第一节：二重积分的概念与性质79536

1、第一节第一节 二重积分的概念和性质二重积分的概念和性质 一、二重积分的概念一、二重积分的概念 二、二重积分的性质二、二重积分的性质 三、小结三、小结 练习题练习题柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz d1、引例：曲顶柱体的体积、引例：曲顶柱体的体积一、二重积分的基本概念一、二重积分的基本概念曲顶柱体曲顶柱体xyz0d),(yxfz （1）底是底是 x o y 面上的有界闭区域；面上的有界闭区域；（2） 侧面是以侧面是以 d 的边界的边界曲线为准线而母线平行曲线为准线而母线平行于于 z 轴的柱面；轴的柱面；（3）顶是曲面

2、顶是曲面 z = f ( x , y ) ，0),( yxf计算曲顶柱体体积的一般方法：计算曲顶柱体体积的一般方法：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyod),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，1：用一组曲线网将用一组曲线网将 d 任意分成任意分成 n 个小闭区域：个小闭区域：.,21n 将曲顶柱体分成将曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体个小曲顶柱体i 以以iv i nvvvv 21 niiv1 xy0表示以表示以为底的第为底的第 i 个小曲顶柱体的体积个小曲顶柱体的

3、体积xyz0),(ii 2：近似计算近似计算iv ),(yxfz i iiiifv ),( niiiifv1 ),(3：取极限求取极限求 v 的精确值的精确值以以i i maxini 1 niiiidfv10 ),(limi 和和 v 的体积的体积表示表示内任意两点内任意两点间距离的最大值，称为间距离的最大值，称为的直径的直径求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块（将薄片分割成若干小块（ n），），取典型小块，将其近似看作均匀薄片，取典型小块，将其近似看作均匀薄片， 薄片总质量的近似值为薄片总质量的近似值为.),(lim10iiniim xyo每个小块的质量近似为每个

4、小块的质量近似为 iiiim ),( niiiim1 ),(薄片总质量的精确值为薄片总质量的精确值为 定义：定义：设设 f ( x , y ) 是有界闭区域是有界闭区域 d 上的有界函数：上的有界函数：（1）：）：分割分割 ：用一组曲线网将：用一组曲线网将 d 任意分成任意分成 n 个小区域个小区域.,21n （2）：）：作和作和 ：在每个小区域：在每个小区域i ),(ii iiif ),(并作和并作和 niiiif1 ),(（3）：）：取极限：令取极限：令i i maxini 1上任取一点上任取一点作乘积作乘积为为的直径，并记的直径，并记如果当如果当0 ),(ii 则称此极限为则称此极限为

5、f ( x , y ) 在在 d 上的二重积分，记为上的二重积分，记为时，上述和的极限存在，且与小时，上述和的极限存在，且与小区域的分法及点区域的分法及点的取法无关，的取法无关， ddyxf ),(iiniif ),(lim10. . （1）如果如果 f ( x , y ) 在在 有界闭区域有界闭区域 d 上连续，则上连续，则 f ( x , y ) 在在 d 上一定可积。上一定可积。（2）如果如果 f ( x , y ) 在在 d 上可积，则该积分与上可积，则该积分与 d ),(ii 因此，在直角坐标系中，用平行于因此，在直角坐标系中，用平行于 x 轴和轴和 y 轴的轴的两组直线分割两组直线

6、分割 d ，如图所示，如图所示xy0i ix iy ,iiiyx ydxdd ddyxf ),( dydxdyxf),(的分法和分点的分法和分点的取法无关，的取法无关，几点说明几点说明（3）几何意义：当几何意义：当 f ( x , y ) 0 时，二重积分时，二重积分表示曲顶柱体的体积；表示曲顶柱体的体积；当当 f ( x , y ) 0 时，此时曲顶柱体位于时，此时曲顶柱体位于 x 0 y 平平面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是曲顶柱体体积的相反数。表示的是曲顶柱体体积的相反数。如果如果 f ( x , y ) 在在 d 上有正有负，

7、此时将上有正有负，此时将 x o y 面面上方的曲顶柱体体积取为正，上方的曲顶柱体体积取为正，x o y 面下方的曲面下方的曲顶柱体体积取为负，则顶柱体体积取为负，则 f ( x , y ) 在在 d 上的二重上的二重积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。 niiiifv10 ),(lim ddyxf ),(（3）几何意义：当几何意义：当 f ( x , y ) 0 时，二重积分时，二重积分表示曲顶柱体的体积；表示曲顶柱体的体积；当当 f ( x , y ) 0 时，此时曲顶柱体位于时，此时曲顶柱体位于 x 0 y 平平面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分面

8、的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是曲顶柱体体积的相反数。表示的是曲顶柱体体积的相反数。 niiiifv10 ),(lim ddyxf ),(（4）二重积分的物理意义：）二重积分的物理意义：平面薄片的质量平面薄片的质量iiniim ),(lim 10 ddyx ),(（二）二重积分的性质（二）二重积分的性质性质性质1：常数因子可以提到积分号外面，即常数因子可以提到积分号外面，即 ddyxfk ),( ddyxfk ),(性质性质2：和或差的积分等于积分的和或差，即和或差的积分等于积分的和或差，即 ddyxgyxf ),(),( ddyxg ),( ddyxf ),(（二重积分与定积

9、分有类似的性质）（二重积分与定积分有类似的性质）性质性质3：二重积分的可加性：如果积分区域二重积分的可加性：如果积分区域 d 被被1d2d1d2ddxy0 ddyxf ),( 1),(ddyxf 2),(ddyxf 性质性质4：如果在区域如果在区域 d 上总有，上总有，f ( x , y ) 1 , 是是 d 的面积，则的面积，则 dd 1 dd 一曲线分成两部分一曲线分成两部分和和，则，则 几何意义：高为几何意义：高为 1 的平顶柱体的体积的平顶柱体的体积性质性质5：如果在如果在 d 上总有上总有),(),(yxgyxf 则有不等式则有不等式 dddyxgdyxf ),(),(特殊地，由于特

10、殊地，由于| ),(|),(| ),(|yxfyxfyxf dyxfd | ),(| dyxfd ),( dyxfd | ),(|所以又有不等式所以又有不等式 dyxfdyxfdd | ),(|),(|解解三角形斜边方程三角形斜边方程 2 yx在在 d 内内有有 eyx 21,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 ddyx )ln( ddyx 2)ln(.oxy121d性质性质6：设设 m 、m 分别是分别是 f ( x , y ) 在在 d 上的最上的最大值和最小值，大值和最小值， 是是 d 的面积，则的面积，则 mdyxfmd ),(因为因为,),(myxfm 所以由性质所以由

11、性质 5 有有 ddddmdyxfdm ),(由性质由性质 1 有有 ddddmdyxfdm ),(由性质由性质4 有有 mdyxfmd ),(（二重积分估值不等式）（二重积分估值不等式）在在d上上 2220ayx ,12220ayxeee 由由性性质质 6 知知 ,222)(adyxede 解解 dedyx)(22 ab.2aeab 区区域域 d 的的面面积积 , ab区域面积区域面积2 ,16)(1),(2 yxyxf在在d上上),(yxf的的最最大大值值)0(41 yxm),(yxf的的最最小小值值 5143122 m)2, 1( yx 故故4252 i. 5 . 04 . 0 i解解性质性质7：二重积分的中值定理：设二重积分的中值定理：设 f ( x , y ) 在在 d上连续，上连续， 是是 d 的面积，则在的面积，