2,x=4(C)4(x-1)22=9, 解方程，得4(x- 1)= ± 3,7x 1=;x 2=144(D)(2x+3)2=25, 解方程，得2

9、x+3=± 5, x1= 1;x2=-44、解下例方程2(1)4x =9(2)3(2x+1)22=12（3）452x 0；2（4）12y225 0；2（5）16x225 0. ( 6)4x 21 0(7)81(x-2)2=16 ；(8)(2x+1)2=25；7.2 用配方法解一元二次方程导学案（二）学习目标1、经历探究将一元二次方程的一般（xm）2= n（n 0）形式的过程，进一步理解配方法的意义2、会用配方法解二次项系数为 1 的一元二次方程，体会转化的思想方法 学习重点难点重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程 难点：把一元二次方程转化为的（xm） 2= n（ n 0）形式教学过

10、程 预习内容1. 请说出完全平方公式。2 2（ab）2 =（a-b）2 =2. 用直接开平方法解下例方程：（1）（x 3）2 5（2） （x 5）2 4 133、通过类比的思想，思考如何解下例方程1) x 2 4x 4 1622) x2 10x 25 4 13二、学习内容问 题 1、请你思考方程 （x 3）2 5与 x2 6x 4 0 有什 么关系，如何 解方 程2x2 6x 4 0 呢？问题 2 、能否将方程 x2 6x 4 0 转化为（ x m）2 n的形式呢？2x 2 6x 4 0 先将常数项移到方程的右边，得 （为了方程左边得到一个完全平方式 在方程的 加上一次项系数 ，即 32 后，

11、得）x22·x·3 32 = 432（x3）2 = 5 解这个方程，得 x 3 = 所以 x 1 = x2 = 例题 12 3 2（1） x2 x30.思考如何解（2）2x2-3x+6=02小结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：1、先把方程化成一般形式，并且二次项系数化为1 再把常数项移到方程右边；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方； 3、方程右边是非负数时可利用直接开平方法求解。思考：为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？例题 2 将下列各进行配方： x2 8x2( x )2 x 5x(x2)2 x2 3 x( x2)

12、22x26 2 x( x2)2重点题型)例题 3 用配方法说明代数式22x 24x3 的值恒大于 0并且说出 x 为何值时它有最大值？最大值为几？三、本课小结：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？四、练习1、填空： ( 1 ) x 2+6x+ =(x+ )2(3)x 2-5x+ =(x- )2(5)x +px+ =(x+ )2； (2)x 2-2x+ =(x- )22； (4)4x +x+ =(x+2；2；2；2、将方程 x2+2x-3=0 化为 (x+m) 2=n 的形式为3 、用配方法解方程x2+4x-2=0 时，第一步是是 ，解是，

13、第二步是，第三步4、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为()2A.(x-4) =9B.(x+4)2C.(x-8) 2=16D.(x+8)2=92=575、已知方程x2-5x+q=0 可以配方成A.646、已知方程A.9 B.7 C.27、用配方法解下列方程：B.25 C.5(x- )219262= 的形式，则 q 的值为(4D. -194 x2-6x+q=0 可以配方成 B.7 C.2 D.-24(x-p ) 2=7 的形式，那么 q 的值是(1) x2-4x=5 ；2) 2x2-7x+3=0 ；23) 4x2+8x+3=0；4) y2+2 2 y-4=0 ；8、试用配方法

14、证明：代数式x2+3x- 3 的值不小于 - 15 。247.3 用公式法解一元二次方程导学案（一） 学习目标1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。 2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。学习重点难点1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和 常数为负数时 , 代入求根公式常出符号错误。教学过程一、预习内容：1、用配方解一元二次方程的步骤是什么？2、用配方法结合直接开平方法解一元二次

15、方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？3、如何解一般形式的一元二次方程ax2bxc = 0 (a0)？二、学习内容问题 1 能否用配方法把一般形式的一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)转化为(x b)2a2b 4ac4a2呢？问题 2、为什么在得出求根公式时有限制条件b2 4ac 0？b2 4ac当b2 4ac 0，且 a 0时， b 42ac 大于等于零吗？4a2请说明理由 让学生讨论、交流，从中得出结论：当 b 2 4ac 0 时 ， 一 般 形 式 的 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0(a 0) 的 根 为2a即 x 。由以上研

16、究的结果，得到了一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)的求根公式：b b2 4ac 2a条件)这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b 、 c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数 a、b 、 c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 思考：当 b2 4ac 0 时，方程有实数根吗？例 1、解下列方程：2(1)x 2 3x 2 0 (2)2x2 7x 4 ； (3) 5x 4x 12 02(4) 4x2 4x 10 1 8x注意：应用公式法解一元二次方程时应将一元二次方程化成一般形式三、本课小结：1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？2、任何一个一元二次方程

17、都能用公式法求解吗？举例说明。3、若解一个一元二次方程时， b24ac< 0，请说明这个方程解的情况。四、练习221、 把方程 4-x 2=3x 化 为 ax2+bx+c=0(a0) 形式为 b2-4ac=.2、方程 x2+x-1=0 的根是 。3、用公式法解方程2 x2+4 3x=2 2 ,其中求的 b2-4ac 的值是( )A.16 B. 4 C. 32 D.644、用公式法解方程5、用公式法解方程x2=-8x-15 ，其中 b2-4ac=，方程的根是3x2+4=12x，下列代入公式正确的是()A.x 1.2=12 144 12B. x1.2=12 144 12C. x 1.2=12

18、 144 122D. x12 144 481.2 =62 2 2，方程的根6、把方程 (2x-1)(x+3)=x 2+1 化为 ax2 + bx + c = 0 的形式， b2-4ac= 是 .27、方程 x2 4x 0 的解为23) 2x2-3x-2=0 ；4) 3x(3x-2)+1=0.8、方程 （x-1）（x-3）=2 的根是（ ）A. x 1=1,x 2=3B.x=2 2 3C.x=23 D.x=-2239、已知 y=x2-2x-3 ，当 x=时，y 的值是 -310、用公式法解下列方程：2( 1)x2-2x-8=0 ；（2）x2+2x-4=0 ；11、已知等腰三角形的底边长为9，腰是

19、方程 x2 10x 24 0 的一个根，求这个三角形的 周长。7.3 用公式法解一元二次方程导学案（二）学习目标1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b24ac 对根的情况的判断作用2、能用 b2 4ac 的值判别一元二次方程根的情况3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程 学习重点难点重点：一元二次方程根与系数的关系 难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值 教学过程一、预习内容 用公式法解一元二次方程1 x2 3x 2 0 2 9x2 6x 1 0 3 x2 2x 3 0请同学们观察这三个方程的解题过程， 可以发现： 在把系数代入求根公式之前， 每题都是先

20、 确定了 a、b、c 的值，然后求出它的值 b2 4ac ，为什么要这样做呢？ 回顾用配方法把一般形式的一元二次方程ax2 bx c 0（a 0） 转化为一个完全平方式2b2 4ac 的作用 是： .二、学习内容由此可见：在解 一元二次方程ax2bx c0a 0 时，代数式 b24ac 起着重要的作 用 ， 显 然 我 们 可以根 据b24ac 的 值 的 符号 来 判 断2一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的根的情况，因此，我们把 b2 4ac 叫做 ，通常用符号“（读作 delta ，它是希腊字母）”来表示，即2=b 4ac一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式定

21、理：（1） 在一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 中， b2 4ac若> 0 则方程 若 =0 则方程 若< 0则方程 （2）这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 中， b2 4ac 若方程有两个不相等的实数根，则 若方程有两个相等的实数根， 则 若方程没有实数根， 则 （3）定理与逆定理的用途不同定理的用途是： 在不解方程的情况下， 根据值的符号， 用定理来判断方程根的情况。 逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定值的符号，进而可求出 系数中某些字母的取值范围。（4）注意运用定理和逆定理时，方程必须为 （ a

22、）而且方程必须化成一般形式后方可使用。例 1 ：不解方程判别下列方程根的情况1 2x2 3x 4 02 16y2 9 24y3 5 x2 1 7x 04 x2 2 2kx k 2 0例 2：求证关于 x的方程 m2 1 x2 2mx m2 4 0 没有实数根例 3：已知关于 x 的一元二次方程 (k1) x2 2kx k30k 取什么值时，(1) 方程有两个不相等的实数根 ? (2) 方程有两个相等的实数根 ? (3) 方程没有实数根 ?三、本课小结：( 1 )根的判别式的定理与逆定理的内容，( 2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使

23、用逆定理。四、练习1、方程 3x2+2=4x 的判别式 b2-4ac=，所以方程的根的情况是 .2、一元二次方程 x2-4x+4=0 的根的情况是( )A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 不能确定3 下列方程中，没有实数根的方程式()A.x 2=9B.4x2=3(4x-1)2C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=04、方程 ax2+bx+c=0(a0) 有实数根，那么总成立的式子是()22A.b 2-4ac >0B. b2-4ac < 022C. b -4ac 0D. b- 4ac05、如果方程 9x2-(k+6)x+k+1=0 有两个相等

24、的实数根，那么 k= .6、方程 (2x+1)(9x+8)=1 的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 不能确定7、关于 x 的一元二次方程 的根的情况是 ( )A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定8、关于 x 的方程 x2+2 k x+1=0 有两个不相等的实数根，则 k( )A.k > -1 B.k -1 C.k >1 D.k 09 、已知方程 x2-mx+n=0 有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m， n 的值可以是m= ,n= .10、若方程 kx2 6x 1 0 有实数根，则 k

25、 的范围是 。11、若关于 x的一元二次方程 mx2 2x 1 0 有两个相等的实数根，则 m 12、不解方程，判断下列方程根的情况：2 2 2（1） 3x2x1 = 3x（2）5（x21）= 7x（3）3x24 3x = 413、当 k 为何值时，关于 x 的方程 kx2（ 2k1）xk3 = 0 有两个不相等的实数根？7.4 用分解因式法解一元二次方程导学案 学习目标 1明确具备什么条件的一元二次方程可适用因式分解法； 2熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程3. 通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神 学习重点难点重点：能灵活地应用分解因式法解一元二次方程 难点：理解

26、“或”、“且”的含义 教学过程一、预习内容1、上一堂课我们学习了一元二次方程的第一种解法 形如： x2k（k 0）x h2 k（k 0）均可以用 法用直接开平方法解下列方程 22（1）4x2 24（2）2（x1）2=162、你能解决这个问题吗？一个数的平方与这个数的3 倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？小明是这样解的：解设这个数是 x.依题意得： x2 = 3x两边同时约去 x ，得 x = 3x这种解法正确吗？（答： ）小影是这样解的解设这个数是 x. 依题意得： x2 = 3x2 3x = 0 x（x 3）=0 解 得x10，x2这步的理论依据是什么？这个数是 0 或 3。 这种解法正

27、确吗？（答： ）二、学习内容引例：方程 x2 4=0 左边能否化成两个一次因式的乘积概念1当一元二次方程的一边是 0, 而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时, 我们就可以用分解因式的方法求解 . 这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.即如果 A·B = 0A = 0 或 B = 0（如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，它 们的积也就等于零）“或”有下列三层含义 A0且 B0A0且 B0A0且 B02（ 1）方程 （x + a）（x + b） = 0的两个根为 x1 = ， x2 = （ 2）方程 （x + 2）（x -3） = 0

28、的两个根为 x1 = ， x2 = 2例 1（1） （3x+2）（4-x）=0 （2） 3 x2=12(3) 4x(x-2)=5(x-2) (4) 223x)2=3x-9（3） 中能否两边同时除以（ x-2 ）为什么？ 例 2 （补充） 十字相乘法2 ax bx c 0 （若 a能分成 ,c 能分成 （十字交叉相乘后再相加若等于 b）则 ax2bx c=( ) ()=0例 3 用十字相乘法解下列方程2 2 2 ( 1) x2 3x-10=0 (2) x 2+2x-3=0 (3)3x 2+11x+10=0三、本课小结：（1 ）用因式分解法的条件是 :方程左边易于分解而右边等于零 ; 即一元二次方

29、程可以转化为 A·B=0的形式（2）因式分解法解一元二次方程的本质就是降次转化为解两个一元一次方程（3）理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零 . ”简记歌诀：左分解，右化零，两因式，各求解。四、练习(1) 4x2 -9=0(2) (2x+1)2-5=0（3）22(3x) 2= 4(2x+1) 22(4)9x 2-6x+1=0(5)2x2-7x+3=0(6)2x 2+3x-28=0222x(2x 3) 4(3 2x) 0(7) (2x 3)2 (1 3x)2(8)2(8) 4x 4x 1 0 (9)x2 8x 07.5 一元二次方程的根与系数的关系导学案学习目标

30、1、认知目标：引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系 数的关系，及其关系的运用。2、能力及情感目标：通过观察、实践、讨论等活动，让学生经历发现问题，发现关系的过 程，并在探索过程中培养学生自主探索能力及合作交流能力。学习重点难点1、指导学生自主探索一元二次方程的两根之和，及两根之积与原方程系数之间的关系，猜 想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。2、对根与系数的关系这一性质的应用教学过程一、预习内容（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式（2）解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原 来的方程的系数有什么联系？2 x2 + x =

31、 02 x2 + x = 02 x2 x + = 0方程x1x2x1 + x 2x1 x 22 x2 + x = 02 x2 + x = 02 x2 x + = 0 . 尝试探索，发现规律：完成上表猜想一元二次方程的两个解的和、 积与原来的方程有什么联系？请与小组中的同学交流你的看法，并总结你们的观点。二、学习内容推导验证：设 x1、x2 是方程 ax 2+bx+c=0（ a 0）的两个根x1+x 2=x1.x2=由此得出， 一元二次方程的根与系数的关系 （一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）2如果 ax2+bx+c=0（ a 0）的两个根是 x1，x2，那么 x1+x 2=（ ）x1.

32、x2=（ ）注意： 一元二次方程的根与系数的关系的应用有两大前提一、 它是 方程即条件为 ; 二、方程必须 即条件为 .例 . 不解方程，求出方程两根的和与两根的积2 2 2 x2 + x = 0 x2 + x + = 0 x2 x+= 0例 2 已知方程 x 4 x c 0 的一个根为 2 3 ，求另一根及 c 的值 .例 3 设方程 x +3x+1=0 的两根为 x1,x 2, 求下列各式的值：221)x1 +x22) 1 + 13）（x1-3 ）（ x2-3）x1x 22（4）（x1-x2）2（ 5） x1-x 2三、本课小结：1. 根与系数的关系的内容2. 根与系数关系使用的前提是：

33、（1）是一元二次方程； （2）判别式大于等于零 四、练习1、如果方程 x2 mx 1 的两个实根互为相反数，那么m 的值为 2 1 12、设 x1、 x2 是方程 x2 4x 2 0 的两根，则x1 x2； x1 x2； (x1 1)(x2 1)3、已知方程 x2 mx 45 0 的两实根差的平方为 144，则 m 24、已知方程 x2 3x m 0 的一个根是 1，则它的另一个根是， m 的值是k25、反比例函数 y 的图象经过点 P（ a、b ），其中 a、b 是一元二次方程 x2 kx 4 0 x的两根，那么点 P 的坐标是6、已知x1、 x2 是方程 x23x 1 0 的两根，则24x

34、12 12x2 11的值为7、已知2ab 0，方程 ax 2bx c 0 的系数满足b2b2ac，则方程的两根之比为（）A 、8、菱形01BABCD的边长是、 12D、 23x2 (2m 1)x m2A 、 39 、已知关于 x 的方程、1 1C5，两条对角线交于 O 点，且 AO、 BO的长分别是关于 x 的方程：3 0 的根，则 m 的值为（ ）、5、5 或 3、5或32x2 3x a 0 的两个实数根的倒数和等于3，关于 x 的方程的值。2 k 1（k 1）x2 3x 2a 0有实根，且 k 为正整数，求代数式 k 210、已知关于 x 的方程 x2 2(m 1)x m2 3 0( 1)

35、当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)设 x1、 x2是方程的两根，且 (x1 x2 )2 (x1 x2) 12 0，求 m的值。一元二次方程的解法习题课导学案学习目标1、了解一元二次方程的各种解法。2、学会选择适当的方法来解一元二次方程。学习重点难点 能正确地选择适当的方法来解一元二次方程，熟练解出一元二次方程的解。教学过程一、复习引入一元二次方程共有几种解法？ 种，分别为 直接开平方法：形如方程 x2 k 0(k 0) 、 x h 2 k(k 0) 可以用直接开平 方法求解因式分解法：形如 A·B = 0A = 0 或 B = 0配方法：解题步骤 1232公式法：一元

36、二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的求根公式：b b2 4ac 2a条件 )、学习内容例 1、用直接开平方法解下列方程：12x4302) (2x-1) 2-18=0例 2、用配方法解下列方程：1) x2 -4x -2=02)2x2 -3x -4=0例 3、请用配方的方法说明：不论x 取何值， -2x 2+12x 8 的值不可能等于 11例 4、用公式法解下列方程：( 1) x 2 -3x-2=02) 2x 2 -3x-4=0练习1、选用适当的方法解下列方程(1) 3x2+4x-1=0(2)23x -2 ) 2-49=0(3) x2+6x 5=0(4) (x+2)(x 1)=1025) (

37、x-2) 2=2(x-2)(6)23x -4 ) 2=( 4x -3 )2、用配方法证明：关于 x 的方程（ m2 -12m +37 ）x2 +3mx+1=0，无论 m取何值，此方程都 是一元二次方程3、若 a、b、c为ABC的三边，且 a、b、 c满足（a b）（a c）=0 ，判断 ABC的形状。4、若 (a 2+b2)(a 2+b2 2)=8 ，求 a2+b2的值。四、课后练习：1、方程 2x2-3x+1=0 化为 （x+a） 2=b的形式 , 正确的是 （ ）216 B 、 216x 3 1 D 、以上都不对4 162、（ 20XX年兰州）阅读材料：设一元二次方程 ax2+bx+c0（

38、a0）的两根为 x1，x2，则两 bc根与方程系数之 间有如下关系： x1+x2 b，x1·x2 c . 根据该材料填空：已知x1、aax2 是方程x2+6x+30的两实数根，则 x2 +x1 的值为x1 x2223 、一元二次方程 x -ax+6=0, 配方后为 （x-3） =3, 则 a=.4、解方程（ x+a） 2=b 得（）A、x=± b -a B 、x=± a+ b C 、当 b 0 时， x=-a ± b D 、当 a 0 时， x=a± b5、已知关于 x 的方程（ a2-1 ）x2+（ 1-a ）x+a-2=0 ，下列结论正确的

39、是（）A、当 a±1 时，原方程是一元二次方程B 、当 a 1时，原方程是一元二次方程。C、当 a-1 时，原方程是一元二次方程 D 、原方程是一元二次方程。6、代数式 x2 +2x +3 的最 （填“大”或者“小” ）值为 7、关于 x 的方程（ m-1）x 2+（ m+1）x+3m-1=0，当 m时, 是一元一次方程 ; 当 m时, 是一元二次方程 .8、（ 20XX年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： 22x2 1 3x 1 、= 35）D 、以上答案都9、下列方程是一元二次方程的是（）1 2 2 2 A、 -x 2+5=0 B 、x（ x+1）=x2-3 C 、3

40、x2+y-1=0 Dx10、方程 x2-8x+5=0 的左边配成完全平方式后所得的方程是（A、（ x-6 ）2=11B、（x-4 ）2=11 C 、（x-4）2=2111、关于 x 的一元二次方程 （ m-2）x 2+（ 2m 1）x+m24=0 的一个根是 0，则 m 的值是（）A、 2B、 2C、 2 或者 2D 、 1212、要使代数式x2 2x 3 x2 1的值等于0，则 x 等于（）A 、1 B、-1C 、3D、3 或 -113、三角形两边长分别是 6 和 8，第三边长是 x2-16x+60=0 的一个实数根，求该三角形的第 三条边长。7.6 一元二次方程的实际应用导学案（一）学习目

41、标1、进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型，2、经历用一元二次方程解会用一元二次方程解决有关几何图形面积、体积问题3、通过对实际问题的决实际问题的过程，知道解应用题的一般步骤和关键所在 学习重点难点重点：学会用列方程的方法解决有关形积问题 难点：如何找出形积问题中的等量关系教学过程一、预习内容一个无盖的长方体纸盒？2） 无盖长方体的高与裁去的（ 1） 如何把一张长方形硬纸片折成 四个小正方形的边长有什么关系？5cm，引申：如上图，一块长和宽分别为60厘米和 40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800 平方厘米 . 求截去正方形的

42、边长。二、学习内容例 1、如图 1，一张长 40cm，宽 25cm的长方形纸片，裁去角上四个小正方形之后。折成如图2 的无盖纸盒，若纸盒的底面积是 450cm2，那么纸盒的高是多少？40cm25cm图 1例 2 在宽为 20 米、长为 32 米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为 耕地，要使耕地面积为 540 米 2，道路的宽应为多少？三、本课小结：1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？四、练习1、围绕长方形公园的栅栏长 280m. 已知该公园的面积为 4800m2.求这个公园的长与宽2、用 22cm长的铁丝，折成

43、一个面积为 30cm2 的矩形。求这个矩形的长与宽3、建造一个池底为正方形、深度为 2 米的长方体无盖水池，池壁的造价为 100 元/ 平方米，池底 的造价为 200 元/ 平方米，总造价为 6400 元，求正方形池底的长。4、在长为 40米、宽为 22 米的矩形地面内， 修筑两条同样宽且互相垂直的道路， 余下的铺上草坪， 要使草坪的面积达到 760 平方米，道路的宽应为多少？7.6 一元二次方程的应用导学案（二） 学习目标1、进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法2、进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力 学习重点难点重点：学会用列方程的方法解决

44、有关形积问题 难点：了解增长率与减少率相关应用题的求解。教学过程一、预习内容引例 1：一块长方形铁皮的长是宽的2 倍，四角各截去一个正方形，制成高是 5 ，容积是 500 3 的无盖长方体容器。求这块铁皮的长和宽。4 的小正方形，做成一个无盖的盒子。引例 2：一块起码方形铁皮的四个角各剪去一个边长为 已知盒子的容积是 400 ，求原铁皮的边长。二、学习内容例 1、某商店 6 月份的利润是 2500 元，要使 8 月份的利润达到 3600 元，这两个月利润的月平均 增长的百分率是多少？例 2、某种手表 ,原来每只售价 96元,经过连续 2次降价后 ,现在每只售价 54元,平均每次降价的百分率是多

45、少 ?小结：例 1 中 原始量、现在量、 增长率为 x 、增长次数为 n 则增长率公式为 例 2 中 原始量、现在量、减少率为 x 、减少次数为 n 则减少率公式为 三、本课小结：增长率公式与减少率公式的内容 四、练习1、某乡产粮大户 ,20XX年粮食产量为 50 吨,由于加强了经营和科学种田 ,20XX 年粮食产量上升到 60.5 吨 . 求平均每年增长的百分率 .2、某服装店花 2000 元进了批服装，按 50%的利润定价，无人购买。决定打折出售，但仍无人购 买，结果又一次打折后才售完。经结算，这批服装共盈利 430 元。如果两次打折相同，每次打了 几折？3、某钢铁厂今年一月份的某种钢产量

46、是5000 吨, 此后每月比上个月产量提高的百分数相同, 且三 月份比二月份的产量多 1200 吨, 求这个相同的百分数4、江阴市某工厂 20XX年捐款 1万元给希望工程 , 以后每年都捐款 , 计划到 20XX年共捐款 4.75 万 元, 问该厂捐款的平均增长率是多少 ?7.6 一元二次方程的应用导学案（三）学习目标 、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； 、 理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯， 学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。学习重点难点 掌握列出一元二次方程解应用题； 并能根据具体问题的实际

47、意义，检验结果的合理性教学过程一、预习内容 引例 1：一根长 22cm 的铁丝。（ 1）能否围成面积是 30cm2的矩形？（2）能否围成面积是 32 cm2 的矩形？并说明理由。二、学习内容例 1、如图所示（ 1）小明家要建面积为 150m2 的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成， 竹篱笆总长为 35m。若墙的长度为 18m，鸡场的长、分别是多少？（ 2）如果墙的长为 15m，鸡场 一边靠墙， 竹篱笆总长为 45m，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？ （3） 如果墙的长为 15m，鸡 场一边靠墙，竹篱笆总长为 45m，可围成的鸡场的面积能达到 250m2吗？通过计算说明理由。（ 4）如果

48、墙的长为 15m，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m，可围成的鸡场的面积能达到100m2吗？通过计算并画草图说明。CB例 2、如图，在矩形 ABCD中， AB=6cm，BC=3cm。点 P沿边 AB从点 A 开始向点 B以 2cm/s 的速度 移动，点 Q沿边 DA从点 D开始向点 A以 1cm/s 的速度移动。如果 P、Q同时出发，用 t （s）表示 移动的时间（ 0 t 3）。那么，当 t 为何值时， QAP的面积等于 2cm2?三、本课小结： 1、通常用一元二次方程解决实际问题要经历怎样的过程？2、用一元二次方程解决实际问题的关键是什么？四、练习1、用长为 100 cm 的金属丝制作一个矩

49、形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm2？能制成面积是 800 cm2 的矩形框子吗？2、如图，在矩形 ABCD中， AB=6 cm，BC=12 cm，点 P从点 A沿边 AB向点 B以1cm/s 的速度移动； 同时，点 Q从点 B沿边 BC向点 C以 2cm/s 的速度移动，问几秒后 PBQ的面积等于 8 cm2？QBC3、如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 a 为 15 米），围成中间隔有道篱笆的长方形花圃。（1）如果要围成面积为 45 平方米的花圃， AB的长是多少米？（2）能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如

50、果不能， 请说明理由。4、把一根长为 80cm 的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形。 （ 1）要使这两个正方形的面积之和等于200cm2, 该怎么剪？（ 2）这两个正方形面积之和可能等于488cm2吗？7.6 一元二次方程的应用导学案（四） 学习目标1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题培养学生应用数学2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力， 的意识。学习重点难点重点：学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题 难点：如何找出商品的销售问题中的等量关系。教学过程一、预习内容引例 1、某商场从厂家以每件 21元的价格购进一批商品， 若每件的

51、售价为 a 元，则可卖出( 350 10a)件，商场计划要赚 450 元，则每件商品的售价为多少元？引例 2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利 40 元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元， 商场平均每天可多售出 2 件。如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利 1200 元，衬衫的单价应降多 少元？引例 3、某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品，椐市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500千克；销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10千克。针对这种水产品的销 售情况，要使月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？ (月销售利润月销售量×销售单价月销售成本 )二、学习内容例 1、某种服装，平均每天可销售 20件，每件盈利 44 元;若每件降价 1元，则每天可多售 5 件。 如果每天要盈利 1600 元，每件应降价多少元？例 2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500 张，每张盈利 0.3 元。为了尽快减少库存， 商场决定采取适当的措施。 调查发现， 如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元， 那么商场平均每天多售出 3