4147微分方程答案

1、41.2. 3.4.1yxddeee 二二，一一；三三，一一 一、填空题一、填空题 4.14.2 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程 1.:(1)(1)11ln|1|ln|1|ln|(1)(1)()00 xyyxyxyxyxxyxyxyxyxyxyxyeedxeedyeedydxeeeeceecedxdye dxe dyd eeeeeec 解解 两两边边积积分分得得: :即即 通通解解为为一一：法法： 法法二二 二、计算题二、计算题 22222222222.,1111111ln|1|ln|1|ln222ln|1|ln|1| ln(1)(1)xydxd

2、yxyxydxdyxyxycxycyxc 解解： 两两边边积积分分得得通通解解为为22222203.2224(0)00,4arctan4.,1arctan1arctan12100,arctan2xxyyyxxxyydxcxycyxyxxydxxcxycyx 解解：两两边边求求导导得得 则则 ， ， 从从而而解解：则则 ， 从从而而 2224444.44121lnlnln4424224lnlnln22162162323xdydxdxyxxdydxxycyxxxxycycxxxycyx 解解：，两两边边积积分分得得：即即 从从而而 ， 特特解解为为 5.( ),( , ),(2 ,0)(0,2 )

3、,201102lnlnln(3,4)1212yy xm x yxyp qp qxyyyydydxxxyxcyxcyxcyx 解解：设设曲曲线线方方程程为为在在切切线线处处的的切切线线与与 轴轴轴轴的的交交点点为为；则则的的坐坐标标分分别别为为和和依依题题意意得得即即两两边边积积分分得得+ +即即过过点点点点 曲曲线线方方程程为为 000ln216001600006.( )( )( )(0),(1600)2ln2,1600( )2ktttr tkr tr tcerrrrcrkr tr er 解解：依依题题意意得得 ， 解解得得 代代人人上上式式得得 4.3 4.4 一阶线性微分方程一阶线性微分方

4、程 可可用变量代换法求解的一阶微分方程用变量代换法求解的一阶微分方程一、填空题一、填空题1. sin2. 13. 1; ln4. 5. 222cxyxycxxyxedxxdxxdttdyyyyexyyxe 二、计算题二、计算题11121.,()()21dxdxxxxyyxxyexedxcx xcycyxx 解解：则则代代人人得得 特特解解为为 112.,1()()(1)111(1)xdxdxxxxxxxxyyexyeeedxcxeecxycyxeex 解解：则则代代人人得得 特特解解为为 22223.1,1,1arcsinln(1)00arcsinlnyyyyxuyuxuxxdudxuxuuu

5、xuuxcycyxx 解解：令令则则从从而而 即即积积分分得得 代代人人得得 特特解解为为 222221224.,2122lnln,22(1)11121yyyyxuyuxuxxdudxuxuuuuuxuuxccxuuxyyccxxyx 解解：令令则则从从而而 即即积积分分得得 即即 代代人人得得 特特解解为为 三、计算题三、计算题 coscossinsinsin1.lnlnlnxdxxdxxxxyex eedxcexdxcexxxc 解解： 22222211222cos2.11cos11sin1xxdxdxxxxxyyxxxyeedxcxxcx 解解： 2233233.( )3 ( )2( )

6、3 ( )2( )( 2)( 2)0(0)12( )( 23)xxdxdxxxxxxfxf xefxf xef xeeedxceecxfcf xee 四四 解解：两两边边求求导导得得 即即 当当时时，从从而而111ln22.222210,21(1)11xdxxxydxxyyyxyyyxcycecexycyx 五五 解解：依依题题意意得得 求求导导得得 即即 代代人人得得 2222220220.(1,0)0202(0,2)()(2)08()38(2)23yyaxyaxcxxmcalyaxaxxxyaxaxyyayaxxaxaxaxaxxaxaxax dxaxx dxa 六六 解解：依依题题意意得

7、得 解解得得 代代人人点点得得 曲曲线线 的的方方程程为为 由由得得或或当当， 即即 故故 4.54.6 可降阶的二阶微分可降阶的二阶微分方程方程 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构一、填空题一、填空题1. 2. 3. b；通通解解 是是解解但但不不是是通通解解 不不是是解解11121221231.()2(2)32xxxxxxxxxxxyxe dxxeecyxeec dxxeec xcyxeec xc dxxxeecc xc 解解： 二、计算题二、计算题:x只只含含有有自自变变量量逐逐次次积积分分3113112322.,33002dxxypypxppppxcpc eyxccydxcxx

8、解解：令令则则代代入入原原方方程程法法一一：得得：即即:,yypyp不不显显含含令令则则13112323()32xyyd ydxyxcyxccydxcxx 即即 积积分分得得 法法二二：23321211222112222121113.,111,22211,1111,()1.dpypypdydppy ppdpy dyycdyc ypycyyydyydydxdxc yc ycxc ycc xc yc 解解：令令则则代代入入原原方方程程得得即即 两两边边积积分分得得 即即通通解解为为:,dpxypypdy不不显显含含令令则则11111124.,1ln,ln()ln1(ln1)ln2lndxdxxxy

9、pypxppxxxcpyeedxcxxxcyxdxxxxcxcx 解解：令令则则方方，代代入入原原方方程程得得法法一一则则：:,yypyp不不显显含含令令则则11112()lnlnlnln1(ln1)ln2lnxyyxyxxyxdxxxxccyxxcyxdxxxxcxcx 方方即即法法二二：22111125.,1,1arctantan()tan()ln|cos()|ypypdpppdxppxcpyxcyxc dxxcc 解解：令令则则代代入入原原方方程程得得 即即 两两边边积积分分的的 故故 2222121100222006.,1112220,1,ln cos()100ln |cos|yyyy

10、xxyxxdpypypdydppepdpedydypecpyecyycdydxyxceyycyx 解解：令令则则代代入入原原方方程程得得 即即 两两边边积积分分得得 积积分分得得 代代人人得得故故 22111212.,11arcsinsin()cos()(0)1,(0)1/2,1cos()11sin2ypypdpppdxppxcpxcyxccyyccyxx 三三 解解：令令则则，代代入入原原方方程程得得 即即解解得得 即即 再再积积分分得得 依依题题意意可可知知，代代人人上上式式得得 故故该该曲曲线线方方程程为为 :,yypyp不不显显含含令令则则:,dpxypypdy不不显显含含令令则则22

11、20001201012.( ),(0)0, (0)200( )( ), ( )( ),( )( )11( )( )( )ln|11(0)0, (0)200,200s tmfssfmakvms tkstkcs tp tp tc p tms tp ts tc tccc tccsscc 四四 解解：设设子子弹弹在在木木板板中中的的位位移移为为子子弹弹质质量量为为所所受受阻阻力力为为则则依依题题意意得得， 即即 令令则则解解得得 , ,再再积积分分得得 代代人人得得 0000ln2001( )ln|2001|53( )0.1, ( )8010ln,24000(ln5ln2)cs tc tcs ts t

12、ct 故故 再再代代人人得得 4.7 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程（一）（一）一、填空题一、填空题2231212322121221,212421,23,42212341. 60;2,3;2. 41290;3/2;()3. 250;12 ;(cos2sin2 )4. 5360;2,3 ;cos3sin35. xxxxxxrrrryc ec errrrycc x errri yecxcxrrrriyc ec ecxcxyy 212312124420; 690;() 250;(cos2sin2 )6. , 7. 20 xxxxxxyyc ec eyyyycc x eyyyyecxcx

13、exeyyy 212612120061.760,1,6220,2,552255xxxxxxrrrryc ec eyyccyee 解解： 故故通通解解为为 代代人人得得 特特解解为为 二、计算题二、计算题2122121200212.4410,2()2,02,1(2)xxxxrrrrycc x eyyccyx e 解解： 故故通通解解为为 代代人人得得 特特解解为为 21,2212120023.4290,25(cos5sin5 )0,150,33sin5xxxxrrriyecxcxyyccyex 解解： 故故通通解解为为 代代人人得得 特特解解为为 3212301231230001234.20,0

14、,1()()2,0,111(1)xxxxxxxrrrrrryc ecc x eccc x eyyycccyx e 解解： 故故通通解解为为 代代人人得得 特特解解为为 31230123123000123.0,0,1,10,2,00,1,1xxxxxxxxxxrrrrryc ec ec ecc ec eyyycccyee 三三 解解：特特征征方方程程为为 故故通通解解为为 依依题题意意得得代代人人通通解解中中得得 所所求求积积分分曲曲线线为为 4.7 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程（二）（二）一、填空题一、填空题222221. ();2. ;();()3. xxxxxaxb eax

15、eaxbxcaeaxbxc exaxb ed 21,212*0121.402cos2sin21,( )141/51cos2sin25xxxxxxrriycxcxp xyx aeaeaeaeeaycxcxe 解解：特特征征方方程程为为，解解得得对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解为为可可设设，代代人人原原方方程程得得，故故故故原原方方程程的的通通解解为为二、计算题二、计算题检验答案检验答案公式（公式（7）212212*2222122.3201,21,( )()( )( )2,( )22(23)(2)11,1()221()2xxxxxxxrrrryc ec ep xxyx axb eq xax

16、bxq xaxb qxaaaxbxabyxx eyc ec exx e 解解：特特征征方方程程为为，解解得得对对应应的的齐齐次次方方程程的的通通解解为为可可设设，则则代代人人原原方方程程得得解解得得 故故原原方方程程的的通通解解为为 2124122*020242123.5405401,40,( )1521,483215214832xxxxxyyyrrrryc ec ep xxyxaxbxc eaxbxcabcyc ec exx 解解：的的特特征征方方程程为为，其其通通解解为为 设设代代人人原原方方程程整整理理得得 故故原原方方程程的的通通解解为为212312*23322*3233124.690

17、6903()3,( )1()( ),( )32,( )626211111,()62621()(6xxxxyyyrrrrycc x ep xxyxaxb eq xaxbxqxaxbx qxaxbaxbxabyxxeycc x e 解解：的的特特征征方方程程为为，其其通通解解为为 设设，则则代代人人原原方方程程整整理理得得 即即故故原原方方程程的的通通解解为为3231)2xxxe 212212222*122222125.4404402()2,4,3()4243xxxxyyyrrrrycc x eykx exbxcabcyyyycc x ex exx 解解：的的特特征征方方程程为为，其其通通解解为为

18、 设设，代代入入原原方方程程整整理理得得 故故原原方方程程的的通通解解为为法法一一： 212212*221*0202*122222125.4404402()42,4,3()4243xxxxxyyyrrrrycc x eykx ekyxaxbxc eabcyyyycc x ex exx解解：的的特特征征方方程程为为，其其通通解解为为 设设，代代人人(1)(1)得得 设设，代代人人(2(2法法二二) )整整理理得得 故故原原方方程程的的通通解解为为：21,212*126.25025012(cos2sin2 )12( cos2sin2 )1,041(cos2sin2 )cos24xxxxyyyrrr

19、iycxcx eiwiyxeaxbxabycxcx exex 解解：的的特特征征方方程程为为，其其通通解解为为 是是特特征征根根可可设设，代代人人原原方方程程整整理理得得 故故原原方方程程的的通通解解为为000012*12.( )( )( ),( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )0( )1,( )( )21( )2xxxxxxxxxxxxxxxxf xexf t dttf t dtfxef t dtxf xxf xef t dtfxef xfxf xefxf xf xc ec eykxefxf xekf xc ec exe 三三 解解：则则 即即 解解得得 设设特特解解为为代代人人中中得得习题课习题课一、填空题一、填空题321221215. 6. 220117. ()arcsin28. 9. 2ln410. 2xb c d a dyyyyxxyxxc xcyxxxyxc ec 222