高考数学二轮复习(理)专题限时训练

1、专题限时训练（十一）等差、等比数列的概念与性质（时间：45分钟分数：80分）一、选择题（每小题5分，共25分）1. （2015山东滕州二中模拟）设等差数列an的前n项和为若 a2 0i3<ai< a2 014,则必定有（）A. S2 013>0,且 S2 014<0B. S2 013<0,且 S2 014>0C. a2 013>0,且 a2 014<0D . a2 013<0,且 a2 014>0答案：A2 013aia2 013解析：.an为等差数列，. S2 013=2, S2 014 =2 014a1 + a2 014/2,由一

2、a2 013<a1< 22014,得 a1 + a2 0130, a + a2。14<0,所以 S2 013>0, S2 014<0,故选 A.2.已知an为等比数列，a4+a7=2,a5a6= 8/U - + 210=（）A. 7B. 5C. -5D. -7答案：D解析：:an为等比数列，. a5a6= a4a7= 8,a4 + a7 = 2,a4=4,a4 = 2,联立可解得或a4a7= 8,a7= - 2a7= 4.a4 = 4，一 01 一a40当时，q= -2，故 ai + aio = +a7q3= - 7;a7 = 2q a4 = - 2,当时，q3=

3、 2,同理，有 ai + aio= 7.a7 = 43.在等差数列an中，ai = 2 015,其前n项和为&,若SfS0 =2,则S2 0i5的值等于（）A. 2 014B. 2 015C. 2 014D. 2 015答案：B解析：设数列an的公差为d,10 92 d,12X 11Si2=12a1+2 d, Si0= 10a1 +12X 11S1212a什 2 d_11所以 12=12= a1 2d,S0=a1+9d,S2 S10 所以 12 - 10 d 2,所以 S2 015 = 2 015X a1 +2015X20142 d=2 015X (-2 015+ 2 014)= 2

4、015.4. (2015河北保定一模)设等差数列an满足a1 = 1, an>0(n6 N*), 其前n项和为Sn,若数列6也为等差数列，则学的最大值是()A. 310B. 212C. 180D. 121答案：D解析：设数列an的公差为d,依题意知,2ys2= lx/Sl+qSs,即2jy2a1-pd=1/al + JJ3a1 + 3d,解得d = 2,所以Sn+10n + 10 2n+10贝!J -Z2- ="=2an2n-1 2 2n-112 2n- 1 +2n 1212 2=41+212n31 2，由于一一21函数y= 1+21在xn 1上为减函数且y>0,所以当X

5、= 1 日寸，ymax =22,故Sn+ 10 1 d 21S1+ 10飞rz"y121，故,的最大值为121,故选D.5.设数列an是首项为1,公比为q(q? 1)的等比数列，若an+ an + 1是等差数列，则+ + - + +a2a3a3a41 + 1a2 013a2 014()A. 2 012B.2 013C. 4 024D.4 026答案：C1解析：因为a二是等差数列，则a1 + a2a3 + a4a2 + a3又an是首项为1,公比为q(q?1)的等比数列，所以1 + q+q2+q3= 2-? q=1, q+q2所以数列an是首项为1,公比为1的常数列，'+ +

6、:+, + 1r+1r =4 024.a2 a3a3 a4a2 013 a2 014二、填空题（每小题5分，共15分）6. （2015安徽卷）已知数列an是递增的等比数列，a1+a4=9, a2a3= 8,则数列an的前n项和等于.答案：2n1a1+a1q3=9,解析：设等比数列的公比为q,则有a2 q3=8,a1 = 1, 解得q = 2a1 = 8,1-2n. 8 = 2n-1.1-2或 1 q=2-a1 = 1, 又an为递增数列，.q = 2,7. （2015济宁模拟）已知等差数列an中，a1, a99是函数f（x） = x2110x+ 16 的两个答点，则 2a50+a2o+a80=

7、.答案：25解析：依题意，a1+a99=10,所以a50=5._1125所以 2a5。+220+a80= 2%。+2a50= 2 -8. （2014广东卷）若等比数列an的各项均为正数，且aman + a9a12 = 2e5, 则 In a + ln a2+ , + ln a20=.答案：50角牛析:因为 ai°aii + a9a12= 2ai0aii = 2e5,所以 aioaii = e5.所以 In ai + In a? + +ln a2o=ln(aia2a2o)= ln(a1a20) (a2a19)(a10a11) = ln(a10a11)10=10ln(a10an) = 1

8、0ln e5 = 50ln e= 50.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9. (2015江西南昌调研)等差数列an的前n项和为&,已知f(x)2xT口 0、. 2 014 兀°、2 015 jo 钻= 2XZp1，且 f(a2 2) = sin3, f。014 2) = cos 6,求 S2015的值.2x-1 .2 x11-2x .解：因为 f(x)=2zp1,所以 f(x)=2币=5：%，所以 f(x)+f(-x)=0,即 f(-x) = -f(x).因为f(x) =2x-17= 1 -72x+11 2x+1,所以f(x)是R上的增函数.因为

9、f(a2-2) = sin2 014 兀3sin 671 计3 =-sin3=-> f(a2 014-2) = cos 2 0J5 = cos 3366= cos 6=y，所以 f(a22)= 一f(a2 0142) = f(2 a2 014),所以 a2 - 2 = 2 - a2 014,所以a?+ a2 014 = 4.所以S2 015=2 015a1 + a2 0152 015 a2+a2 0142 015X 4=4 030.10. 已知数列an中，a1=1,前n项和为&且&+1 = 36+1(n6 N*).(1)求数列an的通项公式;(2)设数列1的前n项和为Tn

10、,求满足不等式Tn<-2；的n值.anSn 十 2-3一解：（1）由 Sn+i = 2& +1,可得3当 nA2 时，& = 2& i + 1,3_所以 Sh+1 Sn = 2（Sn Sh i）,3 _3an+1 3/ 、 c、即 an+i=2an, a =2（nA2）.一 .,一 3又 ai = 1,倚 S2=ai + 1 = ai + a2,所以a2=3,所以色=3适合上式，2a1 2一 一3所以数列an是首项为1,公比为2的等比数列，所以an= 2n L.一 一一.-3（2）因为数列（an）是首项为1,公比为3的等比数列,所以数列 J是首项为1,公比为2的等

11、比数列, an31- Zn1 32所以 Tn = 2"=3 1- 2n1-33又因为Sn = 2 2n-2,12 i,21代入不等式<养，即得3 n>3,所以n= 1或n = 2.d（d 丰 0）11.（2015江苏卷）设a1, a2, a3, a4是各项为正数且公差为 的等差数列.（1）证明：2a1, 2a2, 2a3, 2a4依次构成等比数列;(2)是否存在al, d,使得al, a22, a3, a44依次构成等比数列？ 并说明理由；(3)是否存在 al, d 及正整数 n, k,使得 an1, an+k2, an+ 2k3, an+3k 4依次构成等比数列？并说明

12、理由.解：(1)证明：因为雪 =2an+i an=2d(n=1,2,3)是同一个常数， 2an所以2ai, 2a2, 2a3, 2a4依次构成等比数列.(2)令 ai + d= a,则 an a2, a3,也分别为 ad, a, a + d, a +2d(a>d, a> 2d, d#0).假设存在ai, d,使得ai, a2, a3, a4依次构成等比数列，则 a4= (ad)(a+d)3,且(a + d)6= a2(a+2d)4. d令1=,则 1 = (1t)(1 + t)3, a1且(1+t)6 = (1+2t)4 2<t<1, t#0 ,化简得 t3+2t22

13、= 0(*),且 t2 = t+1.将 t2=t+1 代入(*)式，得 t(t+1)+2(t+1)2 = t2+3t=t+ 1 + 3t，,/八1= 4t+1 = 0,则 t= - 4.一一 1_ 显然t=4不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在a1，d,使得a1，a2, a3, a4依次构成等比数列.(3)假设存在a1, d及正整数n, k,使得an, a2+k, anT2k, a3k依 次构成等比数列，则 an(a1 + 2d)n 2k = (a1 + d)2(n k),且(a1 + d)n k(a1 + 3d)n 3k=(a1 + 2d)2(n+2k),分别在两个等式的两边同

14、除以a1n+k 及 a2n+2k，并令 t = 9a11, ct> 3, t?0 ,则(1 +2t)n+2k= (1 + t)2(n k),且(1 +t)n k(1 + 3t)n+3k=(1 + 2t)2(n+2k)将上述两个等式两边取对数，得(n + 2k)ln(1 +2t)=2(n+k)ln(1 +t),且(n + k)ln(1 +t) + (n+3k)ln(1 +3t) = 2(n + 2k)ln(1 +2t).化简得2kln(1 +2t) ln(1+t) = n2ln(1 +t)ln(1 + 2t), 且 3kln(1 + 3t) ln(1 +1) = n3ln(1 +t)-ln

15、(1 + 3t).再将这两式相除，化简得ln(1 +3t)ln(1 +2t) + 3ln(1 +2t)ln(1 +t) = 4ln(1 + 3t)ln(1 +t). (*)令 g(t) = 4ln(1 + 3t)ln(1 +t)-ln(1 + 3t)ln(1 + 2t) 31n(1 + 2t)ln(1 + t),则 g' (t) =2 1+3t 21n 1+3t 3 1 + 2t 21n 1+ 2t + 3 1+t 21n 1 +1 1 + t 1 + 2t 1 + 3t令 帕)=(1 + 3t)21n(1 + 3t) 3(1 + 2t)21n(1 + 2t) + 3(1 + t)21n(1 +1), 则 (t) = 6(1 +3t)1n(1 +3t)-2(1 + 2t)1n(1+2t)+(1 + t)1n(1 +t). 令 帆t)=> (t),则1(t) = 631n(1+3t) 41