专题以解析几何中与椭圆相关的综合问题为解答题备战高考数学优等生百日闯关系列(原卷版)

1、专题三压轴解答题第二关以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，如在14 年中的 14 年全国课标卷理20 题，文20 题是中档题，考查与直线的交汇、14 年山东卷文21 题压轴题，考查椭圆与直线的交汇以及所引申出来的最值， 14 年广东卷 20 题 (14 分 )难度中档偏上，考查与椭圆有关的轨迹问题的综合、14 年江苏卷 17 题 (14 分 )难度中档，考查直线与椭圆离心率有关的问题、14 年湖辽宁卷20 题 (12 分 )中等难度，考查直线、圆与圆锥曲线的综合题、

2、14 年北京 19 题 (12分 )中档偏下题，考查椭圆与向量的交汇，等等 .预计在 15 年高考中解答题仍会重点考查直线与椭圆的位置关系，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（ 1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等 .这类问题综合性大，解题时需根据具体问题， 灵活运用解析几何、 平面几何、 函数、不等式 、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的 “应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义

3、上考虑问题”的思想 .且同学需对椭圆的两个基本问题弄扎实， 1.椭圆的基本概念、标准方程、几何性质；2.直线与椭圆的位置关系所引申出来的定点、定值、最值、取值范围等问题.3.椭圆与圆锥曲线的交汇问题【精选名校模拟】x2y21已知椭圆C： a2b21（ ab0 ）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形 .（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）设 F 为椭圆 C 的 左焦点， T 为直线 x3上任意一点，过F 作 TF 的垂线交椭圆C 于点 P，Q.（ i ）证明： OT 平分线段PQ（其中 O 为坐标原点）；（ ii ）当 |TF | 最小时，求点T的坐标.|PQ|x2y25

4、,052已知椭圆 C :2b2 1 a b 0 的一个焦点为，离心率为.a3（ 1）求椭圆 C 的标准方程；（ 2）若动点 P x0 , y0为椭圆外一点，且点P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程 .x2y21(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ，点 D 在椭圆上， DF1F1F2 ，3如图，设椭圆2b2a| F1F2|22 2 ，DF1F2 的面积为.|DF1 |2（ 1）求该椭圆的标准方程；（ 2）设圆心在 y 轴上的圆与椭圆在 x 轴的上方有两个交点， 且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径.x2y21（ ab 0 ）的左、右焦

5、点为F1, F2 ，右顶点为A ，上顶点为 B 已知4.设椭圆b2a23AB =F1F2 （ 1）求椭圆的离心率；（ 2）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1 ，经过原点 O 的直线 l 与该圆相切，求直线l 的斜率5. 已知椭圆 C： x2y2F1，F2 ,且椭圆 C 过点 P（ 4221（a>b>0）的上顶点为 A ，左，右焦点分别为，ab3b ），以 AP 为直径的圆恰好过右焦点F23（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）若动直线l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两定点，使其到直线l 的距离之积为1？若存在，请求出两定点坐

6、标；若不存在，请说明理由x2y2F1， F2，上顶点为 A ，过 A 与 AF2 垂直6. 设椭圆 C:2b2 1 (a b 0) 的左、右焦点分别为auuuuruuuurr的直线交 x 轴负半轴于 Q 点，且 2F1F2F2 Q0 （）求椭圆 C 的离心率；（）若过 A 、 Q 、 F2 三点的圆恰好与直线 x3y30 相切，求椭圆 C 的方程；（）过 F2 的直 线 l 与（）中椭圆交于不同的两点M、N，则F1MN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由7. 已知椭圆 C : x2y21(a b 0) 的焦距为 22 ，且过点31A(,

7、) .a2b222（ 1）求椭圆的方程；（ 2）已知 l : ykx1 ，是否存在 k 使得点 A关于 l 的对称点 B （不同于点 A ）在椭圆 C 上？若存在求出此时直线l 的方程，若不存在说明理由 .8. 已知椭圆 C : x2y 21( a b 0) 经过点 M (1，2) ，其离心率为2 ，设直线 l ： y kx ma2b222与椭圆 C 相交于 A、B 两点（）求椭圆 C 的方程；（）已知直线l 与圆 x2y 22 相切，求证： OAOB （ O 为坐标原点） ；3uuuruuur，（）以线段为邻边作平行四边形OAPB ，若点 Q 在椭圆 C 上，且满足 OPOQ（OOA OB为

8、坐标原点） ，求实数的取值范围x2y21，其左右焦点为 F11,0 及 F2 1,0 ，过点 F1 的直线交椭圆 C9. 如图，已知椭圆 C ：b2a2于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 G ， AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D , E 两点，且AF1 、F1 F2 、 AF2 构成等差数列 .（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）记 GF1 D 的面积为S1 ， OED （ O 为原点）的面积为S2 试问：是否存在直线AB ，使得 S1S2 ？说明理由x2y21 a b 0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，10. 已知椭圆 C：b2a2直线 xy 1 0

9、与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（ 1）求椭圆的方程（ 2 ）设 P 为椭圆上一点，若过点M (2,0) 的直线 l 与椭圆E 相交于不同的两点S 和 T ,且满足OSOTt OP （ O 为坐标原点） ，求实数 t 的取值范围11. 已知椭圆 C : y2x21(a b 0) 的离心率为3 ，以原点为圆心， 椭圆的短半轴长为 半径的a2b22圆与直线 xy20相切 A、B 是椭圆 C 的右顶点与上顶点，直线 ykx( k 0) 与椭圆相交于 E、F 两点yBFOAxE（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值12. 已知点 A

10、(0,2) ，椭圆 E ：x2y21(a b 0) 的离心率为3 ，F 是椭圆的焦点， 直线 AFa2b22的斜率为 23 ， O 为坐标原点 .3（ 1）求 E 的方程；（ 2）设过点A 的直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求l 的方程 .x2y21 ( a b 0) 的左焦点为 F ，过点 F 的直线交椭圆于A,B 两点 . AF 的最13. 如图，椭圆b2a2大值是 M ， BF 的最小值是 m ，满足 M m3 a2 .4(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段 AB 的中点为 G ， AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D , E 两点， O

11、 是坐标原点 .记GFD 的面积为 S1 ，OED 的面积为 S22S1S2的取值范围 .，求S2S122x2y21(a b0) 的离心率为3P 点斜率14. 椭圆 C： a2b2， P(m， 0)为 C 的长轴上的一个动点，过5为 4uuur uuur41的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点 .当 m0 时， PA PB52(1) 求 C 的方程；(2)证明： | PA |2| PB |2 为定值 .215. 已知 A 、 B 是椭圆xy21上的两点，且AFFB ，其中 F 为椭圆的右焦点.2（ 1）求实数 的取值范围；（ 2）在 x 轴上是否存在一个定点 M ，使得 MA MB 为定值

12、 ?若存在，求出定值和定点坐标；若不存在，说明理由 .16. 椭圆 C : x2y21 ，其左焦点到点P(2,1) 的距离为 10 221 (a b 0) 的离心率为ab2(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 若直线 l : ykxm 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点 ( A、B 不是左右顶点 )，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标17.在平面直角坐标系xOy 中，点 P 是圆 x 2y24 上一动点，PD x 轴于点D. 记满足uuuur1uuuruuurOM(OPOD ) 的动点 M 的轨迹为 .2(1) 求轨迹 的方程；(2) 已知直

13、线 l : ykxm 与轨迹 交于不同两点A ，B ，点 G 是线段 AB 中点，射线OG 交轨迹 于uuuruuur点 Q，且 OQOG,R.证明：2m24k 21求 AOB 的面积 S()的解析式，并计算S()的最大值 .18. 已知椭圆 C : x2y2 1(a b 0) 的离心率是1 ，其左、右顶点分别为 A1、 A2， B为短轴a2b22的一个端点，A1BA2 的面积为 2 3 （ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）直线 l : x22 与 x 轴交于 D ， P 是椭圆 C 上异于 A1 、 A2 的动点，直线A1P 、 A2 P 分别交直线 l 于 E 、 F 两点，求证： | DE | | DF | 为定值19. 椭圆 C： x 2y21(a b0) 的长轴是短轴的两倍，点P( 3, 1 ) 在椭圆上 .不过原点的直线l 与a2b22椭圆相交于 A 、B 两点，设直线OA 、 l 、 OB 的斜率分别为k1 、 k 、 k2 ，且 k1 、 k 、