从梯子的倾斜程度谈起

1、从梯子的倾斜程度谈起第一课时 教案设计武进区寨桥初级中学 王小松一、教学目标1、经历探索直角三角形边角关系的过程，理解正切的意义。2、能运用tanA表示直角三角形的两边比，并进行简单的计算及运用。3、经历将实际问题转化成数学问题过程，培养学生自主探究的能力及数形结合的思想。二、重点难点1、理解tanA的意义。2、能运用tanA进行简单计算及解决一些实际问题。三、教具准备例题投影片、实物展示台、数码投影仪四、教学过程课堂导入师：大家听到这样一个消息没有，常州红梅公园对外免费开放了。红梅公园中现在有两座高塔，其中一座叫做文笔塔。同学们，有谁能利用所学的知识来求得文笔塔的实际高度吗？生：（可能会用相

2、似的方法）我明白这位同学的意思，也就是用相似的方法来求塔高。师：但利用影子的方法来求塔高的要求很高，比如高塔旁不能有建筑物和树，而实际上文笔塔旁既有建筑，也有树。师：70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？生：。师：这大厦名叫金茂大厦，它的高度要比文笔塔高得多。大家能应用所学得的知识求出金茂大厦的实际高度吗？生：。师：通过本章的学习，相信大家一定能够解决以上这些问题。今天这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起，继续来研究直角三角形的相关知识。(板书课题§1.1.1从梯子的

3、倾斜程度谈起)。讲授新课师：梯子是我们日常生活中常见的物体。我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，他们是如何判断的呢？“陡”或“平缓”是用来描述梯子的倾斜程度的。现在我们也一起来研究一下梯子的倾斜程度。请同学们拿出课前发给大家的材料。师:在图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法？（请同学们在讨论时，结合图中所反映的信息来寻找判断梯子陡的方法） （1）（2）推荐精选 （3） （4）(学生讨论5分钟)师：经过刚才的讨论，大家一定得出了判断哪个梯子陡的方法了。如图1，你有没有发现判断梯子陡的方法？生1：当AC=DE时，比较BC、FD的长度就可知哪个梯子陡。

4、因为BC<FD，所以梯子AB比梯子EF陡。师：他讲得对吗？有没有不同的看法？生：没有。师：这个方法不错，但大家需注意一点，用梯子的水平宽度BC、FD的长度来比较哪个梯子更陡时，前提必须保证梯子的垂直高度AC和DE相等。师：图2呢？生2：当AC=DE时，比较AB、EF的长度也可知哪个梯子更陡些。因为AB<EF，所以梯子AB比梯子EF陡。师：讲得很好。当梯子的水平宽度相等时，梯子的垂直高度越高，梯子就越陡。图3呢？生3：从图3中可以发现，当梯子的垂直高度和水平宽度都分别相等时，两个梯子一样陡。师：讲得真好。图4中有没有发现好的方法呢？分支一：生4：我们可以通过比较AB：BC和DE：DF

5、的比值来判断哪个梯子更陡。师：能不能具体讲讲？生4：比如图1中，AB：BC>DE：DF，所以梯子AB陡，与我们刚才的判断一样。图2中，AB：BC<DE：DF，所以梯子EF更陡些。图3中，AB：BC=DE：DF，所以梯子一样陡。而在图4中，AB：BC<DE：DF，所以梯子EF更陡。师：讲得太好了。采用梯子的垂直高度与水平宽度的比值，来判断梯子的的倾斜程度的方法值得大家好好掌握。比值越大，梯子越陡。分支二：生4：我们可以通过测量ABC和EFD角度的大小，来判断哪个梯子更陡。角度大的梯子就陡。ABC=65°，EFD=69°所以ABC<EFD，则梯子EF比梯

6、子AB陡。师：他讲的对吗？有没有不同的看法？生：对，补充一点，当这两个角相等时，两个梯子一样陡。师：讲得非常好！谢谢你的补充。根据倾斜角的大小，来判断梯子的倾斜程度，这得确是个好方法。师：还有没有其它的方法呢？刚才我们从图3中发现AB：BC=DE：DF时，两个梯子一样陡。哪如果这两个比值不一样时，将会有什么结论产生？生：比值大的，梯子就陡。师：能不能具体讲讲？生：比如图1中，AB：BC>DE：DF，所以梯子AB陡，与我们刚才的判断一样。图2中，AB：BC<DE：DF，所以梯子EF更陡些。图3中，AB：BC=DE：DF，所以梯子一样陡。而在图4中，AB：BC<DE：DF，所以梯

7、子EF更陡。推荐精选师：讲得太好了。采用梯子的垂直高度与水平宽度的比值，来判断梯子的的倾斜程度的方法值得大家好好掌握。比值越大，梯子越陡。师：除了刚才我们发现的几种方法外，同学们还有没有什么方法可以来判断梯子倾斜程度的方法呢？生：（可能没有，可能有同学想到平移等方法）师：到现在我们有哪能些方法可以用来判断梯子的倾斜程度了呢？谁能来帮大家总结一下。生：。师：从刚才的活动中，可以看出同学们非常聪明。师：判断一个人聪明不聪明，可以从他做事所采用的方法好不好来比较。下面请同学们看到书上第二页的想一想，我们一起来分辩小明和小亮谁最聪明。请同学们仔细审题，先思考三个问题，然后我们再来讨论小明和小亮的做法。

8、（让学生思考3分钟）想一想：如图，小明想通过测量B1C1：及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度。你同意小亮的看法吗？（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系？（2）和有什么关系？（3）如果改变B2在梯子上的位置呢?由此你能得出什么结论？生1：在上图中我们可以知道RtAB1C1，和RtAB2C2是相似的.因为B2C2AB1C1A90°，B2AC2B1AC1，根据相似的条件，得RtAB1C1RtAB2C2。 生2：相似三角形的对应边成比例，得。师：如果我们改变B2在梯子上的位置，比如。

9、，此时B2C2:AC2还等于B1C1:AC1吗？生：如果我们再在梯子上任取一点呢？这个结论还成立吗？师：由此你能得出什么结论呢？生：无论改变B2在梯子上的位置，总可以得到RtB2C2ARtRtB1C1A，仍能得到。因此，无论B2在梯子的什么位置(除A外)， 总成立。师：换句话说，在直角三角形中，如果一个锐角确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定。现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何评价?生：小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度，因为图中直角三角形中的锐角A是确定的，因此它的对边与邻边的比值也是唯一确定的，与B1、B2在梯子上的位置无关，即与直角三角形的大小无关。生：但我觉得小亮的

10、做法更实际，因为要测量B1C1的长度，需攀到梯子的最高端，危险并且复杂，而小亮只需站在地面就可以完成。师：这位同学能将数学和实际生活紧密地联系在一起，值得提倡.我们学习数学就是为了更好地应用数学。师：由于直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义：推荐精选如图，在RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做A的正切（tangent），记作tanA，即 tanA=。师：如图，在这个RtABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边之比便随之确定，此时我们把这个比叫做A的正切(tangent)，记作tanA，即可表示为tanA=。师：

11、这个符号请大家一起跟我读两遍。师：对于A的正切，即tanA 它不表示“tan”乘以“A”，是一个完整的符号，它表示A的正切值，也就是在直角三角形中A的对边与邻边的比值。正因为它表示一个比值，所以它没有单位。 师：在表示一个角的正切时，如果这个角是用一个大写字母或小写字母来表示的，那么记号里可以省去角的符号“”；比如tanA，tan；但如果是用其它形式表示的角，记号里则不能把角的符号省略。比如tan1,tanBAC。师：在我们初中阶段，只学习直角三角形中锐角的正切值。 思考：师1：B的正切如何表示？它的数学意义是什么？生：B的正切记作tanB，表示B的对边与邻边的比值，即tanB=师2：前面我们

12、讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程度与tanA有关系吗？生：我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度，因此，梯子越陡，tanA的值越大；反过来，tanA的值越大，梯子越陡。师：正切在日常生活中的应用很广泛，例如工程上,斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示,而坡度就是坡角的正切。比如：有一山坡在水平方向上每前进100m，就升高60m，那么山坡的坡度就是坡角的正切（tan），tan=.师：这里我们一定要注意区分坡角和坡度。师：坡角就是这里的，即山坡与水平面的夹角。而坡度指的是坡角的正切，也就是坡面的铅直高度与水平宽度的比值。当坡度越大，坡面就越陡。师：由此我们又得出了一种判断山坡的倾斜程

13、度的方法，也就是通过比较山坡的坡度就行了。下面就请同学们一起来判断一下这两个自动扶梯的倾斜程度。请看例1.例1、 如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？ 师：如何判断哪个自动扶梯陡呢？生：我们只需分别求出tan、tan的值，比较大小，坡度越大，扶梯就越陡。（学生板演）解：甲梯中，tan= 。推荐精选 乙梯中，tan=。因为tantan，所以乙梯更陡。师：今后大家在解题的过程中，计算中如果用到正切，一定要看清角的对边和邻边。练习巩固1、 判断（1）如图（1） （ ）（2）如图（2） （ ）（3）如图（2） （ ）（4）如图（2） （ ）2、在RtABC中，C=90°，CDAB于D，AD=3，CD=4根据给出的条件，你能得出哪些结论？（按边、角、边角和图形关系）