物理竞赛微积分初步求导积分PPT课件

1、1 函数、导数与微分一、变量、常量与函数变量：在某一过程中取值会不断变化的量。常量：在某一过程中取值始终不变的量。函数：变量 y 按某种确定的关系随变量 x 的变化而变化，则称 y 是 x 的函数，x 叫自变量，y 叫因变量，写作： y=f (x) 例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y=e2x复合函数：若 y 是 z 的函数 y=f (z)，而 z 又是 x 的函数 z=g(x)，则称 y 是 x 的复合函数，记作： y=(x)=fg(x)例：y=sin(ax2+bx+c), y=esin(2x+3)第1页/共28页二、函数的导数xyxyy=f(x)xx+ x 设函数 y=

2、f (x) 在 x 处有一增量x，相应地函数有增量 y ，则比值xxfxxfxy)()(叫函数 y=f (x) 在 x 到x+ x 之间的平均变化率。dxdyxyxfyx0lim)( 函数 y=f (x) 在 x 处的导数定义为：第2页/共28页例：求函数 y = x2 在 x= 1 和 x = 3 时的导数值。解：由有xxxxxxxxfxxfxy222)()()(xxyyx20lim所以当 x = 1 时，y = 2，当 x = 3 时，y = 6第3页/共28页xyxyy=f(x)xx+ xPQ导数的几何意义：从图中知道， y/ x 是过P、Q 两点的割线的斜率，而当x 0 时，割线成为过

3、P 点的切线，因而导数 y=f (x) 表示曲线在 x 处切线的斜率。函数 y=f (x) 在某处的导数值，就表示了该处切线的斜率，也就是在该点处函数 y=f (x) 随 x 的变化率。第4页/共28页基本函数导数公式1212121211221)1 ()()1 ()() 11( ,)1()(arccos) 11( ,)1()(arcsin)(ln)()(ln)ln()(logcsc)(sec)(sin)(coscos)(sin)()( , 0)(xarcctgxxarctgxxxxxxxeeaaaxxaxxxctgxxtgxxxxxnxxccxxxxann为常数第5页/共28页导数的基本运算法

4、则：（设 u = u(x), v = v(x) ）dxdududydxdyxguufyxxfxfyyxvvvuvuvucuccuvuvuuvvuvu 则则若若的的反反函函数数，则则为为若若为为常常量量),(),()()()()()( ,)( ,)(;)()(102第6页/共28页例1：求 y = x3 ln x 的导数解)ln(ln1313232xxxxxxy例2求 y = sin x / x 的导数解22xxxxxxxxysincossincos第7页/共28页二阶导数与高阶导数前述函数的导数是 y 对 x 的一阶导数，若将一阶导数 y 再次对 x 求导，则为二阶导数：22dxyddxdyd

5、xdxfy )(同理，将二阶导再对x 求导则为三阶导，三阶导的导数则为四阶导等。例求 y = x3+3x2 的二阶导数66632 xyxxy第8页/共28页三、函数的极值x1x2x3xy若函数 y =f (x) 在某一点 x1 的函数值 f (x1) 比邻近各点的函数值都大或都小，则称x1 为一个极值点， f (x1) 为函数的一个极值。图中x1 和x3为极大值点， x2为极小值点， f (x1) 和f (x3) 为极大值， f (x2) 为极小值。极值点处的切线一定是水平的，因而极值点的判定条件是：f (x) = 0极大值点的条件是： f (x) = 0，f (x) 0极小值点的条件是： f

6、 (x) = 0，f (x) 0第9页/共28页例求函数 y = 4x3- 3x2+5 的极值点和极值解：因 y =12x2-6x 令 y=0 得 x1=0, x2=1/2 此为其两个极值点。 又y=24x - 6， 有 y(x1)= - 6 0， y(x2)= 60因而 x1=0 是极大值点，对应的极大值为 y1=5 x2=1/2 是极小值点，对应的极小值为 y2=19/4第10页/共28页四、函数的微分例求函数 y = 5x + sin x 的微分dxxdxxxdxxfdy)cos()sin()(55函数 y 对自变量 x 的导数dxdyxf)(可将 dx 看成是自变量x 的一个趋于零的微

7、小增量，称为自变量的微分；而相应的将 dy 看成是函数 y 的微小增量，称为函数的微分。有：dxxfdy)( 第11页/共28页2 2不定积分一、原函数前一节学了求函数 y = f (x) 的导数 f (x)，现若已知一函数 F(x) 的导数为 f (x) ，要求原函数F(x) 例因 (x3) = 3x2 ，所以 x3 为3x2 的原函数（sin x) = cos x ， sin x 是cos x 的原函数 F (x) =F(x) +c ，c 为任意常数，函数 f (x) 的原函数有任意多个： F(x) +c 第12页/共28页二、不定积分定义：函数 f (x) 的所有原函数F(x) +c 叫

8、 f (x) 的不定积分，记为：cxFdxxf)()(不定积分的性质：cxFdxxFxfdxxf)()()()(这说明不定积分是求导数的逆运算。第13页/共28页不定积分公式：caxarctgadxxacaxdxxacctgxxdxctgxxdxcxxdxcxxdxcedxecaadxacxdxxcnxdxxcaxadxcdxxxxxnn11arcsin1cscsecsincoscossinlnln1102222221第14页/共28页不定积分运算法则： dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkf)()()()(.,)()(.21为为常常数数3. 若能找到函数 u= u(x) ，使 d

9、uugdxxf)()(且积分 cuFduug)()(较易求出，则： cxuFduugdxxf)()()(第15页/共28页例1求 xdx1解：令 u = 1+x , 微分得：du =dx ，有： cxcuuduxdx11lnln第16页/共28页例2求 dxbax)sin(解：令 u = ax+b , 微分得：du =adx ，有：cbaxacuauduadxbax )cos(cossin)sin(111第17页/共28页例3求 dxxx12解：令 u = x2+1 , 微分得：du =2xdx ，有：cxcuduudxxx 232232121312321211/)(第18页/共28页例4求

10、dxeexx)cos(33解：令 u = e3x, 微分得：du =3 e3x dx ，有：cecuududxeexxx )sin(sincos)cos(333313131第19页/共28页3 3 定积分 设函数 y=f (x) 在闭区间 a, b 上连续，将区间 a, b 作 n 等分，各小区间的宽度为x ，又在各小区间内选取一点xi 得出函数在这些点处的值 f (xi) (i= 1,2,3,n)abxyxiy=f (x)f (xi)x定义： baniixndxxfxxf)()(lim10为函数 f (x) 在区间 a, b 上的定积分。 f (x) 为被积函数，a ,b 分别为积分下限和上

11、限。第20页/共28页定积分的几何意义：abxyy=f (x)f (xi)x由图可知 f (xi) x 为图中一个小区间的面积，因而定积分： badxxf)(表示了区间 a, b 上，曲线 y =f (x) 下方的面积。注意：定积分的值有正也有负，因而这并非通常意义下的面积。第21页/共28页定积分的主要性质： bccabababababababaabdxxfdxxfdxxfdxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkfdxxfdxxf)()()(.)()()()(.)()(.)()(.4321第22页/共28页定积分的计算（牛顿莱布尼茨公式）若不定积分 cxFdxxf)()(则定积分)()()()(aFbFxFdxxfbaba 由此可知：求函数的定积分，通常是先求出其不定积分（原函数 F (x) ），再求 F(b) - F(a) 第23页/共28页例1求 2121xxdx解：令 u = x2+1 , 微分得：du =2xdx ，有：2521252112111212121121212222ln)ln(ln)ln()ln(ln xxxdxxcuuduxxdx第24页/共28页例2求 302/sincosxdxx解：令 u = cos x , 微分得：du = - sin x dx24718131313133033023322 )(cossincoscos