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文档简介
1、For pers onal use only in study and research;not for commercial use课题:两条相交直线的夹角(教案)【教学目标】:1、 理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系;掌握根据已知条件求出两条相 交直线的夹角;2、理解两条直线垂直的充要条件 .3、 体会数形结合的数学思想,培养思维能力.【教学重点】:两条相交直线的夹角【教学难点】:夹角公式的应用【教学过程】:一、课题引入:平面上两条直线有几种位置关系?相交、平行、重合.(垂直是相交的一种特殊情形)下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究.(引出课题:两条直线的夹角)二、新
2、课讲授:1. 两条直线的夹角:平面上两条相交直线,它们构成四个角,是两对对顶角.如果一对是锐角,另一对是钝角,那么我们规定锐角作为它们的夹角.如果四个角都是直角, 那么规定两直线夹角是直角,此时也称两条直线相互垂直.平面上两条直线相交时构成两组对顶角.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.规定:如果两条直线平行或重合,它们的夹角为0.所以,两条相交直线的夹角 0乞“:一22. 夹角公式:h : dx+Qy =0如果已知两条直线的方程分别为:11(其中a1,b1不同时为零,a2,b2l2: a2x b2y c2 = 0不同时为零).系数确定,方程确定,直线确定,它们的夹角也就
3、确定,那么如何根据方程来求h与l2的夹角?T T T T设hl的方向向量分别为d1,d2,向量d1,d2的夹角为 厂直线hh的夹角为.将直T T线hi的方向向量4,4平移至同一起点,构成四种情形,如图.JI当o时,- v ;当时,-二-v .于2 2曰COS:二疋,根据直线方程,可设它们的方向向量分别为:4Ha - -d® ,d2 - -b2,a2 由夹角的d1d计算公式得:COST =単兔=d1 d2aia2 bib2b2 . a; b;于是,两条直线的夹角公式为:cos:a1a2 bb2a: b2 af bfaab, b2分别是直线一般式方程中x, y前面的系数,已知这四个数就可
4、以应用夹角公式求两直线夹角的余弦.因为余弦函数在0,丄 上单调递减,所以此时角:是唯一确定1 2的.例1、已知两条直线的方程分别是:l1 :x 2y 0, l2:x-3y,2=0,求两条直线的夹角:.解:由题意:cos11 2 一3一 2,23TJ:=4,即两直线的夹角为;练习:求下列各组直线的夹角.71(1) h : y = 3x1,12 :3 y x4 = 0(2) h : x 2 = 0,12 : -3x y 3 = 0 1 2 6(3) h : y -x 1 =0,12: y =44例2、已知直线h : 3x y =0与直线kx - y 7=0,若直线l1和直线l2的夹角为60,求k的
5、值.解:由 J 3k 11 =!得 k *3或0.2 弔 2cos= 0得两直线的夹角为,称两条直线相互垂直,是两直线相交的一种特殊情形,2回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直(板书)的命题?当aia2 b|b2 =0时,cos=0 : =,此时,两直线相互垂直;反之,当两直线2垂直时,它们的方向向量a =:-,d2 m.b2,a2也相互垂直,所以ttd1 d2 = bb2 qa2 = 0 .两条直线垂直的 充要条件 是:ap? b|b = 0 ;当k|, k2都存在时,两条直线垂直的充要条件是:ki= -1 ;所以两条直线垂直的充要条件也可为:k k2 =-1或一条斜率不存在另
6、一条的斜率为零.例3、已知直线丨经过点P _2. 3 ,且与直线I。: x - ,3y 2=0的夹角为一,求直线丨的3方程.4解1:设直线I的一个法向量为n二a,b,则直线I的点法向式方程为:a x 2 b y- 一3 = 0整理得:ax by da-、. 3b =0 ,由公式得:a_妙,r3,ab2r 一岳=代丄辰b当b =0时,直线方程为:x 2 = 0 ;当b=0时,b = . 3a,直线方程为:x. 3y-1=0 ;所以,直线I的方程为:x .3y -1 =0或x 2 = 0 .注意:此处设直线的点法向式方程,而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向式 方程可以表示所有直线.解2
7、:若直线I的斜率存在,设直线I的方程为:y -3二k(x 2).则由题意:3,解得k'3.k2 1 ,1 323直线方程为:x . 3y T = 0 n若直线I的斜率不存在,即方程为 x = -2 ;则直线I与直线I0的夹角为一,满足题意.3所以,直线I的方程为:x 、3y -1 =0或x 2 = 0 .解3:设直线I的一般式方程为:ax by c =0 ( a,b不同时为零)a ( -2 )+ b 唐 + c = 0则由题意:IaJ3b1,后解同解1.+3ja' +b"2三、小结:1.两条直线的夹角定义,0,IL 2'缶缶八十aa+b2.设直线方程时要依题而
8、设,好中选优;利用画图、数形结合的方法.课题:两条相交直线的夹角(学案)【教学目标】:1、 理解两条直线相交时,直线夹角与直线方向向量夹角的关系;掌握根据已知条件求出两条相 交直线的夹角;2、理解两条直线垂直的充要条件 .3、 体会数形结合的数学思想,培养思维能力.【教学重点】:两条相交直线的夹角【教学难点】:夹角公式的应用【教学过程】:1. 两条直线的夹角:平面上两条直线相交时构成两组对顶角我们规定 为两条相交直线的夹角规定:如果两条直线平行或重合,它们的夹角为 两条相交直线的夹角 口己.2. 夹角公式:h : ax fy= °,如果已知两条直线的方程分别为:(其中a1,b1不同时
9、为零,a2, b212: a2x +b2y + c2 = °不同时为零).如何根据方程来求l1与l2的夹角?两条相交直线的夹角公式为 :.例1、已知两条直线的方程分别是:l1 :x 2y 0, l2 :x-3y 2 = 0,求两条直线的练习:求下列各组直线的夹角(1) h : y = 3x-1,12 :3 y x-4 = 0(2) l1 : x 2 = 0,l2 :、,3x y 3 = 0(3) h : y -x 1 =0,12: y = 4例2、已知直线h :、3x y二0与直线kx - y 1 = 0 ,若直线l1和直线l2的夹角为60,求k的值.两条直线垂直的充要条件是: ;两
10、条直线垂直的充要条件也可为: 例3、已知直线I经过点P -2厂.3,且与直线I。: x - ,3y 2=0的夹角为,求直线l的3方程.【课堂小结】 两条直线的夹角: 【课后作业】两条相交直线的夹角课后作业1求下列两组直线的夹角:(1) h : 3x-y =0, l2 :x-:3y 2 = 0;it6(2) h : x -1 =0, I2 : x y -5 = 0 ;it4(3) h:3x-4y-12二 0 与 l2:x=3.3arccos52. 已知直线h : ax y -1二02 : x - ay 2 = 0,其中a R且a = 0,求直线l1与l2的夹角.Q=-23. (1)已知直线 J3
11、x y =0与直线kx - y 1 =0的夹角为60,求实数k的值.k - 0 或 k =3(2)经过点(3, 5),且与直线3x2y+7 = 0之间成45 °角的直线方程 5x y -20 =0或 x -5y 22 = 0的值.0或15 已知等腰三角形ABC的斜边 AB所在直线的方程为3x- y - 5 = 0,直角顶点为C 4,-1,求两条直角边所在直线的方程.2x y -7 = 0,x -2y -6 = 06.已知 ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C(5,5)(1) 求. ABC中.A的大小;(2)求.A的平分线所在直线的方程(1) A =arccos5(
12、2) x -2y =0.两条相交直线的夹角课后作业 1求下列两组直线的夹角:(1) h : 3x-y =0, l2 :x-:3y 2 = 0;(2) li: x -1 =0, I2 : x y -5 = 0 ;(3) |_!:3x-4y-12二 0 与 l2:x=3.2.已知直线l1 : ax y -1 = 0,12 : x - ay 2 = 0,其中a R且a = 0,求直线l1与l2的夹角.3. (1)已知直线 J3x y =0与直线kx - y 1 = 0的夹角为60,求实数k的值.(2)经过点(3, 5),且与直线3x -2y 7=0之间成45角的直线方程的值.5 已知等腰三角形ABC
13、的斜边 AB所在直线的方程为3x- y - 5 = 0,直角顶点为C 4,-1,求两条直角边所在直线的方程.6.已知=ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C(5,5)(1)求 ABC中.A的大小;(2)求.A的平分线所在直线的方程仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerzielieiwecken verwendet we
14、rden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.仅供个人用于学习、研究;不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwec
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