专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略_3251

1、专题二：函数与导数的交汇题型分析及解题策略1了解函数的单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法2了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数3掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、图象和性质4掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质5能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题6了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念7熟记基本导数公式（ c，xm（ m 为有理数），sinx，cosx，ex，ax，lnx ，lo

2、g ax 的导数）；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数8理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合.其主要考点：（ 1）考查利用导数研究函数的性质（单调性、极值与最值）；（ 2）考查原函数与导函数之间的关系；（ 3）考查利用导数与函数相结合的实际应用题 .从题型及考查难度上来看主要有以下几个特点：以填空题、选择题考查导数的概念、求函数的导数、求单调区间、求函数的极值与最值；

3、与导数的几何意义相结合的函数综合题，利用导数求解函数的单调性或求单调区间、最值或极值，属于中档题；利用导数求实际应用问题中最值，为中档偏难题.题型一导函数与原函数图象之间的关系如果原函数定义域内可导，则原函数的图象f(x) 与其导函数f (x)的图象有密切的关系：1导函数f (x) 在 x 轴上、下方图象与原函数图象上升、下降的对应关系：（ 1）若导函数 f (x)在区间 D 上恒有 f (x) 0，则 f(x) 在区间 D 上为增函数，由此进一步得到导函数 f (x)图象在 x 轴上方的图象对应的区间 D 为原函数图象中的上升区间 D ；（ 2）若导函数f (x)在区间 D 上恒有 f (x

4、) 0，则 f(x) 在区间 D 上为减函数，由此进一步得到导函数f (x)图象在 x 轴下方的图象对应的区间为原函数图象中的下降区间.2导函数f (x) 图象的零点与原函数图象的极值点对应关系：导函数f (x)图象的零点是原函数的极值点 .如果在零点的左侧为正，右侧为负，则导函数的零点为原函数的极大值点；如果在零点的左侧为负，右侧为正，则导函数的零点为原函数的极小值点.【例 1】如果函数y f(x) 的图象如右图，那么导函数y f (x) 的图象可能是（）【分析】根据原函数y f(x) 的图象可知，f(x) 有在两个上升区间，有两个下降区间，且第一个期间的上升区间，然后相间出现，则反映在导函

5、数图象上就是有两部分图象在x轴的上方，有两部分图象在x 轴的下方，且第一部分在x 轴上方，然后相间出现.【解】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正 负 正 负 ,只有答案A满足.【点评】本题观察图象时主要从两个方面：(1)观察原函数f(x) 的图象哪些的上升区间？哪些下降区间？；(2)观察导函数f (x) 的图象哪些区间在大于零的区间？哪些部分昌小于零的区间？【例 2】设 f (x)是函数 f(x) 的导函数， y f (x)的图象如图所示，则 y f(x) 的图象最有可能是（）【分析】先观察所给出的导函数y f (x)的图象的正负区间，再观察所给的选项的增减区间， 二者结合起来即

6、可作出正确的选择.本题还可以通过确定导函数y f (x) 的图象零点0、 2 对应原函数的极大或极小值点来判断图象.【解法 1】由 y f (x) 的图象可以清晰地看出，当x (0,2)时， y f (x) 0，则 f(x) 为减函数，只有C 项符合，故选 C.【解法 2】在导函数 f (x)的图象中，零点 0 的左侧函数值为正，右侧为负，由可知原函数 f(x) 在 x0 时取得极大值 .又零点2 的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f(x) 在 x0 时取得极小值，只有 C 适合，故选 C.【点评】(1) 导函数值的符号决定函数的单调性为“正增、负减 ”，导函数的零点确定原函数的极值点； (

7、2) 导函数的增减性与函数增减性之间没有直接的关系，但它刻画函数图象上的点的切线斜率的变化趋势 .题型二利用导数求解函数的单调性问题若 f(x) 在某区间上可导，则由 f (x) 0(f(x) 0)可推出 f(x) 为增（减）函数，但反之则不一定，如：函数f(x) x3 在 R 上递增，而 f (x) 0.f(x)在区间 D 内单调递增 (减 )的充要条件是f (x0) 0( ，0)且 f (x) 在 (a，b)的任意子区间上都不恒为零.利用导数求解函数单调性的主要题型： (1) 根据函数解析式，求函数的单调区间；(2) 根据函数的单调性函数求解参数问题；(3)求解与函数单调性相关的其它问题，

8、如函数图象的零点、不等式恒成立等问题.【例 3】(08 全国高考 )已知函数 f(x) x3 ax2 x 1， aR ( )讨论函数 f(x) 的单调区间； ( )设函数 f(x) 在区间 ( 2， 1)内是减函数，求a 的取值范围33【分析】第（）小题先求导函数f (x)，由于含有参数a，根据判别式确定对a 的分类标准，进而确定单调区间；第（）小题根据第（）小题的结果，建立关于a 的不等式组，由此可确定a 的范围 .【解】( )由 f(x) x3 ax2 x1，求导得 f (x) 3x 2 2ax 1，当 a23时， 4(a2 3) 0， f (x)0，f(x) 在 R 上递增， a

9、7; a2 3当 a2 3，f (x) 求得两根为 x3，则 a a2 3 a a2 3 a a2 3函数 f(x) 在区间 (，) 上递增，在区间 (3，3)上递3减， a a2 3在区间 (， )上递增 .3 a a2 3233( )由 ( )得 a a2 3，且 a2 3，解得 a2.133【点评】 本题是利用导数求解函数单调性问题的两类最典型的题型 .由于函数解析式中含有字母参数 a，因此解答第 ( )小题时注意分类讨论 .第 ( )小题的解答是根据第 ( )小题的结果，利用集合集合间的关系建立不等式来求解的 .第 ( )小题还是利用函数在已知区间上2f ( 3) 0减函数建立不等式来

10、求解 .1f ( 3)0题型三 求函数的极值问题极值点的导数一定为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点，同时不可导的点可能是极值点.因此函数的极值点只能在导数为0 的点或不可导的点产生 .利用导数求函数的极值主要题型： (1)根据函数解析式求极值；(2) 根据函数的极值求解参数问题.解答时要注意准确应用利用导数求极值的原理求解.53【例 4】(08 ·四川 )设 x 1 和 x 2 是函数 f(x) x ax bx 1 的两个极值点.( )求a 和b 的值；() 略.【分析】先求导函数f (x)，然后由x1 和 x 2 是 f (x) 0 的两个根建立关于a、 b的方程组求解 .4

11、2【解】因为 f (x) 5x 3ax b，由 x1 和 x 2 是函数 f(x) x5 ax3 bx 1 的两个极值点， 所以 f (1) 0，且 f (2) 0，43a×12 b 025， b 20.即5×142 b，解得 a5×23a×203【点评】解答本题要明确极值点与导函数方程之间的关系：对于三次函数极值点的导数一定为0，但导数为0 的点不一定是极值点 .本题解得充分利用上述关系，通过建立方程组求得了 a 和 b 的值 .kx 1【例 5】(08 陕西高考 )已知函数f(x) x2 c(c 0，且 c1，k R）恰有一个极大值点和一个极小值点，

12、其中一个是x c ( )求函数 f(x) 的另一个极值点；( )求函数 f(x)的极大值 M 和极小值 m，并求 M m1时 k 的取值范围【分析】先求导函数 f (x)，然后令 f ( c) 0 及一元二次方程根与系数的关系可解决第（）小题；而解答第（）小题须对k 与 c 进行分类讨论进行解答 .【解】k(x 2 c) 2x(kx 1) kx 2 2x ck( )f (x)2 c)222，(x(x c)由题意知 f ( c) 0，即得 c2k 2c ck0，即 c 12（ * ）k c0， k0由 f (0) 0，得 kx 2 2x ck 0，由韦达定理知另一个极值点为 x 12，当 c1

13、时， k0；当 0c 1 时， k 2( )由（ * ）式得 c 1k( )当 k 0时， f(x) 在 (， c)和 (1， )内是减函数，在 ( c， 1)内是增函数k 1k kc 1 k2f(1) c 1 20， m f(c) c2 c 2(k 2) 0，由 M mkk21及 k 0，解得 k 2.22(k 2)( )当 k 2 时， f(x) 在 ( ， c)和 (1， )内是增函数，在( c， 1)内是减函数 M f(1) k2 0，m k 1 k 0，而 M m k2 k 1 (k 1)2 11恒2(k 2)c 1 22(k 2) 2k 2成立综上可知，所求 k 的取值范围为 (

14、， 2)2， )【点拨】第( )小题解答的关键是利用一元二次方程的韦达定理.第 ( )小题的是与极值相关的解决恒成立问题，因此求函数在定义域上的极值是解答的关键.题型四求解函数的最值问题函数在闭区间上的最值是比较所有极值点与端点的函数值所得结果，因此函数在闭区间a，b上的端点函数值一定不是极值，但它可能是函数的最值.同时，函数的极值不一定是函数的最值，最值也不一定是极值.另外求解函数的最值问题，还可以直接结合函数的单调性来求解 .利用导数求解函数最值问题的主要题型：(1)根据函数的解析式求函数的最大值；(2) 根据函数在一个区间上的最值情况求解参数问题.【例 6】(08 浙江高考 ) 已知 a

15、 是实数，函数 f(x) x2(x a).( )略；（）求 f(x) 在区间0， 2上的最大值 .【分析】首先求函数 f (x)，再解方程 f (x) 0，得两个根，而两根含有参数，但不知两根的大小，因此须分类讨论讨论函数f(x) 的单调区间，进而确定f(x) 在给定区间上的最大值.【解】( )f (x) 3x2 2ax令 f (x) 0，解得 x 0， x 2a1232a0，即 a0时， f(x) 在 0， 2上单调递增，从而当f(x) max f(2) 8 4a3当2a2，时，即 a3时， f(x) 在 0， 2上单调递减，从而f(x) max f(0) 03当 02a 2，即 0 a 3

16、， f(x) 在 0， 2a2a， 2上单调递增，33 上单调递减，在 38 4a 0a2从而 f(x) max，02a 3综上所述， f(x) max8 4a a20a 2.f (x) 0 的根含有参数，在确定【点评】本题由于函数解析式中含有参数，因此方程函数单调区间时要注意对参数a 的讨论 .本题的解答不是通过先确定函数在区间上的极值，再比较其与区间端点值的大小来求解的，而是利用函数单调性来求函数在各单调区间上的最值，再比较这些最值大小来求解的.题型五导数与数学建模的问题此类试题主要是利用函数、 不等式与导数相结合设计实际应用问题， 旨在考查考生在数学应用方面阅读、 理解陈述的材料， 能综

17、合应用所学数学知识、 思想和方法解决实际问题的能力，这是高考中的一个热点 .【例 7】 (08 ·湖北 )水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t 的近似函数关系式为1( t2 14t 40)e4t 500 t 10V(t) ，4(t 10)(3t 41) 5010 t 12( )该水库的蓄求量小于 50 的时期称为枯水期.以 i 1 ti 表示第 1 月份（i 1，2， ，12） ,同一年内哪几个月份是枯水期？( )求一年内该水库的最大蓄水量（取e 2.7 计算） .【分析】根据解答分段函数“对号入座

18、”的解题原则， 分别利用两段函数表达式建立不等式可求得第（）小题；而第（）小题则须先求函数V (t) ，然后利用导数与函数最值关系求解 .1【解】 ()当0 t 10时， V(t) ( t2 14t 40)e4t 50 50，化简得 t2 14t 40 0，解得 t 4 或 t10，又 0 t 10，故 0 t 4.当 10 t 12时， V(t) 4(t 10)(3t 41) 50 50，化简得 (t 10)(3t 41)0，41解得 10 t 3，又 10 t 12,故 10 t 12.综合得 0 t 4,或 10 t 12；故知枯水期为 1 月， 2月， 3月，11月， 12月共 5个月

19、 .( )由 ( )知： V(t) 的最大值只能在（4， 10）内达到 .41t131 41t由 V (t) e(tt 4) e (t 2)(t 8)424令 V (t) 0，解得 t 8(t 2 舍去 ).当 t 变化时， V (t) 与 V(t) 的变化情况如下表：t(4， 8)8(8， 10)V (t)0V(t)极大值由上表， V(t) 在 t 8时取得最大值V(8) 8e2 50108.32( 亿立方米 ).故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32 亿立方米 .【点评】本题第 ( )主要是根据题设条件给出的函数建立不等式，再解不等式，但要注意分段求解 .第 ( )主要是通过求导取得极值，最后再求得最值的，但要注意要根据第()确定函数定义域 .【例 8】（ 2006 年福建卷） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度（x千米 /小时）的函数解析式可以表示为： y=1x2 3 x+8 (0 x 120).12800080已知甲、 乙两地相距 100 千米 .（） 当汽车以 40 千米 /小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （） 当汽车以多大的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地