17无穷小的比较

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束1/19第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换三、小结三、小结 思考题思考题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2/19【复习【复习】1sinlim0 xxxexxx )11(lim推广形式推广形式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束3/19一、无穷小的比较一、无穷小的比较【例如【例如】xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 【结论

2、【结论】极限不同极限不同, ,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同. .;32要快得多要快得多比比 xx;sin大致相同大致相同与与xx不可比不可比. ., 0 , 1 xx1sinlim0 .不存在不存在观察各极限观察各极限型）型）（001. .【问题【问题】两个无穷小的和、差、积仍是无穷小两个无穷小的和、差、积仍是无穷小. . 商？商？机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束4/19; 记作记作；记记作作)()(xox ,)()(0)()(lim)1(高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果xxxx 2. .【定义【定义】. 0, 且且

3、穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设 ; , 0lim)2(是同阶的无穷小是同阶的无穷小与与就说就说如果如果 a ; , 1lim是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地， ）的低阶无穷小）的低阶无穷小（）为）为（也称也称xx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束5/19【例如【例如】 ，0cos1lim10 xxx高高阶阶的的无无穷穷小小是是时时，当当xxxcos10 ).0()(cos1 xxox即即 ，21cos1lim 220 xxx同阶的无穷小同阶的无穷小是是时，时，当当2cos10 xxx 1sinlim30 xxx si

4、n0是等价无穷小是等价无穷小与与时，时，当当xxx ).0(sinxxx即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束6/19【定理【定理2】 ( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设2、代换方法、代换方法机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束7/19常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx xx2111 xnxn111 xx 1)1( 注注1. 上述上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、个

5、等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握指、三）必须熟练掌握都成立都成立换成换成将将0)(. 2 xfx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束8/19【教材例【教材例1】xxx5sin7tanlim0求求【解【解】所以所以时，时，因为因为,55sin,77tan0 xxxxx 5757lim5sin7tanlim00 xxxxxx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束9/19【教材例【教材例3】)31ln(lim22xxx 求求【解【解】故故时，时，当当,3)31ln(22xxx 33lim)31ln(lim2222 xxxxxx机动机动 目录目

6、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束10/19【定义【定义2 2】),0(, kk的同阶无穷小量的同阶无穷小量是是某一极限过程中某一极限过程中 阶无穷小量阶无穷小量的的是是则称则称k 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束11/19【例【例4】 sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 【证【证】30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 sintan 的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页

7、 返回返回 结束结束12/19【例【例1】【解【解】xexx1lim 0 .1lim0 xexx 求求,1uex 令令),1ln(ux 即即, 0,0ux有有时时则当则当uuu10)1ln(1lim uuu10)1ln(lim1 eln1 . 1 时时当当即即0:x)1ln(lim0uuu )1ln(xx 1 xex【练习【练习】)1(lim1 xxex求极限求极限机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束13/19【例【例2】.cos12tanlim20 xxx 求求【解【解】.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 若

8、未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限穷小代换，而不会改变原式的极限【说明【说明】机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束14/19不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换. .切记，只可对函数的切记，只可对函数的因子因子作等价无穷小代换，作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小对于代数和中各无穷小一般一般不能分别代换不能分别代换. .【注意【注意】【例【例3】.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求【解【解

9、】.arcsin,sin,0 xxxxx时时当当 xxxx)1(lim0 原式原式. 1 )1(lim0 xx无穷小代换原则无穷小代换原则积商可部分代换积商可部分代换, ,和差只能总体代换和差只能总体代换. .)1(lim1 xxex极限极限用等价用等价无穷小无穷小代换更简单代换更简单如上如上【练习【练习】)( 111 xxex机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束15/19【错【错】【例【例4】.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 【正确解法【正确解法】,0时时当当 x)co

10、s1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束16/19【例【例6】1cos1)1(lim 3120 xxx求求【解【解】时时当当 0 x2312311)1(xx 2211cosxx 故故1cos1)1(lim 3120 xxx2202131limxxx 32 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束17/19三、小结三、小结1、无穷小的比较、无穷小的比较【注【注】不是所有的无穷小都可进行比较不是所有的无穷小都可进行比较. .2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换: :求极限的又一种方法求极限的又一种方法, ,注意适用条件注意适用条件. .0 lim,0, , )0( c,1,0lim ck 设设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小, 且且 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小 是是 的低阶无穷小的低阶无穷小 是是 的同阶无穷小的同阶无穷小 是是 的等价无穷小的等价无穷小 是是 的的 k 阶无穷小阶无穷小机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束18/19【思考题【思考题】任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可