多元积分学(北航数学竞赛)

1、g.f.b.riemann(1826-1866)只有在微积分发明只有在微积分发明之后，物理学才之后，物理学才成为一门科学成为一门科学. .只只有在认识到自然有在认识到自然现象是连续的之现象是连续的之后，构造抽象模后，构造抽象模型的努力型的努力 才取才取得了成功。得了成功。 -黎曼黎曼多元函数积分学多元函数积分学定积分定积分(definite integral)integral)二重积分二重积分(double integral)integral)三重积分三重积分(triple integral)integral)性质性质直角坐标直角坐标极坐标极坐标曲线坐标曲线坐标直角坐标直角坐标柱面坐标柱面坐标

2、球面坐标球面坐标曲面坐标曲面坐标应应用用二重积分的换元法二重积分的换元法(change of variable in double integral)(change of variable in double integral).dudv)v,u(j)v,u(y),v,u(x fdxdy)y, x( fdd:t)3(; 0)v,u()y, x()v,u(jd)2(d)v,u(y),v,u(x)1(dxoyduov)v,u(yy),v,u(xx:tdxoy)y, x( fdd 是一对一的，则有是一对一的，则有变换变换上雅可比式上雅可比式在在；上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在且满足且满

3、足，平面上的平面上的变为变为平面上的闭区域平面上的闭区域将将连续，变换连续，变换上上平面上的闭区域平面上的闭区域在在设设定理定理三重积分的换元法三重积分的换元法(change of variable in triple integral)(change of variable in triple integral)，且且满满足足上上的的闭闭区区域域变变为为上上的的闭闭区区域域将将上上连连续续，变变换换在在有有界界闭闭区区域域设设定定理理 xyzouvwo),w,v,u(zz),w,v,u(yy),w,v,u(xx:t)z,y,x(f续续偏偏导导数数；上上具具有有一一阶阶连连在在 d)w,v,u

4、(z),w,v,u(y),w,v,u(x)1(;0)w,v,u()z,y,x()w,v,u(j)2( 上上雅雅可可比比式式在在.dudvdw|j|)w,v,u(z),w,v,u(y),w,v,u(x(fdxdydz)z,y,x(f:t)3( 是是一一对对一一的的，则则有有变变换换容易验证，容易验证， 柱坐标柱坐标(cylindrical coordinate)变换的变换的jacobi行列式为行列式为球坐标球坐标(spherical coordinate)变换的变换的jacobi行列式为行列式为, r1000cosrsin0sinrcos)z, r ()z, y, x(j sin2),() z

5、, y, x(j 0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin 广义球坐标变换的广义球坐标变换的jacobi行列式为行列式为 cossinax sinsinby coscz其中其中 0 0 20),()z,y,x(j ,sinabc2 d; 0dxdy)y, x( f),y, x( f)y, x( f则则若若 dd1dxdy)y, x( f2dxdy)y, x( f),y, x( f)y, x( f则则若若,0 xddyd1 轴轴对对称称，关关于于设设积积分分区区域域二重积分的对称性二重积分的对称性使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于

6、坐标轴的对称性；、积分区域关于坐标轴的对称性；、被积函数在积分区域上的关于二个、被积函数在积分区域上的关于二个 积分变量的奇偶性积分变量的奇偶性. .三重积分的对称性三重积分的对称性,0zxoy1 并并记记平平面面对对称称，关关于于设设积积分分区区域域 ; 0dv)z, y, x( f),z, y, x( f)z, y, x( f则则若若.dv)z, y, x( f2dv)z, y, x( f),z, y, x( f)z, y, x( f1 则则若若使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个、被积函数在积

7、分区域上的关于三个 坐标轴坐标轴( (三个变量三个变量) )的奇偶性的奇偶性. .二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系（green公式）公式）)()(的正向的正向沿沿lqdypdxdxdyypxqld 三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系(gauss公式公式) rdxdyqdzdxpdydzdv)zryqxp(曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系(stokes(stokes公式）公式） dxdyypxqdzdxxrzpdydzzqyr)()()( rdzqdypdx与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域d上上),

8、(),(yxqyxp具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . lqdypdxd与路径无关与路径无关内内在在)1( cdcqdypdx闭曲线闭曲线, 0)2(qdypdxduyxud 使使内存在内存在在在),()3(xqypd ,)4(内内在在等等价价命命题题空间曲线积分与路径无关的四个等价命题空间曲线积分与路径无关的四个等价命题条条件件.),(),(),(列列四四个个条条件件等等价价有有连连续续的的偏偏导导数数，则则下下上上若若在在空空间间单单连连通通区区域域zyxrzyxqzyxpv等等价价命命题题.,)4(;),()3(0)2()1(ypxq

9、zpxrzqyrvrdzqdypdxduzyxuvvlrdzqdypdxrdzqdypdxvll 内内在在使使内存在内存在在在；闭曲线闭曲线与路径无关；与路径无关；内内在在一一. 计算题计算题重积分计算的关键重积分计算的关键: :1. 1. 选择合适的坐标系选择合适的坐标系2.2.确定合适的积分次序以及积分限确定合适的积分次序以及积分限（综合考虑积分区域和被积函数）（综合考虑积分区域和被积函数）例例 1 222222yr0 xr2ry2r0y0 xydxedyedxedye计算计算:解解考虑用极坐标变换考虑用极坐标变换先弄清直角坐标系下的积分区域先弄清直角坐标系下的积分区域 d d，0.20.

10、40.60.811.21.40.511.521d2dr，很明显很明显21ddd 由此由此, ,可以可以画出直角系画出直角系下的积分区下的积分区域的图形，域的图形，2ry0, yx0)y, x(d1 ry2r,yrx0)y, x(d222 0.20.40.60.811.21.40.511.52rd xy22d)yx(dxdyei r2drrdrde r0r2/4/rdred2r0r)e21(42 )e1(82r 例例2 2.xyz3)zyx(3222所所围围立立体体的的体体积积求求 例例3 3解解 cossincossin3r23 cossin2sin2320 2 2 23 2o 由对称性由对称

11、性 14dvv 2020cossin2sin230232sin drrdd32 例例4 计算计算 v2,dv)zyxcos()zyx(.10 , 10 , 10),(zyxzxyxzyxv解解 曲面坐标变换的目的曲面坐标变换的目的, (1), (1)使积分区域变使积分区域变 得尽量简单得尽量简单, (2), (2)简化被积函数及计算。简化被积函数及计算。引入坐标变换：引入坐标变换：zyxw,zxvyxu )z, y, x()w, v,u( 111101011 3 dxdydz)zyxcos()zyx(i2v v2dudvdw)w,v,u()z,y,x(wcoswdw31wcoswdvdu102

12、1010 dwwcosw31102 102wsin61 1sin61 0.511.520.20.40.60.811.2z例例5 5 设心脏线的方程为设心脏线的方程为),cos1(ar , 0a,0 求它与极轴围成的平面求它与极轴围成的平面图形绕极轴所得旋转体的体积图形绕极轴所得旋转体的体积。解解若视极轴为若视极轴为 z z 轴，则轴，则极坐标极坐标 恰好是球坐标恰好是球坐标, r的的,:范范围围对对于于旋旋转转体体应应为为而而球球坐坐标标 .20 于是体积于是体积 dvv )cos1(a02020dsindd 033dsin)cos1(3a2 0434)cos1(3a23a83 例例6 6 1

13、1)(2222zyxzyxldsyxl是是其其中中计计算算曲曲线线积积分分解解由对称性由对称性 lldszydsyxi)x(31)z(31222 llds31ds31 lds32 964 例例7.)0()0(22)()()(22222222222所所围围球球面面部部分分总总在在左左边边轴轴正正向向往往下下看看，曲曲线线从从的的方方向向运运动动时时，的的方方向向规规定定位位沿沿，的的交交线线与与柱柱面面球球面面是是，其其中中求求lzllzabaxyxbxzyxldzxydyzxdxzyl .)0(2222部部分分的的上上侧侧所所围围球球面面为为曲曲线线取取 zbxzyxl解解 dsyxxzzyd

14、xdyyxdzdxxzdydzzyistokes)cos)(cos)(cos)(2)()()(2 公公式式，有有由由,cos,cos,cosbzbybbxn 的单位法向量的单位法向量于是于是 dsyxbzxzbyzybbxi)()()(2 dsyz)(2 zds2 cos2dxdyz bdxdy2 axyxdxdyb2222ba22 dxdy)yfyxfx(eyfxf, 1yx:d(d),c)y, x( f. 8d)yx(222222222 求求且且设设例例解解rdr)yfsinrxfcosr (ddxdy)yfyxfx(2010d rdrd)yfsinrxfcosr(2010 rdr)dyx

15、fdxyf(1yx1022 公式公式由由gauss 1022221yxddrdxdy)yfxf( rdxdy)yfyxfx(22 101yx)yx(dr)dxdye(r2222 1020r0dr)ded(r2e2 例例9).x(f, 1)x(flim), 0(cf, 0zdxdyedzdx)x(xyfdydz)x(xfs0 x0 x1sx2求求且且其其中中，都都有有，曲曲面面内内任任意意光光滑滑的的有有向向封封闭闭设设对对半半空空间间 解解有有，设设它它的的表表面面为为，光光滑滑的的有有界界闭闭区区域域内内任任意意公公式式，对对半半空空间间由由题题设设及及s0 xgauss sx2zdxdye

16、dzdx)x(xyfdydz)x(xf0 dxdydze)x(xf)x( xf)x( f x2连续性连续性的任意性及被积函数的的任意性及被积函数的由由 )0 x(0e)x(xf)x( xf)x( fx2 0ex1)x( f )1x1()x( fx2 xcee)x( fxx2 , 1)x( flim0 x 又又, 1c, 故故.xee)x( fxx2 所以，所以，二二. 证明题证明题:,1|,)(证证明明确确定定由由区区域域为为连连续续函函数数设设 xyduf例例1dxxxfdxxxfdxdyfixdyx)(arccos4()()(211022)1 分析分析: :要证明的等式右端是定积分要证明的

17、等式右端是定积分, ,且且被积函数中有被积函数中有 项项, ,故需将故需将 看看成一整体成一整体. .)(xfyx22 xy )(22,22) 1 , 1(d12d11证明证明: : 采用极坐标采用极坐标. 1r,ddd,dd121111 分分界界线线为为在在第第一一象象限限的的部部分分为为设设将式中将式中r r的换成的换成x,x,即得证即得证. . 1d22dxdy)yx( f4i由对称性知由对称性知dxdy)yx( fdxdy)yx( f 41211d22d22 4r1arccos211040d)r (rfdrdr)r (rfd 4 2110dr)r (rf)r1arccos4(dr)r

18、(rf例例2 2 dxdyexfyxyfxf1)()(22,1 , 0)(证明证明上可积上可积在在设设证证)0(1! 212之间之间于于介于介于xxxexex )y( f)( f1)y(f)(f xex 1x1x)y(f)(f2222)y( f)( f1(yyxdxdyxdxdye 1x1x2222)y( f)x( fyydxdydxdy.ryx:d)ba(r21dxdy)y()x()y(b)x(a) t (222d2 其其中中为为连连续续正正值值函函数数，证证明明设设证明：证明：由积分区域由积分区域d关于关于y=x对称，所以对称，所以， dddxdy)y()x()y(dxdy)y()x()x

19、(从而从而 ddxdy)y()x()y(b)x(a例例3 3dxdy)y()x()y()x()ba(d )ba(r212 .)()(1)(:, 0)()(2,abdxxfdxxfxfcxfbababa 证明证明且且设设例例4 4解解：dxxfdxxfibaba )(1)(dyyfdxxfbaba )(1)(dxdy)y( f1)x( fbyabxa ddxdyxfyfyfxfi)()()()(21 ddxdy2212)(ab 例例4 4 . 1dyedxe:,1 , 0c)x( f10)y(f10)x(f 证明证明设设dyedxeyfxf 10)(10)(:证证 1y01x0)()(dxdye

20、yfxf 1y01x0)()()()()(21dxdyeexfyfyfxf1221 ddxdy例例 5,)x( f单单调调减减少少且且恒恒大大于于零零在在上上连连续续设设函函数数 1010210102dx)x( fdx)x(fdx)x(xfdx)x(xf证明：证明：分析：分析： 1021010102dx)x(xfdx)x(fdx)x(xfdx)x(f只只要要证证明明 1021010102dy)y(yfdx)x( fdy)y(yfdx)x(f即即证证0dxdy)y( f)x( fy)y( f )x( f i1010 即即证证dxdy)x( f)y( fx)x( f )y( f i1010 同同理

21、理dxdy)y( f)x( fxy)y( f )x( fi21010 于于是是0)y(f)x(f)xy(0f)x(f 可可保保证证的的单单调调性性及及由由则本题得证则本题得证.例例6:, 1yxd22试证明不等式试证明不等式为为设设 .52dxdy)yx(sin16561d322 证明证明drrsinr2dxdy)yx(sini103d322 drrrr)(2103!39 ，而而 16561dr)!3rr(r21093 52drr2104.52dxdy)yx(sin16561d322 故故例例 7.),(,:,),(222021lim上上连连续续在在求求dyxfddxdyyxftyxdtt 证

22、证由积分中值定理有由积分中值定理有)d(a),(fdxdy)y, x(fd 2t),(f ),(flimdxdy)y, x(ft21lim0td0t 则则)0 , 0(f 设设)(xf在在1 , 0上连续上连续, ,试证试证: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .例例8 8证证 tdxxftf0)()(设设, 0)0(f 于于是是dyxfyfyfxfdxix)()()()(101 1110 xxdyxfyfxfdyyfyfxfdx)()()()()()(101101221dxyfxfxfdxyfxfxx| )()()(| )()( 1022dx)

23、x(f)1(f)x(f)x( f)x(f)1(f21)x( f 1022dx)1(f)x(f)x( f)x(f)x( f21)1(f)x( f21 102dx)1(f)x(f2)x( f 102)1(f)x(fd)1(f)x(f21103|)1(f)x(f61 310dx)x( f61 例例9 9 tt2) t (d22) t (d22) t (222dx)x( fd)yx( f) t (g,d)yx( fdv)zyx( f) t (f.tyx| )y, x() t (dtzyx| )z, y, x() t (2222222 其其中中连连续续且且大大于于零零，设设函函数数)x( f.), 0(

24、) t (f)1(内内的的单单调调性性在在区区间间讨讨论论 ).t (g2) t (f,0t)2( 时时证明当证明当 ttrdrtfdrrtrtfttftf022022)()()()(2)( , 0)x( f), 0( 上上所以在所以在.), 0() t (f内单调增加内单调增加在在故故 2002002220)(sin)()(ttrdrrfddrrrfddtf,)()(202022 ttrdrrfdrrrf解解)1(证证)2(,)()()(0202 ttdrrfrdrrftg ),t (g2) t (f0t 时时要证明要证明因因, 0) t (g2) t (f,0t 时时只需证明只需证明.0r

25、dr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( ft022t02t022 即即,rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( f) t (g2t02t02t022 令令, 0dr)rt)(r ( f)t ( f) t ( gt0222 则则.), 0) t (g内内单单调调增增加加在在故故 , 0)0( g又又, 0) t (g,0t 时时故故当当).t (g2) t (f0t 时，时，因此，当因此，当,0t) t (g处连续处连续在在因为因为 ).0(g) t (g,0t 有有时时所以当所以当.144b|dxdy)y,x(f|,b|yxf|,1y,x0:d)y,x(f10d224 证

26、证明明且且的的边边界界为为零零在在平平面面区区域域设设四四次次可可微微函函数数例例证证, )y1(y)x1(xy)g(x, 令令由题设条件可得由题设条件可得),1y0(, 0)y, 0( f)y, 1( f 故有故有),1y0(, 0|yf|yf0 x1x ),1y0(, 0|yf|yf0 x221x22 1010231023dy)dxxgyxf|gyxf( 101023dy)dxxgyxf( 101022221022dy)dxxgyf|xgyf( d1010224224dx)y, x(gyxfdydxdy)y, x(gyxfi 10102222dy)dxxgyf( d2222dxdyxgyf（分部积分）（分部积分）（分部积分）（分部积分）, )y1(y2xg22 又又由分部积分法得由分部积分法得 102210dxdyyf) )y1(y2(i 10101y0ydxdyyf)y21(|yf)y1(y2 1010dxdyyf)y21(2 1010dx)dy)y, x( f(4 ddxdy)y, x( f4故故 d224d|dxdy)y1)(x1(xyyxf|41|dxdy)y, x( f| d224dxdy| )y1)(x1(xy|yxf|41 ddxdy)y1)(x1(xyb