高中数学题型总结

1、优秀学习资料欢迎下载不等式题型总结典题精讲例 1（ 1）已知 0 x 1 ，求函数 y=x(1-3x) 的最大值 ;3（ 2）求函数y=x+ 1 的值域 .x思路分析：（ 1）由极值定理 ,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（ 2）中，未指出x 0，因而不能直接使用基本不等式，需分x 0 与 x 0 讨论 .（ 1）解法一：0x 1, 1-3x 0.1313x(13x)112，当且仅当时，等号成 y=x(1-3x)=·3x(1- 3x) 2 =3x=1-3x ，即 x=33126立 . x= 1 时，函数取得最大值1.612解法二： 0 x 1,1-x

2、 0.331x1x1113 y=x(1-3x)=3x(2=，当且仅当x=时，等号成立 .-x) 3212-x,即 x=633 x= 1 时，函数取得最大值1.612（ 2）解：当 x 0 时，由基本不等式，得y=x+ 12 x1=2，当且仅当 x=1 时，等号成立 .xx当 x 0时， y=x+1=- (-x)+(1 .xx) -x 0, (-x)+11,即 x=-1时，等号成立 .( 2,当且仅当 -x=xx) y=x+1-2.x1 的值域为 (-,-2 2,+ ).综上 ,可知函数 y=x+x绿色通道： 利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意

3、等号成立的条件是否具备.变式训练 1 当 x -11的最小值 .时，求 f(x)=x+x1思路分析： x -1x+1 0,变 x=x+1-1时 x+1 与1的积为常数 .x1解： x -1, x+1 0.优秀学习资料欢迎下载1=x+1+1(x 1)1-1=1. f(x)=x+- 12(x 1)x 1x1当且仅当 x+1=1,即 x=0 时 ,取得等号 .x 1 f(x) min=1.变式训练 2 求函数 y= x43x23 的最小值 .x 21思路分析： 从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原

4、式即可展开.解：令 t=x 2+1，则 t 1且 x2=t-1. y= x43x 23 = (t 1) 23(t 1)3 t 2t 1t11.x21ttt t 1, t+ 1 2 t1=2, 当且仅当 t=1 ,即 t=1 时，等号成立 .ttt当 x=0 时，函数取得最小值3.例 2 已知 x 0,y 0，且 1 + 9 =1，求 x+y 的最小值 .x y思路分析： 要求 x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用 “1的代换 ”,19+ =1,xy x+y=(x+y) ·( 1+9)=10+y9 x

5、 .xyxy x 0,y 0, y9x2y9x=6.xyxy当且仅当 y 9x，即 y=3x时，取等号 .x y又 1 + 9 =1, x=4,y=12.x y当 x=4,y=12 时， x+y 取得最小值16.优秀学习资料欢迎下载解法二：由 1+9=1，得 x=y.xyy9 x 0,y 0, y9.x+y=yy 9999+y=y+y=y+1=(y-9)+10.y99y 9y 9 y 9, y-9 0. y 992 ( y9)9=6.y9y9当且仅当9，即 y=12 时，取得等号，此时x=4.当 x=4,y=12 时， x+y 取得最小值16.解y-9=y9法三：由1 + 9 =1，得 y+9

6、x=xy,x y (x-1)(y-9)=9. x+y=10+(x-1)+(y- 9) 10+2( x 1)( y9) =16,当且仅当 x-1=y-9 时取得等号.又 1+9=1,xy x=4,y=12.当 x=4,y=12 时， x+y 取得最小值16.绿色通道： 本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱： 本题容易犯这样的错误：1+929 ,即 6 1, xy 6.x yxyxy x+y2

7、 xy 2×6=12 . x+y 的最小值是 12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是1 = 9 ，不等式等号成立的条件是x=y.在同xy一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论 .优秀学习资料欢迎下载变式训练 已知正数 a,b,x,y 满足 a+b=10, abxy=1 ， x+y 的最小值为18，求 a,b 的值 .思路分析： 本题属于 “1的”代换问题 .解： x+y=(x+y)( ab )=a+ bxay +b=10+ bxay .xyyxyx x,y 0,a,b 0， x+y10+2ab =18 ，即ab =4.又 a

8、+b=10，a2,a8,8或2.bb例 3 求 f(x)=3+lgx+4 的最小值（ 0 x1） .lg x思路分析： 0 x 1, lgx 0,4 0 不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法lg x是加上负号变正数 .解： 0 x 1, lgx 0,40.- 40.lg xlg x (-lgx)+(-4) 2(lg x)(4 )=4.lg xlg x lgx+ 4-4. f(x)=3+lgx+4 3-4=-1.lg xlg x当且仅当 lgx=4,即 x=1时取得等号 .lg x100则有 f(x)=3+lgx+4(0 x 1)的最小值为 -1.lg x黑色陷阱

9、： 本题容易忽略0 x 1 这一个条件 .变式训练 1 已知 x 5 ，求函数y=4x-2+1的最大值 .44x5优秀学习资料欢迎下载思路分析： 求和的最值，应凑积为定值.要注意条件 x 5 ，则 4x-5 0.解： x 5 , 4x-5 0.441+3=- (5-4x)+1 +3y=4x-5+5 4x4 x5-2 (54 x)1+3=-2+3=1.54x当且仅当5-4x=1,即 x=1 时等号成立 .4x5所以当 x=1 时，函数的最大值是1.变式训练2 当 x 3 时，求函数 y=x+8的最大值 .22 x3思路分析： 本题是求两个式子和的最大值,但是 x· 83并不是定值 ,也

10、不能保证是正值 ,所以 ,必须2 x使用一些技巧对原式变形.可以变为 y= 1 （ 2x-3 ） +8+3=-（ 32x8） + 3,再求最22x32232x2值 .解： y= 1 （ 2x-3） +8+3=-（32x8）+3，22 x3 223 2x2当 x 3 时， 3-2x 0，2 3 2x8232x8=4，当且仅当32x8，即 x=-1 时取等号 .23 2x23 2x23 2x2于是 y-4+ 3=5，故函数有最大值5.222例 4 如图 3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 .图 3-4-1（ 1）现有可围 36 m 长网的材料，每

11、间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（ 2）若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析： 设每间虎笼长为x m ，宽为 y m ，则（ 1）是在 4x+6y=36 的前提下求xy 的最大值；而(2) 则是在 xy=24 的前提下来求 4x+6y 的最小值 .解：（ 1）设每间虎笼长为x m ，宽为 y m，则由条件 ,知 4x+6y=36 ，即 2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S，则 S=xy.优秀学习资料欢迎下载方法一：由于2x+3y2 2x3 y =26xy , 2 6xy 18,得 xy27 ，即 S2

12、7 .22当且仅当 2x=3y 时等号成立 .2x2 y,x4.5,由3y18,解得3.2xy故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m 时，可使面积最大 .方法二 :由 2x+3y=18 ，得 x=9- 3y.2 x 0, 0 y 6.33S=xy=(9-y)y=(6-y)y.2 2 0 y 6, 6-y 0. S3 (6 y)y 2= 27 .222当且仅当6-y=y, 即 y=3 时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽 3 m 时，可使面积最大 .(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l, 则 l=4x+6y.方法一 : 2x+3y2 2x3y =26 xy =24,

13、l=4x+6y=2(2x+3y) 48,当且仅当 2x=3y 时,等号成立 .2x3 y,x6,由解得4.xy24,y故每间虎笼长6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小 .方法二 :由 xy=24 ，得 x= 24.y96161616 l=4x+6y=+6y=6(+y) 6×2y =48,当且仅当=y ，即 y=4 时，等号成立，此时 x=6.yyyy故每间虎笼长6 m,宽 4 m 时，可使钢筋总长最小 .绿色通道： 在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（ 1） x,y 都是正数；（ 2）积 xy （或 x+y ）为定值；（ 3）x 与 y 必须能够相等，特别情况下

14、，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示 ),由于地形限制 ,长、宽都不能超过16 米 ,如果池外周壁建造单价为每米400 元 ,中间两道隔墙建造单价为每米248 元 ,池底建造单价为每平方米80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长优秀学习资料欢迎下载和宽 ,使总造价最低,并求出最低造价.图 3-4-2思路分析： 在利用均值不等式求最值时 ,必须考虑等号成立的条件 ,若等号不能成立 ,通常要用函数的单调性进行求解 .解：设污水处理池的长为x 米 ,则宽为200 米 (0 x16,0

15、200 16),12.5 x 16.xx于是总造价 Q(x)=400(2x+2 ×200200x)+248 ×2×+80 ×200.x=800(x+324)+16 000 800 ×2x324+16 000=44 800,xx当且仅当 x=324(x 0),即 x=18 时等号成立 ,而 18 12.5,16 , Q(x) 44 800.x下面研究 Q(x) 在 12.5,16上的单调性 .对任意 12.5 x x2 16,则 x2 0,x1 162 324.112-xxQ(x 2)-Q(x 1)=800 (x2-x1 )+324(11)x2x

16、1( x2x1 )(x1 x2324) 0,=800 ×x1 x2 Q(x 2) Q(x 1). Q(x) 在 12.5,16上是减函数. Q(x) Q(16)=45 000.答 : 当污水处理池的长为16 米 ,宽为 12.5 米时 ,总造价最低 ,最低造价为45 000 元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第 n 层楼时 ,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小 ,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低 .设住第 n 层楼时 ,环境不满意程度为8.则此人应选第几楼 ,会有一个最佳满意度 .n导思：本问题

17、实际是求n 为何值时 ,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可 .探究： 设此人应选第n 层楼 ,此时的不满意程度为y.由题意知 y=n+ 8.n优秀学习资料欢迎下载 n+ 82 n842 ,nn当且仅当 n= 8,即 n= 22 时取等号 .n但考虑到 n N* , n2×1.414=2.828 3,即此人应选3 楼 , 不满意度最低.第一章集合与常用逻辑用语一、选择题1. （2010 浙江理）（ 1）设 P=xx<4,Q= x x2 <4，则（A） pQ（B）Q P（ C）pCRQ（ D）QC RP2. （2010陕西文）

18、1.集合 =1x2 ，xx1, 则 =（）A xBA B(A)xx1（B） x1 x2(C) x1 x1(D) x1 x13. （2010 辽宁文）（ 1）已知集合U 1,3,5,7,9， A 1,5,7，则CUA（A） 1,3（B）3,7,9（ C） 3,5,9（D） 3,94. （2010辽宁理） 1.已知 A，B 均为集合 U=1,3,5,7,9的子集，且 A B=3,eu B A=9, 则 A=（A） 1,3 (B)3,7,9 (C)3,5,9(D)3,95. （ 2010 江 西 理 ） 2. 若 集 合 A= x | x1，xR ，B= y | y x2，x R ，则 AB =（）

19、A.x | 1x1B.x | x0优秀学习资料欢迎下载C.x | 0x1D.6.（ 2010 浙江文）（1）设 P x | x1, Q x | x24, 则PQ(A) x |1x2(B) x |3x1(C) x |1x4(D) x |2x17.（ 2010山东文）（1）已知全集 UR，集合 Mx x240 ，则CUM =A.x2x2B.x 2x 2C x x2或x 2 D.x x2或 x 28.（ 2010北京理）（1） 集合 P xZ 0x3, M xZ x29，则 PI M =(A) 1,2(B) 0,1,2(C)x|0 x<3(D) x|0 x39. （ 2010 天津文） (7)

20、 设集合Ax|x-a|<1,xR, Bx |1x5, xR .若AB，则实数 a 的取值范围是(A)a | 0a 6(B)a | a2,或a4(C)a | a0,或a6(D)a | 2a410. （ 2010 天津理） (9)设集合 A=x | xa |1, xR , Bx | xb |2, xR .若AB, 则实数 a,b 必满足（ A） | a b | 3（ B） | a b | 3（ C） | a b | 3（ D） | a b | 311. （2010广东理） 1.若集合 A= x -2 x 1 ，B= x 0 x 2 则集合 AB=（）A. x -1 x 1B. x -2 x

21、1C. x -2 x 2D. x 0 x 112. （2010 广东文） 10. 在集合 a, b, c, d 上定义两种运算 + 和 * 如下 优秀学习资料欢迎下载abcd+aabcdbbbbbccbcbddbbd那么 d * (a + c)*abcaaaababccaccdadadadadA. aB.b C.cD.d13. （2010 广东文） 1. 若集合 A0,1,2,3 ， B1,2,4 则集合 ABA.0,1,2,3,4B.1,2,3,4C.1,2D.014.（2010湖北文） 1. 设集合 M=1,2,4,8,N=x|x是 2 的倍数 ，则 MN=A.2,4B.1,2,4C.2,

22、4,8D1,2,815.（2010山东理） 1. 已知全集U=R，集合 M=x|x-1|2,则 CUM=（A） x|-1<x<3(B)x|-1x3(C)x|x<-1或 x>3 (D)x|x-1或 x316.（2010 安徽理） 2、若集合 Ax log1x1，则 e A2R2A、 (,02 ,B 、2 ,C 、 (,0 2 ,)D、 2,222217.（2010湖南理） 1. 已知集合 M=1,2,3 ，N=2,3,4，则A MNB.NMC MN2,3 D. MN1,4)18. （2010 湖北理） 2设集合 A x, y | x2y21 ， B ( x, y) | y

23、3x ，则 AB 的子集的个数416是优秀学习资料欢迎下载A4B3C2D1二、填空题2. （ 2010湖 南 文 ） 15. 若 规 定 E= a1,a2.a10的 子 集 ak ak., ak为 E 的 第 k个子集，其中12nk= 2k12k 2 12kn 1，则（ 1） a1, , a3 是 E 的第 _个子集；（ 2）E 的第 211 个子集是 _4.（ 2010重庆理） (12) 设 U=0,1,2,3， A= x Ux2mx0 ，若U A 1,2 ，则实数 m=_.5.（ 2010江苏卷） 1、设集合 A=-1,1,3， B=a+2,a 2+4,A B=3 ，则实数=_.a6.（

24、2010重庆文）（11）设 Ax | x1 0,Bx | x 0，则 AB =_ .20XX 年高考题一、选择题1. (20XX 年广东卷文 ) 已知全集 UR ，则正确表示集合 M 1,0,1 和 Nx | x2x 0 关系的韦恩（Venn）图是()2. （2009 全国卷理）设集合 A= 4， 5，7，9，B=3， 4， 7，8，9，全集 U=AB，则优秀学习资料欢迎下载集合 u ( AIB) 中的元素共有（）A.3 个B.4个C.5个D.6个答案A3. （ 2009 浙江理） 设 UA x | 0x15.（2009 浙江文）设 UB x | 0x1R ， A x | x0 ， B x |

25、 x1 ，则 A eU B( )B x | 0 x 1 C x | x 0D x | x 1R ， A x | x0 ， B x | x1 ，则 A eU B（） A x | 0 x 1C x | x 0D x | x 16. （2009 北京文） 设集合 A x |1x2, B x x21，则AB（）21A x 1 x 2Bx 1 x |2C x | x 2D x |1 x 27. (2009山东卷理 ) 集合 A0,2, a,B1,a2 , 若 AB0,1,2,4,16 , 则 a 的值为()A.0B.1C.2D.49. （2009 全国卷文） 已知全集 U=1 ，2，3，4， 5，6，7

26、，8 ， M =1 ， 3，5，7 ，N=5 ，6， 7，则 C(M)=()uN10.（2009 广东卷理）已知全集 UR，集合 M x2x 1 2 和N x x 2k1,k1,2, 的关系的韦恩（ Venn）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A. 3个B. 2个C. 1个D.无穷多个11. （ 2009 安徽卷理） 若集合 Ax | 2x 1| 3 , Bx 2x1 0 ,则 AB是3x优秀学习资料欢迎下载A.x 1x1或3B. x 2 x 3 C. x1x 2D.x1 x12 x22212.（2009 安徽卷文） 若集合，则是A1 ，2， 3B. 1，2C. 4，5D.

27、1，2，3，4， 513.（2009 江西卷理） 已知全集 UA B 中有 m个元素， (痧A)(U B) 中有 n 个元素若UAI B非空，则 A IB 的元素个数为（）A. mnB m nC n mD m n14.(2009 湖北卷理 ) 已知P a | a(1,0)m(0,1), mR, Q b | b(1,1)n(1,1),nR 是两个向量集合，则 P IQ（）A 1，1 B. -1 ， 1C.1，0 D. 0，115.（2009四川卷文） 设集合 S x x5 ， T x (x7)( x3)0.则 ST（）A. x 7 x 5 B. x 3 x 5 C. x 5 x 3D. x 7

28、x 5 16.（2009 全国卷理） 设集合 Ax | x3 , Bx10，则 AB =x |4xA.B.3,4C.2,1D.4.18.（ 2009 辽 宁 卷 文 ） 已 知 集 合 M x| 3 x5 ,N x|x 5或 x 5 ， 则 MN （）A. x|x 5或 x 3 B. x| 5x5C. x| 3x 5D. x|x 3 或 x 520.（2009 陕西卷文） 设不等式 x2x0的解集为 M，函数 f (x)ln(1| x |) 的定义域为 N 则 MN 为()A.0 ，1） B. （0，1） C.0 ， 1D. （-1，021.（2009四川卷文） 设集合 S x x5 ， T

29、x (x7)( x3)0.则 ST（）优秀学习资料欢迎下载A. x 7 x 5 B. x 3 x 5 C. x 5 x 3D. x 7 x 5 22.（2009 全国卷文） 设集合 A=4，5，6，7，9， B=3，4，7，8，9，全集=A B，则集合 u （ AB）中的元素共有A.3 个 B.4 个 C.5个 D.6个24.（ 2009 四川卷理） 设集合 Sx | x5 ,Tx | x24x 210,则S T . x | 7 x5 .x | 3 x 5 .x | 5 x 3.x | 7 x 525.（ 2009 福建卷文） 若集合 Ax | x0. Bx | x3，则AB 等于A x |

30、x 0B x | 0 x 3C x | x 4D R二、填空题26.（ 20XX 年上海卷理） 已知集合Ax | x1 ， Bx | xa ，且 ABR ，则实数 a 的取值范围是 _ .27.（ 2009 重庆卷文） 若 U n n 是小于9 的正整数， A nU n 是奇数， B nU n是3的倍数，则 eU ( AB)28.（ 2009 重庆卷理）若 AxR x3 ， BxR 2x1，则AB29.（ 2009 上海卷文）已知集体 A=x| x 1,B=x | a, 且 AB=R ，则实数 a 的取值范围是 _.30.（ 2009 北京文） 设A 是整数集的一个非空子集，对于kA ，如果k1A 且 k1A ，那么k 是A 的一个“孤立元” ，给定S1,2,3,4,5,6,7,8,，由S 的3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个 .31.（ 2009 天津卷文） 设全集 UAB x N * | lg x 1 ，若A CU B m | m 2n1, n0,1,2,3,4 ，则集合 B=_.【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。32.（ 2009 陕西卷文）