第一类换元公式(凑微分法)55941

1、数学开启科学大门的钥匙第二节第二节换元积分法换元积分法 xdxcoscx sin法）法）凑微分法（第一类换元凑微分法（第一类换元一一. xdx2coscx 2sin?)2(sin xx2cos2 xdxcoscx sin法）法）凑微分法（第一类换元凑微分法（第一类换元一一. xdx2coscx 2sin)2(sin xx2cos2 ,2 xt 令令dtdx21 xdx2cosdtt cos21ct sin21cx 2sin21设设)(uf具有原函数，具有原函数， dxxxf)()( )()(xuduuf 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法）（凑微分法）)(xu 可可导导，则有换元公式则有换

2、元公式定理定理1 1设设),()(ufuf 则则.)()( cufduuf如果如果)(xu （可微）（可微）dxxxfxdf)()()( cxfdxxxf)()()( )()(xuduuf 证证adxbaxd )()(1baxdadx 1例例 dxex 35)35(5135 xdex dxexcex cex 35512例例 dxx7316)73(731671 xdx dxx1cx ln716 cx 73ln3例例dxxx 12321 dxxxxxxx 12321232)1232(dxxdxx 12413241 dxx cx 11 )12(1281 xdx)32(3281 xdx 2332328

3、1 x cx 23123281 xdx2sin 求求解解（一）（一） xdx2sin )2(2sin21xxd;2cos21cx 解解（二）（二） xdx2sin xdxxcossin2 )(sinsin2xxd ;sin2cx 解解（三）（三） xdx2sin xdxxcossin2 )(coscos2xxd .cos2cx cxxdx 2214例例5例例dxxex 22221dxex cex 221 dxexcex 6例例dxxex 932293221dxex 2933(31212xdex )9 cex 932617例例dxexx121 xdex11 cex 18例例dxxx )ln21(

4、1)(lnln211xdx dxxex 32xdex 322)32(32 xdexcex 329例例dxxx3)(ln1 xdxln)ln(3 cx 4)(ln4110例例)ln21(ln21121xdx cx ln21ln21dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxedex .)1ln(cexx 11例例另解另解dxex 11dxeexx 1)(1xdeexx xxdee 11dxex 11dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 111例例另解另解dxex 11dxeexx 1)(1xdeexx cex )1ln()1(11

5、xxede)1(11xxedex .)1ln(cexx 12例例 xdxtandxxx cossinxdxcoscos1 cx cosln13例例dxxx 4323442341dxx )23(238144xdx cx 234)23(328114例例dxxx 3)1(dxxx 3)1(11)1(1)1(132xx dx)1(xd x 11cx 2)1(2115例例dxxa 221 dxx211cx arctandxaxa 222111.arctan1caxa axdaxa211116例例dxxx 25812dxx 9)4(12 dxx211cx arctandxx 13413122 341341

6、312xdx.34arctan31cx 17例例dxax 221dxaxax )(1dxaxaxa)11(21 dxx1cx lndxaxa 121dxaxa 121)(121axdaxa )(121axdaxa axa ln21caxa ln21caxaxa ln2118例例dxxxx ln)ln(ln2xdxxlnln)ln(ln2 xdxlnln)ln(ln2cx 3)ln(ln31dxexxx 12)11(19例例211)1(xxx dxexxx 12)11()1(1xxdexx cexx 120例例 dxxcos11 dxxxxcos1cos1cos1 dxxx2cos1cos1 d

7、xxx2sincos1 dxxxdxx22sincossin1xcot xdxsinsin12 xcot cx sin1另解另解 dxxcos11 dxx2cos212 22cos12xdxcx 2tan21例例 xdxsincx cos22例例 xdx2sin dxx)2cos1(212x cx 42sin23例例 xdx3sin xxdcossin2 xdxcos)cos1(2cxx 3cos3121例例 xdxsincx cos22例例 xdx2sin dxx)2cos1(212x cx 42sin23例例 xdx3sin xxdcossin2 xdxcos)cos1(2 xdcos x

8、xdcoscos2xcos cx 3cos31 xdxx2cos3cos24例例 dxxx)5cos(cos21cxx 5sin101sin2125例例 xdxx52cossin x2sinx4cos xdxcos xdsin )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin21(sin422xdxxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxxx3sin31 x5sin52 cx 7sin7126例例 xx35cossinxdxxx233sincossin x2sin813 dxx)2cos1(21 dxxxx)2cos2sin2(sin16133 xdxcsc2

9、7例例 dxxsin1 dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxcx 2tanlncxx cotcscln xdxcsc另解另解 dxxsin1 dxxx2sinsin )(coscos112xdx )(cos1cos12xdxcxx cos1cos1ln21cxx cotcsclndxxx 2arcsin41222arcsin2112xdxx )2(arcsin2arcsin1xdx cx 2arcsinln28例例问题问题?12 dxx解决方法解决方法令令txsin dxx21tdt sinsin12 tdt 2cos）换元法（第二类换元法换元

10、法（第二类换元法一一.其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函数数. . 证证 设设 为为 的原函数的原函数,)(t )()(ttf 令令)()(xxf 则则dxdtdtdxf )()()(ttf )(1t 设设)(tx 是单调的、可导的函数，是单调的、可导的函数， )()()()(xtdtttfdxxf 则有换元公式则有换元公式并且并且0)( t ，又设又设)()(ttf 具有原函数，具有原函数，定理定理2 2)(tf )(xf cxfdxxf)()(cx )( taxsin taxtan taxsec 注意：注意：1cossin22 xx1tansec22 xx换元法的目的：换元法的目的

11、： 解决解决2201xa 2202xa 2203ax 其他其他 40令令t 其它其它)0(122 adxaxtax22ax 29例例taxtan ln aax22( cax )caxx )ln(22taxtan 22 xdata 222tan1tatan tasec1 tdtsecctt )tanln(sectdta2sec dxxx 23430例例txsin2 22 x tdttsin2sin44sin223 32 t 3sintdt2costdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 ctt )cos51cos31(3253ttxsin2 x224x

12、81433232 x cx 321453252)0(122 adxaxtdaatasecsec1222 31例例20 xdtttt tantansec tdtsecctt )tanln(secttaxsec xa22ax ln( axcaxa )122taxsec dxxx 23132例例txtan 22 xtdtttantan1tan23 dtttt 23secsectandttt sectan3 ttdsectan2 tdtsec)1(sec2t3sec31 ct secttxtan x121x 32)1(31x cx 2133例例dxx 11tx 211dtt dttt 12dttt 1

13、112dtt )111(2t 2 ct )1ln(2x2 cx )1ln(2另解另解dxx 11tx 11 tx2)1(1 tdtdttt 12dtt )11(2t 2 ct ln234例例dxxx 1tx 121tx )1(122 tdttdttt 1222dttt 111222dtt )111(22t 2 ct arctan2dxxx )1(1335例例6tx 623)1(1dttt dttt2216 dttt221116 dtt)111(62t 6 ct arctan6.11dxex 36例例xet 112 tex)1ln(12 tdtdtttt )1(22ctt 11ln基基本本积积分分表表;coslntan)16( cxxdx;sinlncot)17( cxxdx;)tanln(secsec)18( cxxxdx;)cotln(csccsc)19( cxxxdx;arctan11)20(22caxadxxa ;ln211)22(22c