高一数学必修1函数知识总结及例题

1、第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=f(u)的定义域为A， u=g(x) 的值域为 B，若 AB，则 y 关于 x 函数的 y=f g(x) 叫做函数 f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 . 二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1) 、已知 f ( x) 的定义域，求f g( x) 的定义域思路：设函数f ( x) 的定义域为 D，即 xD ，所以 f 的作用范围为 D，又 f 对 g( x) 作用，作用范围不变，所以g( x)D ，解得 xE ， E 为 fg( x)的定义域。例 1.设函数 f (u) 的定义域为（ 0，1），则函数 f (ln x) 的定义域为 _。解

2、析：函数f (u) 的定义域为（0， 1）即 u (0，1) ，所以 f 的作用范围为（0，1）又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以0ln x1解得x (1，e)，故函数 f(ln x) 的定义域为（1， ）e例 2.若函数 f ( x)1f ( x) 的定义域为 _。x，则函数 f11解析：先求 f 的作用范围，由f ( x)，知 x1x1即 f 的作用范围为xR|x1 ，又 f 对 f(x)作用所以 f ( x)R且f (x)1，即 ff ( x)x1中 x 应满足f ( x)1x1即1，解得 x1且x2x11故函数 f f (x)的定义域为x R|x1且x2（ 2）、已知 f g

3、( x) 的定义域，求f ( x) 的定义域思路：设 fg( x)的定义域为 D，即xD ，由此得 g( x)E ，所以 f 的作用范围为E，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以xE， E 为 f ( x) 的定义域。例 3.已知 f (32x) 的定义域为 x1， 2，则函数 f ( x) 的定义域为 _。解析： f ( 32x) 的定义域为1， 2 ，即 x1， 2，由此得 3 2x1， 5所以 f 的作用范围为1，5 ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x1， 5即函数 f ( x) 的定义域为1，5例 4. 已知 f ( x24) lgx 2，则函数 f ( x) 的定义域为

4、 _。x28解析：先求 f 的作用范围，由 f ( x 24) lgx 2，知x 20x28x 28解得x 244 ， f 的作用范围为(4，) ，又 f 对 x 作用，作用范围不变，所以x (4，) ，即 f ( x) 的定义域为( 4，)（ 3）、已知 fg( x) 的定义域，求f h( x) 的定义域思路：设 f g(x)的定义域为 D，即 xD ，由此得 g( x) E ， f 的作用范围为E，又 f 对 h( x) 作用，作用范围不变，所以h( x)E ，解得 xF ， F 为 f h( x) 的定义域。例 5.若函数f(2x)的定义域为1 1，则f (log 2 x)的定义域为 _

5、。，解析：f(2x)的定义域为1 1，即x1 1，由此得2x1 ，2，2f 的作用范围为1， 22又 f 对 log 2 x 作用，所以 log 2 x1 ， 2，解得 x2， 42即 f (log 2 x) 的定义域为2， 4评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。（二）同步练习：1、 已知函数 f ( x) 的定义域为 0, 1 ，求函数 f ( x 2 ) 的定义域。答案： 1, 12、 已知函数 f ( 32x

6、 ) 的定义域为 3, 3 ，求 f ( x ) 的定义域。答案： 3,93、 已知函数 yf ( x2) 的定义域为 (1, 0) ，求 f (| 2x1|) 的定义域。(1 ,0)(1,3)答案：224、设 fxlg2x，则 fxf2的定义域为（）2x2xA.4,00,4B.4,11,4C.2,11,2D.4, 22,42x2,2x0得， f ( x) 的定义域为x |2x22解：选 C.由。故，解得2x222.xx4,11,4。故 fxf2的定义域为4,11,42x5、已知函数f (x) 的定义域为 x(1,3) ，求 g (x)f ( ax)f ( x )(a 0)的定义域。22a1a

7、x3 ,1x3 ,解析由已知，有222a2a1x3 ,a3xa.2a222（ 1）当 a1 时，定义域为 x |1x3 ；22（2）当 33 a ，即0a1时，有1a ，2a22a2定义域为 x |ax3a ；22（3）当 33 a ，即 a1 时，有1a ，2a22a2定义域为 x |1x3 .2a2a故当 a1 时，定义域为 x |1x3 ；2a2a当 0a1时，定义域为 x |ax3a.22点评对于含有参数的函数，求其定义域， 必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数 yf (g( x) . 若 ug (x) 在区间 (a, b）上是减函

8、数，其值域为 (c ， d) ，又函数 yf (u) 在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数yf ( g( x) 在区间 ( a,b）上是增函数 .证明：在区间 (a,b ）内任取两个数 x1 , x2 ，使 ax1x2b因为 ug( x) 在区间 (a, b ）上是减函数，所以 g( x1 )g( x2 ) , 记 u1g ( x1 ) ,u2 g (x2 ) 即 u1u2, 且u1, u2(c, d)因为函数 yf (u) 在区间 (c,d) 上是减函数，所以f (u1 )f (u2 ) , 即f ( g (x1 )f ( g(x2 ) ，故函数 yf (g ( x) 在区间 (a

9、,b ）上是增函数 .（ 2）复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便， 我们把它们总结成一个图表：yf (u)增 减 u g( x)增 减 增 减 yf ( g( x)增 减 减 增 以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”.（ 3）、复合函数yf (g (x) 的单调性判断步骤：确定函数的定义域；将复合函数分解成两个简单函数：yf (u) 与 ug( x) 。分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数yf ( g( x) 为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（

10、即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数yf (g( x)为减函数。（ 4）例题演练例 1、 求函数ylog 1 (x22 x3) 的单调区间，并用单调定义给予证明2解：定义域x 22x30x3或 x1单调减区间是 (3,)设 x1 , x2(3,)且x1x2则y1log 1 ( x122x13)y2log 1 ( x222x23)22(x122x13)(x222x2 3) = (x2x1)(x2x12) x2x13 x2x10 x2x12 0 ( x122x13) > (x222x23)又底数 0112 y2y10即 y2y1 y 在 (3,) 上是减函数同理可证：y 在 (

11、,1) 上是增函数例2、讨论函数() log (3221)的单调性 .fxaxx解由 3x22x10 得函数的定义域为 x | x1,或 x1.3则当 a1 时，若 x1，u322x121)为增x为增函数， f (x) loga (3x 2x函数 .若 x13x22x1为减函数 .， u3f() log(3 221) 为减函数。xaxx当 0a 1 时 ， 若 x1 ， 则()lo g(3221)为减函数，若1， 则fxaxxx3f (x) lo g(3xa22x1) 为增函数 .例 3、. 已知 y= log a (2-ax ) 在 0， 1上是 x 的减函数，求a 的取值范围 .解： a

12、0 且 a 1当 a1 时，函数 t=2-a x >0 是减函数由 y= log a(2-a x ) 在 0， 1上 x 的减函数，知y= log a t是增函数， a 1由 x0， 1时， 2- a x2-a 0, 得 a 2, 1 a 2当 0<a<1 时，函数 t=2- ax >0 是增函数由 y= log a (2-a x ) 在 0， 1上 x 的减函数，知y= log a t 是减函数， 0<a<1由 x 0， 1时， 2- a x2-1 0, 0<a<1综上述， 0<a<1 或 1 a2例 4 、 已 知 函 数 f (

13、 x2)ax2(a3) x a2 （ a 为 负 整 数 ） 的 图 象 经 过 点( m 2,0), mR ，设 g (x)f f (x), F ( x)pg ( x)f ( x) .问是否存在实数 p( p0) 使得F (x) 在区间 (, f (2) 上是减函数，且在区间( f (2),0) 上是减函数？并证明你的结论。解析由已知f (m 2)0 ，得 am2(a3)ma2 0 ，其中 m R,a 0.0 即 3a22a9 0 ，解得 127a127 .33 a 为负整数， a1. f ( x2)x4x3( x2) 21 ，即 f ( x)x 21.g( x)f f ( x)( x21)

14、21x42x 2 ， F ( x)pg( x)f ( x)px4(2 p1) x21.假设存在实数p( p0)，使得F (x)满足条件，设x12 ，x F ( x1 )F (x2 )( x2x2 )p( x2x2 ) 2p 1.1212 f (2)3 ，当x1,2(,3)时，F (x)为减函数，x F ( x1 )F (x2 ) 0 ， x2x20, p( x2x 2 ) 2 p 1 0.1212 13,23,2218 ,xxx1x2 p( x12x22 ) 2 p116 p1 , 16 p 1 0.当x1,2(3,0) 时, F (x)增函数 12)0.x,F ( x )F ( x 220

15、22x1x2p( x1 x2 ) 2 p 116 p 1, 16p 1 0 .由、可知 p1 ，故存在 p1 .1616（ 5）同步练习：1函数 y log 1 （ x2 3x 2）的单调递减区间是（）2A（， 1）B（2，）C（，3 ）D（ 3 ，）22解析： 先求函数定义域为（o，1）（ 2，），令 t（ x） x23 x 2，函数 t（ x）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y log 1 （x2 3x 2）在（ 2，）上单调递减2答案： B2 找出下列函数的单调区间.（ 1）（ 2）yax23x2( 1)；ay2 x22x3.答案： (1)

16、在 (, 3 上是增函数，在 3,) 上是减函数。22（ 2）单调增区间是 1,1 ，减区间是1,3。3、讨论ylog a (a x1), (a0,且 a0) 的单调性。答案： a1,时 (0,) 为增函数， 1a0时， (,0) 为增函数。4求函数 y log 1 （ x2 5x 4）的定义域、值域和单调区间3解：由（ ） 25 40，解得x4 或x 1，所以（， 1 ）（ 4，），xxxx当 x（， 1）（ 4，）， x25 x 4 R ，所以函数的值域是 R 因为函数 y log 1 （ x2 5x 4）是由 y log 1（ x）与（ x） x25 x 4 复合而成，函33数 ylog

17、1（ ）在其定义域上是单调递减的，函数（ ）2 5x 4 在（， 5 ）xxx23上为减函数， 在 5 ，上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y log 123（x2 5x 4）的增区间是定义域内使y log 1（ x）为减函数、（ x） x2 5x 4 也3为减函数的区间， 即（， 1）；y log 1 （x2 5x 4）的减区间是定义域内使y log 133x）为减函数、xxx4，）（） 25 4 为增函数的区间，即（变式练习一、选择题1函数 f（ x）log 1 ( x1) 的定义域是（）2A（1，）B（ 2，）C（， 2）D (1，2解析： 要保证真数大于0，还要保证偶次根

18、式下的式子大于等于0，x10所以log 1 ( x1)0解得 1x 22答案： D2函数 y log 1 （ x2 3x 2）的单调递减区间是（）2A（， 1）B（ 2，）C（， 3 ）D（ 3 ，）2o2xxxtx解析： 先求函数定义域为（t，1）（ 2，），令（ ）23 2，函数（ ）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数 y log 1 （x2 3x 2）在（ 2，）上单调递减2答案： B3若 2 lg （2 ） lgx lg，则 y的值为（）xyyxA4B1或1D 14C1或44，则有 y错解： 由 2 lg （ 2 ） lg lgy，得（ 2y

19、）2，解得x4y或 xyxxxyx yx1x或1答案：选B正解： 上述解法忽略了真数大于0 这个条件，即x2y0，所以 x 2y所以 x y 舍掉只有 4 xy答案： D4若定义在区间（ 1， 0）内的函数f（ x）log 2a（ 1）满足f（ ） 0，则axx的取值范围为（）A（0， 1 ）B（0， 1 ）22C（ 1 ，）D（ 0，）2解析： 因为 x（ 1，0），所以 x 1（ 0， 1）当 f（ x） 0 时，根据图象只有02a l，解得 0 a 1 （根据本节思维过程中第四条提到的性质）2答案： A5函数 y lg （2 1）的图象关于（）1 xA y 轴对称B x 轴对称C原点对称

20、yx对称D直线 解析： y lg （2 1）1 x ，所以为奇函数形如1 x 或1 x1 xlg 1 xy lg 1 xy lg 1 x的函数都为奇函数答案： C二、填空题已知 y log a （ 2 ax）在 0， 1上是 x 的减函数，则a 的取值范围是 _解析： a 0 且 a 1（ x） 2 ax 是减函数，要使y log a （ 2 ax）是减函数，则a1，又 2 0a2 （0 1） 2，所以（ 1，2）axxaa3答案： a（ 1 ，2）7函数fxg x1）x 的图象关于直线yx对称，则f（ 2x x）（ ）的图象与（ ）（ 23的单调递减区间为 _解析： 因为 f（x）与 g（

21、x）互为反函数，所以 f（ x） log1 x3则 f（ 2x x2 ） log 1 （ 2x x2），令（ x） 2x x2 0，解得0 x 23（ x） 2x x2 在（ 0， 1）上单调递增，则 f （ x）在（ 0，1）上单调递减；（ x） 2x x2 在（ 1， 2）上单调递减，则 f （ x）在 1，2）上单调递增所以f（xx2）的单调递减区间为（0， 1）2答案：（ 0，1）8已知定义域为R 的偶函数 f （x）在 0，上是增函数，且f（ 1 ） 0，fog42则不等式（l）的解集是x_解析： 因为 f（ x）是偶函数，所以f （ 1 ） f（ 1 ） 0又 f（ x）在 0，2

22、21 或 log4x上是增函数， 所以 f（x）在（， 0）上是减函数 所以 f（ log4 ）0l 4 xog x2 12解得 x 2 或 0 x 1 2答案： x 2 或 0 x三、解答题129求函数y log 1 （ x2 5x 4）的定义域、值域和单调区间3解： 由（x） x2 5x 4 0，解得 x 4或 x 1，所以 x（， 1）（ 4，xx2 5xR），当 （， 1）（ 4，），4 R ，所以函数的值域是因为函数25 4）是由1 （x）与（ x）x2 5 4 复合而成，ylog 1 （ xxy logx33函数 ylog1（ ）在其定义域上是单调递减的，函数（）x2 5x 4 在

23、（，5 ）xx23上为减函数， 在 5 ，上为增函数 考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y log 123（x2 5x 4）的增区间是定义域内使y log 1（ x）为减函数、（ x） x2 5x 4也3为减函数的区间， 即（， 1）；y log 1 （x2 5x 4）的减区间是定义域内使y log 133x）为减函数、x）xx为增函数的区间，即（4，）（25 410设函数 f（x）2 lg 32x ，3x532x（ 1）求函数 f（ x）的定义域；（ 2）判断函数 f（ x）的单调性，并给出证明；（ 3）已知函数 f （x）的反函数 f 1（x），问函数 y f 1（ x）的图象与 x 轴

24、有交点吗 ?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由解：（ 1）由 3x5 0 且 32x 0，解得 x 5且 3 x 3取交集得3 x32x3222 3 2（ 2）令 （ x） 3 x 5，随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；3 2x 16随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数3 2x32x又 y lgx 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y lg32x 是减函数，所以 f2 lg 32x 是减函数32x（x）3x532x（ 3）因为直接求 f（ x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数 f（ x）的反函数 f1（

25、 x）与工轴的交点为（ x0 ，0）根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，fx）与y轴的交点是（ 0，x0x0fxx0（），将（ 0，）代入（ ），解得 2所以函数y fxx轴有交点，交点为（2 ，0）。 1（ ）的图象与55一 指数函数与对数函数同底的指数函数yax 与对数函数 ylog a x 互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以0 和 1为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例 1（ 1）若 a2b a 1，则 log bb ， logb a ， log a b 从小到大依次为；（ ）若xyz，且a，3y ，5z 从小到大依次为；x，y ， 都是正数，则 2x