矩阵概念简入门

1、 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-151引引 言言 本章将学习矩阵的基本知识以及利用矩阵运算。本章将学习矩阵的基本知识以及利用矩阵运算。它属于线性代数的一部分，是进行网络设计、电路分它属于线性代数的一部分，是进行网络设计、电路分析的强有力的数学工具，也是利用计算机进行数据处析的强有力的数学工具，也是利用计算机进行数据处理与分析的数学基础，它不仅在经济模型中有着很实理与分析的数学基础，它不仅在经济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的最优化的科技应用软际的应用，而且目前国际认可的最优化的科技应用软件件matlab就是以矩阵作为基本的数据结构，从就是以矩阵作为基本

2、的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展起来的被广泛应用软件包。矩阵的数据分析、处理发展起来的被广泛应用软件包。 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1521. 理解矩阵的概念，掌握一些特殊矩阵及其性质理解矩阵的概念，掌握一些特殊矩阵及其性质2. 掌握矩阵的基本运算及其运算规则。掌握矩阵的基本运算及其运算规则。3. 理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质。理解逆矩阵概念，掌握逆矩阵性质。4. 掌握矩阵的初等变换，掌握用初等变换求逆掌握矩阵的初等变换，掌握用初等变换求逆 矩阵的方法。矩阵的方法。5. 掌握矩阵的分块运算。掌握矩阵的分块运算。 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩

3、 阵阵 2021-11-153一一. 矩阵概念的引入矩阵概念的引入 物资调运方案物资调运方案 3.1 矩阵概念 在物资调运中在物资调运中,某物资某物资(如钢材如钢材)有两个产地有两个产地(分别用分别用1，2表示表示),三个销售地三个销售地, 调运方案见下表：调运方案见下表：甲甲乙乙丙丙12销地销地数量数量产地产地172520263223这个调运方案可以简写成一个这个调运方案可以简写成一个2行行3列的数表列的数表233226202517 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-154 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111

4、212111 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数系数 n,ibi21 常数项常数项线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1551.1.定义定义二、矩阵的定义 由由 m n 个数个数 aij ( i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ) 有序地排列成有序地排列成 m 行行(横排横排) n 列列( 竖竖排排 ) 的数表的数表称为一个称为一个 m 行行 n 列的矩阵列的矩阵

5、，而而 aij 表示矩阵表示矩阵 第第i 行第行第j 列的元素列的元素.通常用大写字母通常用大写字母 a、b、c表示表示. 简记为简记为 am n =( aij )m nmnmmnnaaaaaaaaa212222111211 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-156例如例如 34695301是一个是一个 矩阵矩阵,42 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-157例如例如 2222222613a是一个是一个3 阶阶方阵方阵. .2、几种特

6、殊矩阵、几种特殊矩阵(1)方阵方阵 行数与列数都等于行数与列数都等于n的矩阵的矩阵a，称为，称为n阶阶 方阵，方阵， 记作记作an(2) 方阵方阵a的的行列式行列式 由由n阶阶方阵方阵a的元素的元素 按按原来排列形式构成的行列原来排列形式构成的行列式，称为方阵式，称为方阵a的的行列式，记作：行列式，记作：a ，或，或det a 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-158(3)行矩阵行矩阵 只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaa 称为称为行矩阵行矩阵( (或或行向量行向量) ).(4) 列矩阵列矩阵 只有一列的矩阵只有一列的矩阵,21 nbbbb称为称为列矩阵列

7、矩阵( (或或列向量列向量).). 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-159(5) 单位方阵单位方阵 100010001nee称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）. .oo全为全为1(6) 零矩阵零矩阵元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵. . 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1510 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.例如例如(7) 负矩阵负矩阵设矩阵设矩阵 a = ( aij )m n , 则称矩阵则称矩阵 ( aij )m n 为为矩阵矩阵

8、a 的的，记为，记为 a 。 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1511例例1、m 个方程个方程n个未知量的线性方程组个未知量的线性方程组三、方程组的矩阵表示 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111线性方程组的系数矩阵线性方程组的系数矩阵 mnmmnnaaaaaaaaaa112222111211 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1512 mmnmmnnbaaabaaabaaaa21222221111211线性方程组的增广矩阵线性方程组的增广矩阵 mnmnmmnnnnbxax

9、axabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1513四、线性变换例例2之之个变量个变量与与个变量个变量mnyyymxxxn,2121间的关系式间的关系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到变量到变量表示一个从变量表示一个从变量mnyyyxxx,2121线性变换线性变换.为常数为常数其中其中ija 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1514 .,22112222121212121111nmnmmmn

10、nnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaa112222111211线性变换可以用系数矩阵表示线性变换可以用系数矩阵表示 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1515线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系. .若线性变换为若线性变换为 nnxyxyxy,2211称之为称之为恒等变换恒等变换. . nnxyxyxy,2211对应对应 100010001 单位阵单位阵. . 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1516 两个两个m n矩阵矩阵 a=aij 与与矩阵矩阵b= b

11、ij ,并且对应并且对应元素相等元素相等,即即 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称则称矩阵矩阵相等相等, 记作记作: am n = bm n 五、矩阵相等 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1517六、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念 mnmmnnaaaaaaaaaa112222111211列列的的一一个个数数表表行行nm 线性代数线性代数 第三第三 章章 矩矩 阵阵 2021-11-1518(2) 特殊矩阵特殊矩阵 方阵方阵 nm 行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵单位矩阵; ;零矩阵零矩阵.100010001 ,21 naaab ,21naaaa (3) 矩阵相等：行列相同，对应位置元素相等的矩阵矩阵相等：行列相同，对应位置元素相等的矩阵(4) 负矩阵：矩阵中各元素变号所得矩阵。负矩阵：矩阵中各元素变号所得矩阵。 线性代数线性代数 第三第三 章章