174泰勒公式与极值问题

1、4 泰勒公式与极值问题 就本节自身而言，高阶偏导数为导出泰劳公式作好了准备；泰劳公式除用于近似计算外, 又为建立极值的判别准则作好了准备. 一、高阶偏导数二、中值定理和泰勒公式三、极值问题 一、高阶偏导数 ( , )( , ),( , )xyzf x yfx yfx y 由于的偏导数一般仍由于的偏导数一般仍,x y然然是是的的函函数数如果它们关于如果它们关于 x 与与 y 的偏导数也的偏导数也 导数有如下四种形式导数有如下四种形式: 22( , ),xxzzfx yxxx 2( , ),x yzzfx yyxx y 存在存在, 说明说明f具有具有二阶偏导数二阶偏导数二元函数的二阶偏二元函数的二

2、阶偏2( , ),yxzzfx yxyy x 22( , ).y yzzfx yyyy 类似地可以定义更高阶的偏导数类似地可以定义更高阶的偏导数, 例如例如 ( , )zf x y 的三阶偏导数共有八种情形的三阶偏导数共有八种情形: 3323( , ),xzzfx yxxx 2222( , ),x yzzfx yyxxy 23( , ),( , ),( , ),xyxxyyfx yfx yfx y22( , ),( , ),( , ).yxyy xyxfx yfx yfx y解解 由于由于 22e,2e,xyxyzzxy例例1 322e.xyzzy x 求函数的所有二阶偏导数和求函数的所有二阶

3、偏导数和因此有因此有2222(e)e;xyxyzxx 222(e)2e;xyxyzx yy 222(2e)2e;xyxyzy xx 2222(2e)4e;xyxyzyy 32222(2e)2e.xyxyzzxy xxy x 数为数为 222222 22,()zyxyxxxyxy 例例2 arctan.yzx 求函数的所有二阶偏导数求函数的所有二阶偏导数2222222 2,()zyxyxyyxyxy 2222222 2,()zxxyy xxxyxy 222222 22.()zxxyyyxyxy 注注 在上面两个例子中都有在上面两个例子中都有 22,zzxyy x 称为称为混合偏导数混合偏导数 但

4、是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数22222222,0,( , )0,0.xyxyxyxyf x yxy 它的一阶偏导数为它的一阶偏导数为 xyyx即即先先对对后后对对与与先先对对后后对对的的两两个个二二阶阶偏偏导导数数42242222 222(4),0,()( , )0,0;xy xx yyxyxyfx yxy 42242222 222(4),0,()( , )0,0.yx xx yyxyxyfx yxy 的混合偏导数的混合偏导数: 00(0,)(0,0)(0,0)limlim1,xxxyyyfyfyfyy 00(0,)(0,0)(0,0)li

5、mlim1.yyyxxxfyfxfxx 由此看到由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为为 形式形式. 由于由于 0(, )( , )( , )lim,xxf xx yf x yfx yx 因此有因此有0000000(,)(,)(,)limxxxyyfxyyfxyfxyy 00000(,)(,)limxf xx yf xyx 000000(,)(,)1limlimyxf xx yyf xyyyx00001limlim(,)yxf xx yyxy 000000(,)(,

6、)(,) ;(1)f xyyf xx yf xy 类似地有类似地有 这两个累次极限相等这两个累次极限相等. 下述定理给出了使下述定理给出了使 (1) 与与 (2) 相等的一个充分条件相等的一个充分条件 连续，则连续，则 0000001(,)limlim(,)yxxyfxyf xx yyxy 000000(,)(,)(,) . (2)f xx yf xyyf xy 证证 令令 00000000(,)(,)(,)(,)(,),fxyf xx yyf xx yf xyyf xy 00( )( ,)( ,).xf x yyf x y 于是有于是有 00(,)()().fxyxxx (4)0000(,)

7、(,).xyyxfxyfxy (3)01(, ), xfxx yy 又又作作为为的的可可导导函函数数 再再使使用用微微分分000102()()(,).x yxxxfxx yyxy 由由 (4) 则有则有 010212(,)(,)(0,1).xyfxyfxx yyxy (5)如果令如果令0001()()()xxxxxx010010(,)(,).xxfxx yyfxx yx00( )(,)(,),xf xx yf xy 则有则有 00(,)()().fxyyyy 用前面相同的方法用前面相同的方法, 又可得到又可得到 030434(,)(,)(0,1).yxfxyfxx yyxy (6)010203

8、041234(,)(,)(0,1).(7)xyyxfxx yyfxx yy 在且相等，这就得到所要证明的在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式式 合偏导数都与求导顺序无关合偏导数都与求导顺序无关注注2 这个定理对这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立元函数的混合偏导数也成立. 例例 ( , , ),( , , ),( , , ),xyzxzyyzxfx y zfx y zfx y z( , )( , )xyyxfx yfx y与与00(,)xy由定理假设由定理假设 都在点都在点 连连 续续, 故当故当 0,0 xy 时时, (7) 式两边极限都存式两边极限都存 如三元函数如三元函数( ,

9、, )f x y z的如下六个三阶混合偏导数的如下六个三阶混合偏导数 ( , , ),( , , ),( , , )yxzzx yzyxfx y zfx y zfx y z若在某一点都连续，则它们在这一点都相等若在某一点都连续，则它们在这一点都相等 今后在牵涉求导顺序问题时今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外除特别指出外, 一般一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续都假设相应阶数的混合偏导数连续 复合函数的高阶偏导数复合函数的高阶偏导数 设设 ( , ),( , ),( , ).zf x yxs tys t 数数 ,zs t对对于于同样存在二阶连续偏导数同样存在二阶连续偏导数. 具体计算具体

10、计算 如下如下: ,zzxzysxsys;zzxzytxtyt,zzzzs tstxy显然与仍是的复合函数 其中是显然与仍是的复合函数 其中是,.xxyyx ys tzstst的函数是的函数 继续求的函数是的函数 继续求22zzxzxsxsxssszyzysysyss 2222222222zxzyxzxsxyssxxszxzyyzyyxsssyys 222222222222.zxzxysxyssxzyzxzysxyyss 22222222222222;zzxzxytxytttxzyzxzytxyytt同理可得同理可得22222222;zzxxzxyxyststxysttsxzyyzxzystx

11、stysty 22.zztsst 222(,),.xzzzfxyxyx 设求设求例例3 改写成如下形式改写成如下形式: ( , ),.xzf u vux vy由复合函数求导公式，有由复合函数求导公式，有 1.zfufvffyxuxvxuv,ffu vx yuv注意 这里仍是以为中间变量,为注意 这里仍是以为中间变量,为自变量的复合函数所以自变量的复合函数所以 221zffxuyvx 2222221fufvfufvxu vxyv uxxuv 22222221,fffyu vuyv 21zffxyyuyv22221fufvfyu vyvuy 2221fufvyv uyyv 2223221.xfxf

12、fu vvyyvy 二、中值定理和泰勒公式 二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉二元函数的中值公式和泰勒公式，与一元函数的拉 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些也有相同的公式，只是形式上更复杂一些先介绍凸区域先介绍凸区域 若区域若区域 d 上任意两点的连线都含于上任意两点的连线都含于 d, 则称则称 d 为凸区域为凸区域 (图图17-6). 这就是说这就是说, 若若 d 为为 一切一切(01), 恒有恒有121121(),() ).p xxxyyyd 上连续上连续, 在在 d 的所有内点都可微的所有内点都可微, 则对则对 d 内任意两内任意两 定理定理17.8 ( 中值定理中值定理

13、) 设设( , )f x y2rd 在凸区域在凸区域图图 17 - 6 凸凸 1p2ppd d 非凸非凸 pd1p2pd 的一元连续函数的一元连续函数, 且在且在 (0, 1) 内可微内可微. 根据一元函数根据一元函数 其中其中 中值定理，中值定理，(01) ，使得，使得 ( )(,)(,).xyfah bk hfah bk k (10) (9), (10) 两式即得所要证明的两式即得所要证明的 (8) 式式 注注 若若 d 为严格为严格凸区域，即凸区域，即 111222(,),(,)p xyp xy ,(01)d ，都有，都有121121(),() )int,p xxxyyyd 式成立式成立

14、 ( 为什么为什么? ) 公式公式 (8) 也称为二元函数也称为二元函数 (在凸域上在凸域上) 的中值公式的中值公式. 它与定理它与定理17.3 的中值公式的中值公式 (12) 相比较相比较, 差别在于这差别在于这 0,xyff 请读者作为练习自行证明此推论请读者作为练习自行证明此推论23 2122 (13 )(123). 分析分析 将上式改写成将上式改写成 23 212(13 )(123),2 21( , )21f x yxxy 例例4 对对 应用微分中值定应用微分中值定 理，证明存在某个理，证明存在某个 (01), 使使得得12(1,0)(0,1)pp与与之间应用微分中值定理之间应用微分中

15、值定理计算偏导数计算偏导数: 23 223 2,.(21)(21)xyxyxffxxyxxy (0,1) 1(0,1) ( 1)xyff 221xy 时时2210.xxy 证证 首先首先, 当当 , 有有 再再 11(1,0)(0,1)2ff23 2(1)12 (1)1 f000(,)p xy的某邻域的某邻域定理定理17.9 (泰勒定理泰勒定理) 若若 在点在点 内任一点内任一点 00(,),(0,1),xh yk 使使得得0()u p0()u p内有直到内有直到 阶的连续偏导数阶的连续偏导数, 则对则对1n23 2( 1)2 (1)1 23 2(13 )(123). 1001(,),(1)!

16、nnrhkf xh yknxy 其中其中000000(,)(,)(,)f xh ykf xyhkf xyxy 001(,),(11)!nnhkf xyrnxy2001(,)2!hkf xyxy00(,)mhkf xyxy 证证 类似于定理类似于定理17.8 的证明，先引入辅助函数的证明，先引入辅助函数 00( )(,) .tf xth ytk (11) 式称为式称为 0fp在在点点的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式, 并称上述并称上述 00(,)f xy0m 而首项而首项 也可看作也可看作 的情形的情形. 000c(,)mmiim imim iif xyh kxy (1, 2,),mn 件，于是有

17、件，于是有()00( )(,)mmthkf xth ytkxy由假设，由假设，( )0,1t 在在上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则应用复合求导法则, 可求得可求得 ( ) t 的各阶导数如下的各阶导数如下: (0)(0)(1)(0)1!2! (12)( )(1)(0)( )(01).!(1)!nnnn (0,1,1),mn()00(0)(,)(0,1, ), (13)mmhkf xymnxy 1(1)00( )(,).(14)nnhkf xh ykxy 公式公式 (11)将将 (13), (14) 两式代入两式代入 (12) 式式, 就得到所求之泰勒就得到所

18、求之泰勒 时的特殊情形时的特殊情形. 此时的此时的 n 阶泰勒公式便可写作阶泰勒公式便可写作 000001(,)(,)().!pnnpf xh ykhkf xyopxy ( , ),(1,4)1,yf x yxf 则仅需则仅需0()fu p在在内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即可, (15)1( , ),(1,4)4,yxxfx yyxf ( , )ln ,(1,4)0,yyyfx yxxf222( , )(1),(1,4)12,yxxfx yy yxf 11( , )ln ,(1,4)1,yyxyxyfx yxyxxf222( , )(ln ) ,(1,4)0.yyyfx

19、yxxf将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式 (15)，即有，即有 2214(1)6(1)(1)(4)().yxxxxyo 3. 9621.0814 0.086 0.080.08 0.041.3552 .与例的结果与例的结果 (1. 32) 相比较，这是更接近于真相比较，这是更接近于真 分近似相当于现在的一阶泰勒公式分近似相当于现在的一阶泰勒公式三、极值问题 多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应 用用, 这里仍以二元函数为例进行讨论这里仍以二元函数为例进行讨论. 有定义有定义. 若若 0( , )(),p x yu p 满满足足00( )() (

20、 )() )f pf pf pf p 或或，极大值点、极小值点统称极大值点、极小值点统称极值点极值点 的的极大极大 (或极小或极小) 值点值点. 极大值、极小值统称极大值、极小值统称极值极值; 极极 注意注意 这里讨论的极值点只限于定义域的内点这里讨论的极值点只限于定义域的内点 点点, 是是 g 的极大值点的极大值点, 但不是但不是 h 的极值点这是因的极值点这是因 同极值同极值. 同理同理, 00(, )f xyyy 必必定定在在也取相同极值也取相同极值. 于是得到二元函数取极值的必要条件如下于是得到二元函数取极值的必要条件如下:定理定理17.10 (极值的必要条件极值的必要条件) 若函数若

21、函数 ( , )f x y在点在点 值值 (, (0,0,0).zxy 的的图图像像是是一一马马鞍鞍面面为为其其鞍鞍点点f00(,)xy注注 由定义可见由定义可见, 若若 在点在点取极值取极值, 则当固则当固 000(,)p xy0p存在偏导数存在偏导数, 且在且在取得极值取得极值, 则有则有的的稳定点稳定点. 上述定理指出上述定理指出: 偏导数存在时偏导数存在时, 极值点必是稳定点极值点必是稳定点. 但要注意但要注意: 稳定点并不都是极值点稳定点并不都是极值点在上述例在上述例 6 中中 之所以只讨论原点之所以只讨论原点, 就是因为原点是那三个函数的就是因为原点是那三个函数的 惟一稳定点；而对

22、于函数惟一稳定点；而对于函数 h，原点虽为其稳定点，原点虽为其稳定点, 但却不是它的极值点但却不是它的极值点. 与一元函数的情形相同与一元函数的情形相同, 多元函数在偏导数不存在多元函数在偏导数不存在 原点没有偏导数原点没有偏导数, , 但但 (0,0)0.f 显显然然是是它它的的极极小小值值000000()(),()(),(18)()().fffhpf phpf phpf p 为正定矩阵为极小值为正定矩阵为极小值为负定矩阵为极大值为负定矩阵为极大值为不定矩阵不是极值为不定矩阵不是极值00()0,()0,xyfpfp 于是有于是有 f0p证证 由由在在的二阶泰勒公式，并注意到条件的二阶泰勒公式

23、，并注意到条件000000( , )(,)(,)(,)f x yf xyf xx yyf xyt2201(,)()(,)().2fxy hpxyoxy二次型二次型 t0(,)(,)()(,)0.fqxyxy hpxy连续函数连续函数 ( 仍为一正定二次型仍为一正定二次型 ) t022(,)( , )( , )()( , ) ,fqxyq u vu v hpu vxy 0()fhpf首先证明首先证明: : 当当 正定时，正定时，在点在点 取得极小取得极小 0p值这是因为，此时对任何值这是因为，此时对任何(,)(0,0),xy 恒使恒使22(,)2 ().qxyqxy 22220022( , )(

24、,)()()() (1)0,f x yf xyqxyoxyxyqo极大值极大值22( , )1,u vuv 恒恒满满足足( , )q u v由于由于因此因此在此有界在此有界 闭域上存在最小值闭域上存在最小值20q ，于是有，于是有f00(,)xy即即在点在点取得极小值取得极小值00,xxtxyyty 00( , )(,)( )0f x yf xtx ytytt 在在亦取亦取 ( ),xytfxfy 则沿着过则沿着过 0p的任何直线的任何直线 0()fhpf最后证明最后证明: 当当 为为不定矩阵时不定矩阵时, 在点在点 0p不不 22( )2,x xx yy ytfxfxyfy t0(0)(,)

25、()(,) ,fxy hpxy 极小值极小值, 则将导致则将导致 0()fhp必须是正半定的必须是正半定的. 也就是也就是 定的或负半定的，但这与假设相矛盾定的或负半定的，但这与假设相矛盾0()fhpf这表明这表明 必须是负半定的必须是负半定的. 同理同理, 倘若倘若 取取 系，定理系，定理17.11又可写成如下比较实用的形式又可写成如下比较实用的形式根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关若若f如定理如定理17.11 所设，则有如下结论所设，则有如下结论: 200()0, ()()0,i)xxxxy yx yfpfffpf 当当时时在在200()0

26、,(ii)()()0,xxxxy yx yfpfffpf 当当时时在在200()()0,;(iii)xxy yx yfffpfp 当当时时在在不不取取极极值值200()()0(i,v)xxy yx yfffpfp 当当时时 不不能能肯肯定定在在是否取得极值是否取得极值 解解 由方程组由方程组 例例7 22( , )56106.f x yxyxy 求求的的极极值值取得极小值取得极小值; 0p取得极大值取得极大值; 0p260 ,10100 xyfxfy 00()20,()0,xxx yfpfp 200()10 , ()()200,y yxxy yx yfpfffp 0( 3,1).fp 解出的稳

27、定点由于解出的稳定点由于例例8 讨论讨论 2( , )f x yxxy 是否存在极值是否存在极值得极值得极值?2(0, 0)()0,xxy yx yfff2(0, 0)()10 xxy yx yfff f因因 ，故原点不是，故原点不是 的的 ff极值点极值点. 又因又因 处处可微，所以处处可微，所以没有极值点没有极值点. 解解 容易验证原点是容易验证原点是 f的稳定点的稳定点, 且且 故由定理故由定理17.11 无法判定无法判定 f在原点是否取得极值在原点是否取得极值但由于在原点的任意小邻域内但由于在原点的任意小邻域内, 当当 222xyx 时时 由极值定义知道由极值定义知道, 极值只是函数的

28、一个极值只是函数的一个局部性概念局部性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值, 方法方法 与一元函数问题一样，需先求出函数在该区域上的与一元函数问题一样，需先求出函数在该区域上的 所有稳定点、无偏导数点处的值所有稳定点、无偏导数点处的值, 以及在区域边界以及在区域边界 上相应的这类函数值上相应的这类函数值, 然后比较这些值然后比较这些值, 其中最大其中最大 (小小) 者者, 即为问题所求的最大即为问题所求的最大 (小小) 值值 以函数以函数 f 不可能在原点取得极值不可能在原点取得极值 ( 参见图参见图17-7 ) 图图 17-8 abc图图 17-

29、7 2yx22yxxyo 例例10 证明证明: 圆的所有外切三角形中圆的所有外切三角形中, 以正三角形的以正三角形的 面积为最小面积为最小证证 设圆的半径为设圆的半径为 a. 任一外切三角形为任一外切三角形为 abc, 三切三切 式为式为 2tantantan222sa2tantantan,222a 2221secsec0,222sa 其中其中 ,(0,) . 为求得稳定点为求得稳定点, 令令 , 点处的半径相夹的中心角分别为点处的半径相夹的中心角分别为 ，其中，其中 2221secsec0.222sa 在定义域内在定义域内, 上述方程组仅有惟一解上述方程组仅有惟一解: 22,2().33r的

30、二阶偏导数的二阶偏导数: 2224 3,2 3,4 3.sasasa 240,360,ssssas 由由于于因因此此在在此稳定点处取得极小值此稳定点处取得极小值 因为面积函数因为面积函数 s 在定义域中处处存在偏导数，在定义域中处处存在偏导数， 中以正三角形的面积为最小中以正三角形的面积为最小解解 (i) 求稳定点：求稳定点：解方程组解方程组 2( , )3420,( , )220,xyfx yxxyfx yxy 642( , ),22fxhx y 02( 2 3,2 3)(),22fh 不定不定因此因此(0,0)0,( 2 3,2 3).ff 为为极极小小值值不不是是极极值值得稳定点得稳定点

31、(0,0)( 2 3, 2 3). 和和(ii) 求极值：求极值：由于由于 ( , )f x y的黑赛矩阵为的黑赛矩阵为 d 2x 时时, ,(iii) 求在求在 上的特殊值上的特殊值: 当当 2( 2, )4, 2,2,fyyyy 2(2, )164, 2,2,fyyyy 32( , 2)244, 2,2,f xxxxx 22d82( , 2)34430,3d3f xxxxx由由当当2x 时时，当当2y 时时，2y 当当时时, ,32( ,2)244, 2,2,f xxxxx 算出算出 268(, 2 )(2, 2)12.327ff与两端值与两端值( 2, 2)4,f (2, 2)28;f 单调增单调增, 算出两端值算出两端值 ( , )( , )max( , )(2,2)28,min( , )( 2,