第三章第2节洛必达法则

1、2洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及一、一、:00定义定义.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或称称为为那那末末极极限限大大都都趋趋于于零零或或都都趋趋于于无无穷穷与与两两个个函函数数时时或或如如果果当当xfxfxfxfxaxxax例如例如,tanlim0 xxx,sinlnsinlnlimbxaxx00，)(00).( 3(1),( )( );(2)(),( )( )( )0;( )(3) lim();( )( )( )limlim.( )( )xaxaxaxaf xf xaafxfxfxfxfxf xfxf xfx设设当当时时 函函数数及及都都趋趋于

2、于零零在在点点的的某某邻邻域域内内 点点本本身身可可以以除除外外及及都都存存在在且且存存在在 或或为为无无穷穷大大那那末末定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .,该法则仍然成立该法则仍然成立时时当当x4例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx. 1 例例2 2解解.123lim2331xxxxxx求求12333lim221xxxx原式原式266lim1xxx.23)00()00(5例例3

3、 3解解).arctan2(limxxx 求求22111lim1arctan2limxxxxxx 原式原式221limxxx. 1 )00(例例4解解lnlim(0).nxxnx求求11ln1limlimlim0.nnnxxxxxxnxnx)(6例例6解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0原式原式. 1 )(bxaxxcoscoslim0例例5解解limnxxxe 求求212(1)limlimlimnnnxxxxxxn nxxnxeee)(n为正整数为正整数, 0)!lim0.nxxne 7注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法

4、，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用，效果更好. .例例7解解.tantanlim20 xxxxx求求30tanlimxxxx原式原式2203tanlimxxx22031seclimxxx.318型未定式解法型未定式解法二、二、00,1 ,0 ,0 例例8解解0limln(0).nxxx n求求)0( 00lnlimlnlim1nxxnxxxx关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或0lnlimnxx

5、x101limnxxnx 0lim()nxxn0.9例例9解解).1sin1(lim0 xxx求求)( 0101.0000200sinlimsinsinlimxxxxxxxxx原式原式xxx2cos1lim0. 0 型型 . 2步骤步骤:10步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例10解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe0e . 1 xxxe1lnlim011例例11解解.lim111xxx求求)1( xxxeln111lim原式原式xxxe1lnlim111lim1xxe

6、.1 e例例12解解.)(cotlimln10 xxx求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxxxxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0, 1 .1 e原式原式12例例13解解.coslimxxxx求求1sin1limxx原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效.事实上，事实上，)cos11 (limxxx原式原式. 1 注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件13例例14解解21lim.xxx 求求22212 1limlim1xxxxxx 2l

7、im1xxx 21lim22 1xxx 21limxxx 14三、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 1513832 p习习题题1(2,3,6,7,9,15)16思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.17思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存

8、在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存在18一、一、 填空题：填空题：1 1、 洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题19二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)1112(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .20三、三、 讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当, , 在在处处点点0 x的连续性