一阶微分方程的稳定性在数学建模中的应用

1、编号 2010212048 毕业论文（ 2014 届本科）题 目： 一阶微分方程的稳定性在 数学建模中的应用 学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 王发强 指导教师： 宋宗林 职称: 副教授 完成日期： 2014 年 5 月 20 日二一四年五月一阶微分方程的稳定性在数学建模中的应用王发强 指导教师:宋宗林(河西学院数学与应用数学专业2014届3班48号, 甘肃张掖 734000)摘要 本文介绍了一阶微分方程的平衡解与稳定性,以及在微分方程求解的数学模型中,利用一阶微分方程的平衡解与稳定性,来解决数学建模中的一些问题.关键词 一阶微分方程;平衡解;稳定性;数学建模模型

2、中图分类号 O141.4The Stability of the First-order Differential Equations in the Application of Mathematical ModelingWang Faqiang Instructor Song Zonglin(No.48, Class 3 of 2014, Specialty of Mathematics and Applied Mathematics, Hexi University, Zhangye, Gansu, 734000)Abstract: This paper gives a brief int

3、roduction of the equilibrium solution and the stability of the first-order differential equations. At the same time, it discusses the application of the equilibrium solution and the stability of the first-order differential equations in solving some mathematical modeling problems during the solution

4、 of differential equations in mathematical models.Keywords: first-order differential equations; equilibrium solution; stability; mathematical model-ing models.引言微分方程在自然科学领域中,为了寻求、解决类似物体在自由下落过程中下落距离和时间的函数关系;研究火箭在空中飞行时的飞行轨道等这类实际性的问题,往往就要求我们找到满足某些特定条件的一个或多个未知数方程,为了解决这类实际问题从而产生了微分方程.微分方程是在处理实际问题的过程中产生的,

5、 微分方程的研究又促进实际问题的解决,同时也促进其他学科的发展.这也就出现了许多利用微分方程的知识来解决实际问题的数学模型.而我们在利用微分方程求解的数学模型中,有时建模的主要目的并不是寻求动态过程的每一个瞬时的状态,而是研究某种稳定状态的特征,特别是时间充分长以后动态过程的变化趋势,以及这些稳定状态是否容易受到破坏,这就是微分方程的平衡解与稳定性.本文就是利用微分方程的平衡解与稳定性,再根据马尔萨斯人口模型,阻滞增长模型来简单的解决一类数学模型中的问题.1 预备知识1.1 微分方程的稳定性如果对任意给定的,存在,使当任一满足时,方程组的由初值条件确定的解,对一切均有则称方程组的零解为稳定的.

6、如果的零解为稳定,且存在这样的使当时,满足初值条件确定的解均有,则称零解为渐近稳定的.如果为渐近稳定,且存在域,当且仅当时满足初值条件解均有,则域称为稳定域,若稳定域为全空间,即,则称零解为全局稳定的.当零解不是稳定时,称它是不稳定的,即是说:如果对某个给定的不管怎样小,总有一个满足,使由初值条件所确定的解,至少存在某个使得,则称方程组的零解为不稳定的.例1 讨论方程的零解的稳定性.解 方程满足初值条件确定的解为下面按的不同情况分别进行讨论.(1) 若,对于任意,那么就选取,则当时,对一切时,有,故零解是稳定的.有因为,所以零解是渐近稳定的.(2) 若,此时解,对任意,取,则当时,对一切时,有

7、,故零解是稳定的,当因为,所以零解不是渐近稳定的.(3) 若,因不管取得多么小,均有,故零解是不稳定的.由例1可知,在一阶微分方程中,在一阶方微分程组中,不含变量,则称为自治的.1.2 自治的一阶微分方程的平衡解一般地,一阶微分方程右端不显含自变量代数方程的实根称为平衡解3.显然它也是的解.根据微分方程的特点及其一阶微分方程组零解稳定性的定义,又可将其解分为稳定的平衡解及不稳定的平衡解.如果从任意可能的初始条件出发,微分方程的解都满足:,则称平衡解是稳定的;否则,称是不稳定的.所以根据微分方程稳定性和平衡解可以得到判断微分方程的平衡解是否稳定的方法:(1) 求出的解,利用式即可得到结论;(2)

8、 不求的解,利用在处的泰勒展开式得所以,其通解为因此,当时,即,平衡解是稳定的;当时,即,平衡解是不稳定的.例2 讨论方程平衡解的稳定性.解 方程的平衡解为则根据平衡解的讨论,可以有如下两种方法.方法一 求出的解,利用式即可得到结论.将方程变形为,即.两边同时积分可得方程的通解为下面按的不同情况分别进行讨论.(1) 当时,所以平衡解是稳定的,平衡解是不稳定的.(2) 当时,所以平衡解是不稳定的,平衡解是稳定的.方法二 设,则则下面按的不同情况分别进行讨论.(1) 当时,所以平衡解是稳定的,平衡解是不稳定的.(2) 当时,所以平衡解是稳定的,平衡解是不稳定的.2 数学模型及其应用2.1 指数增长

9、模型(马尔萨斯人口模型) 马尔萨斯人口模型是英国人口学家马尔萨斯在担任牧师期间,查看了当地教堂100多年人口出生统计资料,发现这一现象:人口出生率是一个常数.在1798年他发表了人口原理一书其中提出闻名于世的马尔萨斯人口模型.他的基本假设是:在人口自然增长的过程中,净相对增长率(单位时间内人口的净增长数与人口总数之比)是常数,记此常数为(生命系数).在这段时间内人口数量的增长量为,于是满足微分方程 将上式改写为,于是变量被“分离”,两边在积分得,这里的为任意常数.由对数的定义,上式变为,其中,因亦是方程式的解,因此可以是任意常数.如设初值条件为 代入上式可得即方程式的满足初始条件的解为.例3

10、一个玻璃片上的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落,如果是病菌的数目.是单位成员的增长率,病菌的增长满足马尔萨斯生长率.又处于周界表面的那些病菌由于寒冷而受到损伤,他们的死亡率与其数量呈正比,即与成正比,设这个比例常数为,求满足的微分方程,该微分方程是否有平衡解?若有,是否稳定?解 设表示在时刻菌落的死亡数.表示他们的死亡率,其中为净相对增长率.根据题意,在正常的情况下满足的关系式为,即假设单位时间的死亡量与细菌的数量成正比,死亡率为,则在有死亡的情况下应满足 又因为死亡率与其数量呈正比,即与成正比,则 由式,联立可得设,根据平衡解得讨论,令,解得平衡解为 又因为易得再根据平衡解的讨论,可知:当时,

11、即,则式中是稳定的平衡解,是不稳定的平衡解;当时,即,则式中是不稳定的平衡解,是稳定的平衡解.2.2 阻滞增长模型荷兰生物学家Verhulst引入常数(环境最大容纳量)表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数,并假设净相对增长率为,即净相对增长率随的增加而减少,当时,净增长率.按此假定,人口增长的方程应该为,这就是logistic模型.例4 一个渔场中的鱼资源都若不近行捕捞则按自限规律增长,若再渔场中有固定的船队进行连续作业,单位时间的产量与渔场中鱼的数量成正比,比例系数为,试建立描述该渔场鱼的数量的数学模型,并讨论如何控制,使渔场的鱼资源保持稳定,并且获得持续的最大产量.解 记时刻渔场中雨

12、量为,关于的自然增长和人工捕捞作如下假设:(1) 在无捕捞的条件下的增长服从logistic模型,即 其中,是固有增长率;是环境容许的最大鱼量;用表示单位时间的增长量.(2) 单位时间的捕捞量(即产量)于渔场鱼量成正比,比列常数表示单位时间的捕捞率可以进一步分解为称捕捞强度,用可以控制的参数例如出海渔船的数量来度量,称为捕捞系数,表示单位强度下的捕捞率.又应为渔场中有固定的船队进行连续作业,所以是固定的:于是单位时间的捕捞量为 根据以上假设并记 联立式,可得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程 根据题意,我们只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件,即时间足够长以后渔场鱼量的趋向,并由此确定最大持续

13、产量,所以根据微分方程的平衡解与稳定性的性质及其判定可令:,解得两个平衡点为又因为,可得又因为是恒定的,所以若,有,故点稳定,点不稳定;若则结果正好相反.是单位强度下的捕捞率是最大的增长率,所以说只要捕捞适度,就可是渔场鱼量稳定在,从而获得持续产量;而当捕捞过度时,渔场鱼量将减至,就不会有持续的产量了.在进一步讨论渔场鱼量稳定在的前提下,如何控制,使渔场产量保持最大的持续产量的问题,用图解法可得.根据式作抛物线和直线的图形,如图1所示.O图1 注意到在原点的切线为,所以在条件下必与有交点的横坐标就是稳定平衡点. 根据假设(2),点的纵坐标为稳定条件下单位时间的持续产量,由图1即可知道,当与,在抛物线定点相交时可获得最大产量,此时的稳定平衡点为 且单位时间的最大持续产量为 而由式,不难算出保持渔场鱼量稳定在,渔场单位强度的捕捞率为.综上所述,产量模型的结论是将捕捞强度控制在,或者说使渔场鱼量保持在最大鱼量的一半时,可获得最大的持续产量.致谢 感谢宋宗林老师的悉心指导.参 考 文 献1王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版M.北京:高等教育出版社,2006.2都长清,焦宝聪,焦炳照.常微分方程M.北京:首都师范大学出版社,2001.3于义良,刘振航.数学建模M.