有理函数积分

1、8-3 有理函数和可化为一、有理函数的部分分式分解 本节给出了求有理函数等有关类型的二、有理真分式的递推公式 有理函数的不定积分不定积分的方法与步骤.101101( )( )( )nnnmmmxxp xr xq xxx有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数有理函数是由两个多项式函数的商所表示的函数, , 一、有理函数的部分分式分解m n 时时称为真分式称为真分式, m n 时称为假分式时称为假分式. .假分式可化为一个多项式和一个真分式之和假分式可化为一个多项式和一个真分式之和. .00(0,0),其一般形式为其一般形式为: :1. 对分母对分母 q(x) 在实数系内作标准分解在实数系内作

2、标准分解:1122111( )()()()() ,ststtq xxaxaxp xqxp xq 240,1,2, .jjpqjt+11 ,n , 2,stijijijm 其其中中且且2. 根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分根据分母各个因式分别写出与之相应的部分分分解步骤称为部分分式分解分解步骤称为部分分式分解. .具体步骤简述如下具体步骤简述如下: :真分式又可化为真分式又可化为22)(qpxxcxbii()iiaxa与与之和之和, ,其其()kxa式式. . 对应于对应于的部分分式是的部分分式是.)()(221kkaxaaxaaxa,)()(22222211kkkqpxxcxbqpxx

3、cxbqpxxcxb把所有部分分式加起来把所有部分分式加起来,使之等于使之等于 q(x), 由此确定由此确定对应于对应于kqpxx)(2 的部分分式是的部分分式是上述部分分式中的待定系数上述部分分式中的待定系数 ai , bi , ci .3. 确定待定系数的方法确定待定系数的方法 把所有分式通分相加把所有分式通分相加, 所得分式的分子与原分子所得分式的分子与原分子上述待定系数法还可以用较上述待定系数法还可以用较简单的方法来代替简单的方法来代替. 组组, 由此解出待定系数由此解出待定系数. 必定相等的原则必定相等的原则, 得到待定系数所满足的线性方程得到待定系数所满足的线性方程 p(x) 应该

4、相等应该相等. 根据两个多项式相等时同次项系数根据两个多项式相等时同次项系数 分式分解分式分解. 例例1432543224910( )5248xxxxr xxxxxx对对作部分作部分22201(2) (1)(2)(2)(1)a xxxa xxxx5432( )5248q xxxxxx因因为为解解 01222( ),22(2)1aaabxcr xxxxxx所所以以( ),q x两两边边乘乘以以得得到到).1()2)(2(22 xxxx43224910 xxxx222(2)(1)()(2)(2) .a xxxbxcxx比较同次项系数比较同次项系数, 得到线性方程组得到线性方程组4013012201

5、21201223213342443849442810aabxaaabcxaaabcxaabcxaaac 的的系系数数的的系系数数的的系系数数的的系系数数常常数数项项解得解得. 1, 1, 1, 2, 1210cbaaa.11)2(12221)(22xxxxxxxr于是完成了于是完成了r(x) 的部分分式分解的部分分式分解: 任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形任何有理真分式的不定积分都可化为如下两种形d(i);()kxxa22(ii)d(40).()klxmxpqxpxq二 、有理真分式的递推公式d(i)ln|,()xxacxa下面解这两类积分下面解这两类积分. .式的不定积分之和：式的

6、不定积分之和：d(i)(1)()kxkxa11.(1)()kckxa2222dd.()()kkttltntrtr1,k 时时22d1arctan.ttctrrr222dd()()kklxmltnxtxpxqtr22221dln(),2tttrctr(ii),2ptx令令22,42pplrqnm则则2222222211d()1d.()2()2(1)()kkkttrtctrtrk tr22d,()kktitr记则记则2222221()d()kktrtitrtr21222211d()kktitrrtr2,k时时112222111.2(1) ()kkktiirrktr122221111d2(1)()k

7、kitrrktr12221223,2(1)()2(1)kkktkiirktrrk解得解得2, 3,.k .1d)1()2(d2d22d22xxxxxxxxxx432543224910d5248xxxxxxxxxx解解 由例由例1,xxxxixxxxxx432543224910d .5248求 =求 =例例2其中其中2(1)d1xxxx2221d(1)11d2121xxxxxxx211221ln|1|arctan.2233xxxc22211dln|1|221322xxxx于是于是121arctan.33xc211ln|2|ln|2|ln|1|22ixxxxx.d)22(1222xxxx求求例例3

8、解解 由于由于222222122(21)(22)(22)xxxxxxxx,)22(12221222xxxxx122dd(1)arctan(1),22(1)1xxxcxxx而而.)1(d221222ttxx22222d22d(1)(22)(1)1xxxxxx222221(22)1dd(22)(22)xxxxxxxx2211arctan(1),2(22)2xxcxx2222d1d2(1)2(1)1tttttt由递推公式由递推公式222213d(22)2(22)xxxxxxx于是于是3arctan(1).2xc2222221(22)(21)(22)(22)xxxxxxxx解解 由于本例由于本例的分母只有单一因式的分母只有单一因式,故部分因式分故部分因式分解能简化为解能简化为2221d .(22)xixxx求求 = =例例3其中其中22212122(22)xxxxx122(1)arctan(1)22(1)1dxd xxcxxx22222(22)(1)(22)(1)1d xxd xxxx2