实变函数(全)

1、第一章 集合:BxAxxBABA但或差：不一定成立ABBA)(ABcBABA注：ASACs余：（其中S为全集）,简记为Ac:BxAxxBA或,:AxxA使为指标为指标集，|AA或集簇：nA特别当 时，称集簇为集列，记为N:BxAxxBA且,:AxxA有注：在本书中我们未把0包含在N内,+不在中不在中,11:11NnxxAnnn设0 , 11nnA) 1 , 2(1nnA( ( ) -2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 11nafnafEE则记设,)(:,:axfExEREfaf ( a-1/n a),(),11nnaa)(11nafnE),(11nna ( ( a-1/n-1 a-1/

2、n a-1/n+1 a则记设,)(:,:axfExEREfaf11nafnafEE( a a+1/n),(11nna)(11nafnE),),(11nnaa,: ),(BbAabaBA, 2, 1,:),(211niAxxxxAiinii,2, 1,:),(211niAxxxxAiinniiccAA )(De Morgan公式注：通过取余集，使A与Ac，与互相转换ccAA )(,:nAxNnNx使是一个集合序列设,21nAAA() : :limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个 ，使1NNnnANB例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0

3、,2() : :limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外，有当 充分大时，有1NNnnA例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使() :limsuplimnnnnnAAx xA或属于无限多个集合,:nAxNnNx有NBnAAAAnnnnlimlimnAnAAAnnlim;),(1为单调减少则称满足若集列nnnnANnAAA;),(1为单调增加则称满足若集列nnnnANnAAA.)21limnnnnnAAA 单调减少，则若;,) 11limnnnnnAAA则单调增加若1

4、,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA当An为单调增加集列时11NNNNnnNNnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA 11NNNNnnNNnnAAAA当An为单调减小集列时111nnNNnnnnNnnAAAA则设,),(),11 ,11(212NnnnAnnAnn),(limnnA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnn

5、AAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA( ( ( ） ) )-n -1 0 1 2 n 1 , 1(limnnA则设,1 ,4 ,1121112NnAAnnnnnn0, 4)limnnA -1 0 1 2 3 41,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA 1 , 0(limnnA111| )()(:|)()(lim:kNNnknnnxfxfxxfxfxknknnxfxfNnNxfxf11| )()(|, 1, 1:)()(lim有,:AxxA有,:AxxA使111)(:)(:)()(limkN

6、Nnknnnaxfxaxfxxfxf，则设knkkaxfNnNaxf111)(, 1,)(, 1有利用极限的保号性知，使得从而aaxfnaxfNnNkknk111)()(, 1, 1取极限，则两边关于有则，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x) 注：集合，元素，映射是一相对概念略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射） 注：模糊集：参见：模糊集合、语言变量及模糊逻辑，L.A.Zadeh 1 , 0 :Xf2、 实数的加法运算+: ba1、 定积分运算 为从a,b上的可积函数集到实数集的映射

7、(函数,泛函,算子, 变换)AxAxAx10)( 1 , 0:XA3、 集合的特征函数（集合A与特征函数互相决定） 称 为集A的特征函数，1:,() ( ):( ),1)( )( );2) ()( )( ),()();3) ()( )( ),()();fXY A B AXf xxAAf AABf Af Bf ABf Af BfAf Af ABf Af BfAf A定理 ：设是 的子集，称为 的像集，记作则有：一般地有：一般地有：为单射等号成立当且仅当如常值映射，一般不成立fBfAfBAf,)()()(11111111111112:, ,() :( )( )()1)( )( );2)()( )(

8、 ),()();3)()( )( ),()();fXY AX C D CYx f xCCfCfCDfCfDfCDfCfDfCfCfCDfCfDfCfC定理 ：设是 的子集，称为 的原像集，记作不一定有逆映射 ，则有：一般地有：一般地有：注：6），7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当f为单射， 7）等号成立当且仅当f为满射;)()7);()6;)()()5);( )()()41111111CCffAffACfCfDfCfDCfcc;,)3;)2;) 1)2CACBBAABBAAA传递性：对称性：自反性：性质1）非空注：称与A对等的集合为与A有相同的势（基数），记作势是对有限集元素个数概念

9、的推广ABA ZNNN) 1偶数奇数n2n-12n),() 1 , 1)(2)2(:xtgxf),()3去掉一个点的圆周有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能。Galileo在17世纪最先考虑自然数与自然数平方的多少,1870Cantor开始系统考虑.；则称若BABA,) 1( 1,1) ( 1,1)(,) 如：12),ABBABABBA若则称；相当于： 到 有一个单射，也相当于 到 有一个满射3),ABABABAB若且，则称注：不能用 与 的一个真子集对等描述.,*BABABBABAABA则，使的子集及，使的子集是两个集，若

10、有设.),BAABBA则即：若单射。又满的映射转化找两个；从而我们把找既单，只需找一个单射即可而要证射；间找一个既单又满的映与，需要在注：要证BABABA么：中的集合两两不交，那两两不交中的集合而且指标集，又是一个是两个集族，引理：设: ,:,:BABABABAABf.,*gABfBA上的一一映射到以及上的一一映射到根据题设，存在*B*A*B*A1A*1 AAA 令2A)(12BgA 3A)(23BgA 3B)(33AfB 2B)(22AfB 1B)(11AfB 令*B*A1A1B2A3A2B3B不交与，故而知由21*1*12*,)()(AAAAAABgAABg不交的象在从而2121,BBfA

11、A不交下的象在3221,AAgBB两两不交故不交与知由32131*3,AAAAAAA 123123,A A AfB B B从而在 下的象也两两不交，11321321), 2 , 1(,nnfnnnfnBAnBABBBAAA所以而且也两两不交两两不交从而1111(1, 2,),ggkkkkkkBAkBA另 外 由可 知*111,ggkkkkBABBAA又所以111111* )(kkkkkkAAAAAAA11kkkkAABBBBBBAAAAkkkkkkkk)()()()(1111此处都是关于映射g,如果不是同一映射,则不一定成立.(举例)第二章第二章 点集点集lP0为为 E的接触点：的接触点：lP

12、0为为 E的聚点：的聚点：lP0为为 E的内点：的内点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有EEEEEEEEE等价于故的孤立点全体由于说明：要证说明：要证E是开集，只要证是开集，只要证 要证要证E是闭集，只要证是闭集，只要证)(显然因为EEEE)(显然因为或EEEEEEEE 若若E = E , 则称则称E为开集（为开集（E中每个点都为内点中每个点都为内点) 若若 ,则称则称E为闭集（与为闭集（与E紧挨的点不跑到紧挨的点不跑到E外）外）说明：要证说明：要证E是开集，只要证是开集，只要证 )(显然因为EEEEabx),(),(baOx 证明：任取证明：任取x

13、(a,b),取取=min|x-a|,|x-b|, 则则 ,从而从而x是（是（a,b）的内点，）的内点，故故(a,b)是开集。是开集。说明：说明： 要证要证E是闭集，只要证是闭集，只要证()( ) ()ccccEEEEEEEEEE或或或因为显然a b xcxbaO,),( 证明：任取证明：任取xa,bc,取取=min|x-a|,|x-b|, 则则 ,从而x不是a,b的接触点，从而从而a,b的接触点都在的接触点都在a,b内，内，从而从而a,b是闭集。是闭集。l即：即：A为闭集为闭集当且仅当当且仅当A中的任意收敛点列收敛于中的任意收敛点列收敛于A中的点中的点为为E的的接触点接触点的充要条件为存在的充

14、要条件为存在E中点列中点列pn, 使得使得或或p p0 0是是E的的聚点聚点的的充要条件为充要条件为存在存在E中的中的互异互异的点所成的点列的点所成的点列pn, 使使得得0limppnn0limppnn若若 （或（或 ）,则称则称E为闭集。为闭集。 （与（与E接近的点不跑到接近的点不跑到E外）外）EE EE 为开集，即从而EEE)(EOOxy),() ,(则) ,(yOEEOx),()(ExE)(EE ),(xOEOx),(, 0使得Ex),(xOy),(yxd)(,0),(xEOx有),(xO( , )( , )( , )0,( )(min( , ), ( , )xxxOExd x xd x

15、 xOO 知有当时,有x）) , (xOE( , )( )xxOExxE取，由)(EE)(Ex E( ,)( ,)( , )0,( )(min( ,),( ,)xxxOExd x xd x xOO 知有当时,有x）为闭集可得利用EEEEEEEEEE)()()() , (xO),(xOE)(),(xEOx) (EElP0为为 E的接触点：的接触点：lP0为为 E的聚点：的聚点：lP0为为 E的内点：的内点：lP0为为 E的外点：的外点：EOp),(0, 0有EOp),(0, 0使得)(, 00),(0pEOp有cppEOEO),(),(00, 0即使得b.若E为开集，则Ec为闭集; 若E为闭集，

16、则Ec为开集。ccccEEEE)()()()(a.CECE 从而x不是Ec的接触点， 也即Ec的接触点一定在Ec内， 从而 ，即Ec为闭集。 EOExx),(, 0,使得证明：设证明：设E为开集，即为开集，即( , )cxOE 从而EE 证明：设E为闭集，即cxE 任取 ，假如x不是Ec的内点， 则x的任一邻域内至少有一个属于E的点，cxE 从而x为E的接触点，由为闭集可知x在E内， 这与 矛盾，所以Ec中的点都为Ec的内点，即Ec为开集。a. 空集，空集，Rn为开集为开集;b. 任意多个任意多个开集之开集之并并仍为开集；仍为开集；c. 有限个有限个开集之开集之交交仍为开集。仍为开集。注：无限

17、多个开集的交不一定为开集，如：注：无限多个开集的交不一定为开集，如：En=(0,1+1/n),Rn中只有空集和中只有空集和Rn既开又闭，既开又闭，存在大量既不开又不闭的集合，如：存在大量既不开又不闭的集合，如：E=0,1)A Bla.空集，空集，Rn为闭集；为闭集；lb.任意多个任意多个闭集之闭集之交交仍为闭集；仍为闭集；lc.有限个有限个闭集之闭集之并并仍仍为闭集。为闭集。注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：注：无限多个闭集的并不一定为闭集，如：En=0,1-1/nccAA )(若若E为开集，则为开集，则Ec为闭集为闭集;若若E为闭集，则为闭集，则Ec为开集为开集ccAA )(l隔离性定理

18、隔离性定理设设 是是 中两个互不相交的闭集，证明：存在两个中两个互不相交的闭集，证明：存在两个互不相交的开集互不相交的开集 ，使得，使得 2,1FFnR21G,G2211FG,FG注：隔离性定理中注：隔离性定理中“闭集闭集”的条件不能少，的条件不能少， 如如2，3）和（）和（3，5,: ),(inf),(: ),(inf),(ByAxyxdBAdByyxdBxdBA c. 若若 ,则则 d(A,B)=0; 反之反之?Bxb.d(x,B)=0当且仅当 注：注：a. 若若x B,则则d(x,B)=0;反之则不一定成反之则不一定成立，如立，如x=0,B=(0,1)l问题问题2：两个闭集：两个闭集 不

19、相交，下面的结不相交，下面的结论一定成立吗？论一定成立吗？l如如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是闭集）（都是闭集） 上面条件换成有界闭集呢？上面条件换成有界闭集呢？2, 1FF0Fq,Fp: )q, p(inf)F,F(2121dd11,( , )( ,)( , )nnnnyAd x Ad x yd x A使得limiinnnniyyyyy由于为有界点列，故的子列，使1( , )( ,)( , )iinnd x Ad x yd x A又为闭集，故yA,对两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A)( , )inf ( , ):d x Ad x yyA证明：由 可得nnnnnnBAdy

20、xdBAdByAx11),(),(),(,使得可知xxxxiininnlim，使的子列由于A有界，故,: ),(inf),(ByAxyxdBAd证明：由AByyyyjijiinjnnlim，使的子列从而jijijinnnBAdyxdBAd1),(),(),(又又B为闭集，故为闭集，故yB,另外对另外对两边关于两边关于j取极限得取极限得d(x,y)=d(A,B)又又A为闭集，从而为闭集，从而xA ，并可得，并可得yni有界有界因为当因为当ni充分大时，充分大时， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）证明：利用d(x,E)

21、 d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E定理定理 设设E为为中非空点集中非空点集 ，则，则d(x,E)是是的的一致连续函数一致连续函数所以d(x,E)是的一致连续函数。可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)定理：设定理：设F1， F2为为Rn中两个互不相交的非空闭集，则中两个互不相交的非空闭集，则存在存在Rn 上的连续函数上的连续函数f(x) ，使得，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2注：可推广到一般的拓扑空

22、间（参见：拓扑学 教材）， 即Urysohn引理.是连续函数可得关于及证明：由xFxdFxdFxdFxdFxdxf),(),(),(),(),()(21211Bolzano-Weierstrass定理：定理： 若若E是是Rn中的一个中的一个有界的无限集有界的无限集，则，则E至少有一至少有一个个聚点聚点.注：此定理对无限维度量空间不一定成立。注：此定理对无限维度量空间不一定成立。(参见参见P306 例例2) 设设F为为Rn 中的有界闭集，若开集簇中的有界闭集，若开集簇 覆覆盖盖F， 即即 ， 则则 中存在中存在有限个有限个开集开集U1 ，U2， ,Un，它同样覆盖，它同样覆盖F:IiUiiIiU

23、F:IiUi注：比较下面几种不同的证法注：比较下面几种不同的证法周民强，实变函数周民强，实变函数 p-36尤承业，基础拓扑学尤承业，基础拓扑学 p-52熊金城，点集拓扑讲义熊金城，点集拓扑讲义 p-2021.教材教材 p-42注：注： 逆命题也成立逆命题也成立l定义定义 （紧集）：（紧集）：设设M是度量空间是度量空间X中的一集合，中的一集合， 是是X中任一族覆盖了中任一族覆盖了M的开集，的开集， 如果可从中如果可从中选出有限个开集选出有限个开集U1 ，U2， ,Un仍然覆盖仍然覆盖M，则称，则称M是是X中的紧集中的紧集l定理（紧集的充要条件）（定理（紧集的充要条件）（P303）：设）：设X是度

24、量空间，是度量空间，M是是X中一子集，则中一子集，则M是是X中的紧集的充要条件为对中的紧集的充要条件为对M中任何点列，都存在子列收敛于中任何点列，都存在子列收敛于M中一元素中一元素.:IiUi 紧紧 集集l定理：定理： 设设M是度量空间是度量空间 中的紧集，则中的紧集，则M是是X中的有界闭集中的有界闭集l举例说明有界闭集未必是紧集（教材举例说明有界闭集未必是紧集（教材P306例例2）结论：结论： 中紧集与有界中紧集与有界闭集等价等价nR设设F为为Rn中一中一 集合，若开集簇集合，若开集簇 覆盖覆盖F（ 即即 ），）， 则则 中存在中存在可数个可数个开集开集U1 ，U2， ,Un ， ，它同样覆

25、盖，它同样覆盖F:IiUiiIiUF:IiUi提示：利用空间中以提示：利用空间中以有理点有理点为为中心中心，正有理数正有理数为为半径半径的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理的圆全体为可数集，开集中的点都为内点，以及有理点全体在点全体在Rn中中稠密稠密l自密集自密集：设：设 ，如果，如果 ，则称，则称E 为自密集，也即集合中每点都是这个集为自密集，也即集合中每点都是这个集 合的聚点，或没有孤立点的集合为自密合的聚点，或没有孤立点的集合为自密 集。集。 例：有理数集例：有理数集Q为自密集为自密集l完备集完备集：设：设 ，如果，如果 ，则称，则称 E为完备集。为完备集。 例：任何闭区间及全

26、直线都为完备集例：任何闭区间及全直线都为完备集nRE EE nRE EE l定义（构成区间）定义（构成区间） 设设G为直线上的开集，如果开区间为直线上的开集，如果开区间而且端点而且端点 不属于不属于G，则称，则称 为为G的的构成区间。构成区间。例如： G),(,),()d, c ()b, a (A( ) ( ( ) ) a b c c d d (a,b),(c,d)为构成区间（c,d）不是l定理：直线上的任一非空定理：直线上的任一非空开集开集都可唯一地表示成都可唯一地表示成有限个或可数个有限个或可数个互不相交互不相交的的构成区间构成区间的并，又当的并，又当非空开集表示成互不相交的开区间的和集时

27、，这非空开集表示成互不相交的开区间的和集时，这些区间必是构成区间些区间必是构成区间( ) ( )( ) ( ) (直线上的直线上的闭集闭集或是全直线，或是从直线上或是全直线，或是从直线上挖去挖去有限个或有限个或可数个互不相交的可数个互不相交的开区间开区间所得之集所得之集.开开 集集 构构 造造 性性 定定 理理直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区直线上的闭集的孤立点必是其余区间的某两个相邻开区间的公共端点间的公共端点;（4）Rn中的中的开集开集一般不能表示成至一般不能表示成至多可数个互不相交的开区间之并，多可数个互不相交的开区间之并，但总可表示成至多可数个互不相但总可表示成至多可数

28、个互不相交的交的半开半闭区间半开半闭区间之并，且不唯一之并，且不唯一.( ) ( )( ) ( ) (l（3）（完备集的构造定理）直线上的完备集）（完备集的构造定理）直线上的完备集F或是全或是全直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没直线，或是从直线上去掉有限或可数个互不相交的没有公共端点的开区间而得到的集合有公共端点的开区间而得到的集合1)1(iIi2 , 1)1(iIi2)2(2, 2 , 1iIi2 , 1)2(iIi1( )1,2,2innIinniiI2, 2 , 1)(ininIG)(,定义：令称P=0,1- G=0,1Gc 为Cantor集ininIG)(,a .分割点一定

29、在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc为闭集注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间11231323111nnnb. P的“长度”为0，去掉的区间长度和( )x- x x+第 n+1次等分去掉的区间第n次等分留下的区间()130,nniIO（ x, ）当时 ， 有但由Cantor集的作法知，我们要对继续三等分去掉中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P，所以x不可能是P的内点。O（x, ）( )niI证明：对任意x P, x必含在“去掉手续进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互不相交的某个闭区间中)(),(xPOx从而从而x为P的聚点，当然不为孤立点。)(

30、, 0),(xPOx有 证明：对任意x P ， 只要证：( )1( , )3,nnxiniOI及某个，使)(niI 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中，第n次等分留下的区间( )x- x x+nniI31|)(l十进制小数 相应于 对0,1十等分l二进制小数 相应于 对0,1二等分l三进制小数 相应于 对0,1三等分说明：对应0,1十等分的端点有两种表示，如0.20000000.1999999 （十进制小数）第一次十等分确定第一位小数第二次十等分确定第二位小数证明思路：把0,1区间中的点都写成三进制小数，则Cantor集的作法中去掉的点为小数位出现1的点的全体，从而Cantor集

31、为小数位只是0,2的点的全体，作对应)(. 0. 0)(222321321二进制数三进制数aaaaaa注:Cantor集中除了分割点外,还有大量其他点.说明：三等分的端点有必要特殊考虑，因为它有两种表示，如0.1000000 = 0.0222222 （三进制小数）0.2000000 = 0.1222222第三章 测度理论iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1 xi(1) Riemann积分回顾（分割定义域）iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:

32、1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?)(22sin22cos22sin22122nRRnnnRnRn内接正n边形的面积（内填）内接)(cos1sin2222122nRRnnnRnRtgn外切外切正n边形的面积（外包） Riemann积分iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xiiniiTbaxmdxxf10|lim)(达布下和的极限下积分（内填）xi-1 xiiniiTbaxMdxxf10|lim)(达布上和的极限上积分（外包）: |inf)(11为开区间且iininiiJIIEIEmJordan外测度

33、（外包）JJEmEm)()(Jordan可测: |sup)(11为两两不交的开区间且iininiiJIEIIEmJordan内测度（内填）1)(JEm由于任一覆盖0,1中0)(JEm由于无理数在0,1中稠密，故任一开区间都不可能含在E内，从而JJEmEm)()( ( ) )( )( ( ) ) ( )- 1+为E的Lebesgue外测度。定义： ，称非负广义实数nRE 设)(*RR: |inf11为开区间且iiiiiIIEIEm与Jordan外测度比较： : |inf)(11为开区间且iininiiJIIEIEmSinfxSxS,) 1 (的下界，即是数集xSxS使得即的最大下界，是数集, 0

34、)2(: |inf11为开区间且iiiiiIIEIEmEmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得开区间列即：用一开区间列 “近似”替换集合EiI证明：由于E为可数集，2111|iiiiiiEII 则且0*Em再由的任意性知, 1 , 0321rrrQE故不妨令, 3 , 2 , 1),(, 01122irrIiiiii作开区间Em*从而( )1122iiiiirrr22221122122222(,) (,),( , ),1,2,3,iiiiiiiiiiiIrrrrr rQ Qi 2222(1,1) (,),1,2,3,iiiiiiIrrrZi，),(|, 1 , 0, 0, 1 , 01

35、11222iiiiiiiirrIxrxQrQx，则有从而取使得12i, 3 , 2 , 1),(1122irrIiiiii, 1 , 0321rrrQEiiiiI211|( ) 1122iiiiirrr注：对可数个开区间不一定有从左到右的一个排列（如antor集的余集的构成区间）( ( ) )( )( ( ) )注：对有限个开区间一定有从左到右的一个排列(b)的证明:能覆盖B的开区间列也一定能覆盖A，从而能覆盖B的开区间列比能覆盖A的开区间列要少，相应的下确界反而大。BmAmBA，则若（b）单调性：: |inf11为开区间且iiiiiIIEIEm0Em0Em（a）非负性： ， 当E为空集时，证

36、明：对任意的0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间I nm列近似替换An）nnmnmnnmmnnmnnAmIAmIAIII2|,*1*121且使得*,11111|()2nmnmnnnn mnmnnIIm Am A且111nnmnnmAI 从 而*1111()|nnmnnnmnmAIm A可见注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界nnnnAmAm*11*)(nnnnAmAm*11*)(由的任意性，即得)(|)(, 0*1*BAmIBAmIiii使得开区间列: |inf)(11为开区间且iiiiiIIBAIBAm当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同

37、时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。)()()(*BmAmBAm若d(A,B) 0,则证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广| IEmI注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集0)(|)()(32213121)()(21*niininiinnnnIImPm从而0Pm故nniiI2, 2 , 1)(证明：令第n次等分后留下的闭区间为第三章 测度理论nnnnAmAm*11*)(: |inf11为开区间且iiiiiIIEIEm即：用一开区间列

38、“近似”替换集合EEmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得开区间列注：Lebesgue开始也是利用外测度与内测度相等定义可测集，但此方法对处理问题很不方便，故我们采用上述方法。EEcTETEc,nRT 若)()(*cETmETmTm有mE（Caratheodory条件） ，则称E为Lebesgue可测集，此时E的外测度称为E的测度，记作 *()()( )( )( )cm Tm TEm TEm Em Tm T有nRT 证明：*()()cm Tm TEm TE从而即E为可测集。)()(,*cnETmETmTmRT有证明：(充分性）nRT 即可令cETBETA,(必要性)令BAT有,cEBE

39、A)()()(*BmAmBAm)()(,*cnETmETmTmRT有（a）集合E可测（即 ）11,ciiiiAABABABAAnABTR 若，则*()()()m TABm TAm TB有注:上式由前面可测集的等价刻画立刻可得若 两两不交，则（测度的可数可加性）11)(iiiimAAm,mABAmAmBABm)(也可测。若 可测已证明，则易知BA cccBABA)(cBABAnRT )()(*cETmETmTm有易知Ac可测可测余即可证明通过取两不交情形把一般情形转化为两可过令则通可测已证明为两两不交时若当iniininniiiAAABAA1111;,*()() )(1)(2)(3)(4)(1)

40、(2)(3)(4)()(1)(2)(3)(4)()( )cm Tm TABm TABmmmmmmBmAm T有可测可测*()() )cm Tm TABm TAB从而nRT 证明：(1)(2)(3)(4)AB)()()()()()(1*11*11*1ciiniiciiiniciniiniATmATmATmATmATmATmTm)()(*)()(1*11*1ciiiiciiiiATmATmATmATmTm从而)()(1*1ciiiiATmATmTm另外显然有，有证明：nRT )()(1*1ciiiiATmATmTm从而即得结论）式，入（代并用可测从而*,11iiiiATA11)(iiiimAAm下

41、面证明若A i 两两不交，则11niimAniniA111(0,1)niimA )(1 ,0()()(111cinicciniiniAmAmAm证明：0)1()1 (111nmAmAiniini)()1 ,0()1 ,0(11ciniciniAmmAm注：左边的极限是集列极限， 而右边的极限是数列极限， (b)中的条件 不可少1mAnnnnmAAm lim)lim(nnnnmAAm lim)lim(则1mA若An如An = ( n, +)（ n第三章 测度理论注：开集、闭集既是 型集也是 型集； 有理数集是 型集，但不是 型集； 无理数集是 型集，但不是 型集。GGGFFF有理数集可看成可数个

42、单点集的并，而单点集是闭集；通过取余 型集与 型集相互转化（并与交，开集与闭集互换）GFIFG注：零集、区间、开集、闭集、 型集（可数个开集的交）、 型集（可数个闭集的并）、Borel型集（粗略说：从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。证明见书本p66| ImI 即：可测集与开集、闭集只相差一小测度集（可测集“差不多”就是开集或闭集），从而可测集基本上是至多可数个开区间的并。)(,0)1(EGmGEGE且使得，开集可测，则若)(,0)2(FEmEFFE且使得，闭集可测，则若证明：若(1)已证明，由Ec可测可知)(, 0ccEGmGEG且，使得开集)()()()()

43、(cccccccEGmEFmFEmFEmFEm且EF 取F=G c，则F为闭集)(,0)1 (EGmGEGE且使得，开集可测，则若)(, 0)2(FEmEFFE且使得，闭集可测，则若 证明:(1)当mE+时，由外测度定义知)(, 0EGmGEG且，使得开集111,|iiiiiiGIGEGmEmGmIImE 令则 为开集，且mEmGEGm)(从而（这里用到mE+ ）EmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得开区间列，且为开集，则令GEGGGii,112111111)()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiEGmEGmEGmEGmEGmiiiiiiEGmGEG2)(且，使得开集对每

44、个Ei应用上述结果)(1iiimEEE(2)当mE=+时，这时将E分解成可数个互不相交的可测集的并：, 3 , 2 , 1,)()(1nEGmEOmnn1nnOGOG 令， 则为型 集 ， EO且是可测集。，则且，使得开集，若设EEGmGEGREn)(, 0()0m OE故()EOOE从而为可测集nnnnEGmGEG1)(且，使得开集证明：对任意的1/n，,321rrrE 开集: (0,1) 闭集：),( 1 , 011221iiiiirrF),(11221iiiiirrG开集：闭集：空集GFGF 可测集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。0)(HEmEH且F(2).若E可测，则存在

45、 型集H, 使0)(EOmOE且G(1).若E可测，则存在 型集 O, 使0)(ccEOmOEOG且，使得型0)()()()()(cccccccEOmEHmHEmHEmHEm0)(EOmOE且0)(HEmEH且FG(1).若E可测，则存在 型集 O, 使 (2).若E可测，则存在 型集H, 使证明：若(1)已证明，由Ec可测可知EH F取H=O c，则H为 型集 ， 且证明：对任意的1/n， 0)(EOmOE且G1()(),1,2,3,nnm OEm GEnnnnnEGmGEG1)(且，使得开集()0m OE故OEGO型集，且为则,1nnOG 令GFGF注：上面的交与并不可交换次序),( 1

46、, 011112211ininiiinrrH型集：F) 1 , 0(型集：G),(11112211ininiiinrrO型集：G空集型集：F证明:由外测度定义知nininiininEmIEmIEI1*1*11|,且使得开区间列1*111,|nninninnininiiGIGEGm EmGmIIm E 令则为 开 集 ， 且1nnOGOGE 令，则为型集，且OE,mO=m，型集，则存在若OGREn的等测包）为（称且使得EOEmmOOEl存在不可测集（利用选择公理构造，教材p73 ; 1970，R.Solovay证明不可测集存在蕴涵选择公理）l存在不是Borel集的可测集（利用Cantor函数和不

47、可测集构造） 参见：实变函数周民强 , p87第三章 测度理论0EmEmcEm1 , Ea b证明：由于E有界，故不妨令令f(x)=m*(Ea,x)，则f(a)=0,f(b)=m*E,下证f(x)在a,b上连续 a x1 x2 b 12212112111212),(),(),(),(),(),(),()()(xxxxmxxEmxaEmxxEmxaEmxaEmxaEmxfxf从而f(x)在a,b上（一致）连续；由界值定理知，存在 a,b ,使f()=c,令E1=E a, ，则E1满足要求.任取x1,x2 a,b, x1a, 则f(x)a,由连续性假设知，( ) xf(x0)+f(x0)f(x0)

48、-a( ,)xfaxx EGO令( ,)( ,)()()xxfafaxxfax Ex EGEOEOEE另外则G为开集，当然为可测集，且( ,)()xfafaxx EEOEGE所以反之aI a x1 x2 )(|),)(|),(axfxIIEaxfxIIEafaaaaE当当由f单调增知下面的集合为可测集)(|infaxfxIa令证明：不妨设f单调增，对任意aR可测,)2(afERa可测,)3(afERa可测,)4(afERa(5),(|( )|)a f ba bR ab Ef x 可测充分性要求证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及11111()fafaafanfnnfanfaa

49、fbfafbnfanEEEEEEEEEE ),) 1 (可测即afERa定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测)(1111nnafnafnafEEE),(),(),1111nnnnaaa ( a-1/n a)(1111nnafnafnafEEE),(),),(1111nnnnaaa( a a+1/n11 1afnnafafafEEEEE可测函数关于子集、并集的性质nnEE1l反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。11,EEE l即:若f(x)是E上的可测函数, 可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；若m (Efg)=0,则称f(x

50、)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）证明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则m E1=0从而 g(x)在E1上可测 ，即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测 注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ，进一步g(x)在E=E1 E2上也可测 。即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。可测，：只要证证明,

51、gafagfEERa,( )( ),( )( )()fa gfrg a rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取则从而使即a-g(x) r f(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。gfE()frg a rfa gr QEEE 反之也成立()fa gfrg a rr QEEE 从而()fa gfrg a rr QEEE 从而可测证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质,( )( ),( )( )()fagfrga rr QxEf xag xrQf xrag xxEE 任取则从而使即a-g(x) r f(x)作业：若f(x),g(x)是E上的可测函

52、数,则f(x) -g(x) ,f(x)/g(x)为E上的可测函数再利用f(x)g(x) =(f(x)+g(x)2 - (f(x) -g(x)2/4即可200fafaEaEEafaE证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意aR11afnaafnannEEEE)(infsup)(inflim)(supinf)(suplim)(inf)()(sup)(xfxfxfxfxfxxfxmnmnnnmnmnnnnn若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。1afnanEE)(inf)(xfxnxSxS,) 1 (的下界，即是数集xSxS使得即的最大下界，是数集, 0)2(Sinf下确界：

53、1111fannfafannEEE比 较 ： ( a-1/n a从而f (x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f (x)是可测函数.nnnoxxfxfxxfxxfxf11)()(lim)()(lim)( 证明：由于gn(x)注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.limlimnnnnEfflimlimnnnnEff证明：发散点全体为 收敛点全体为limlimnnnnff在利用和是可测函数即可再可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限12| )()(|nnmMxfxMmMmMmn0次等分nn 21220,1,2,212( )nnkknnkfknnfnxExnxE)(lim)(x

54、xfnn| )(| )(|21xx)(xnl若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限 ，而且还可办到证明：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意a，Ef ga=x| f( g(x)a可测即可,g 可测f 连续x| f( g(x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+)f-1(a,+) =),(iiiba),(),(11iiiiiibagbag（利用Cantor函数构造，参见：实变函数，周民强，p114)证明：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意a，m (Ef ga)=x| f( g(x)a可测即可,由于f在F=R上连续，故Ffa为R中的开

55、集，),(iiiafbaF又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令iifg aag biEE 为可测集再由g可测，可知11( )( )( ( )()( )iiniEiniEixcxfxf cxE若为简单函数，则仍为上简单函数。注：)(lim)(xxgnn)(xn另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数 的极限)(lim)(lim()(xfxfxgfnnnn因为f(x)连续，故所以f( g(x)是简单函数列的极限，故为可测函数第四章 可测函数| )()(|, 0, 0,xfxfNnNExnxx有一致收敛:| )()(|, 0, 0 xfxfExNn

56、Nn有注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xnEffn于点点收敛: 记作1-0.20.40.60.810.20.40.60.81例：函数列fn(x)=xn , n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xnEeaffn于.feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处

57、收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于.0 ffnE注：从定义可看出，l几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）l依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何Effn于0lim, 0|ffnnmE有|0,0,0,nffNn NE 有m|0,0,0,nffNnNE 有m0lim,0|ffnnmE有0, 0|不收敛于使得ffnmE|0,0,0,nffNnNE使得m说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1)(limlim, 10|，有对nmmEn

58、ffnnn, 2 , 1)(, 0 (1),(0nxfnxnxn 在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外feEEfmeEen上一致收敛于在使得可测子集, 0| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen有可测子集Euaffn于.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意 （ ）适当小小| )()(|, 0, 0, 0 xfxfeExNnNmeEen使可测子集即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上

59、仍不一致收敛| )()(|),1,()(, 0, 0, 02121xfxfnneExNNnNmeEen使可测子集, 0(1),(0)(nxnxnxfn0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f80lim,(limlim, 1021212|kkknkiikffnmmE有,0)(),()()(21,2(2xfxxfxfkkkiiin令 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,Effn于则说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所

60、以fn(x)在(0,1上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛1-0.20.40.60.810.20.40.60.81fn(x)=xn即：于Euaffn.即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛Euaffn于，则.Eeaffn于若.几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）即：于Eeaffn. .0 ffnmE即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛knknnxfxfNnNxfxf