两条相交直线的夹角

1、For pers onal use only in study and research;not for commercial use课题：两条相交直线的夹角（教案）【教学目标】：1、 理解两条直线相交时，直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相 交直线的夹角；2、理解两条直线垂直的充要条件 .3、 体会数形结合的数学思想，培养思维能力.【教学重点】：两条相交直线的夹角【教学难点】：夹角公式的应用【教学过程】：一、课题引入：平面上两条直线有几种位置关系？相交、平行、重合.（垂直是相交的一种特殊情形）下面我们对两条直线的位置关系作进一步研究.（引出课题：两条直线的夹角）二、新

2、课讲授：1. 两条直线的夹角：平面上两条相交直线，它们构成四个角，是两对对顶角.如果一对是锐角，另一对是钝角，那么我们规定锐角作为它们的夹角.如果四个角都是直角， 那么规定两直线夹角是直角，此时也称两条直线相互垂直.平面上两条直线相交时构成两组对顶角.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角.规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为0.所以，两条相交直线的夹角 0乞“：一22. 夹角公式：h : dx+Qy =0如果已知两条直线的方程分别为：11（其中a1,b1不同时为零，a2,b2l2: a2x b2y c2 = 0不同时为零）.系数确定，方程确定，直线确定，它们的夹角也就

3、确定，那么如何根据方程来求h与l2的夹角？T T T T设hl的方向向量分别为d1,d2，向量d1,d2的夹角为 厂直线hh的夹角为.将直T T线hi的方向向量4,4平移至同一起点，构成四种情形，如图.JI当o时，- v ；当时，-二-v .于2 2曰COS：二疋，根据直线方程，可设它们的方向向量分别为:4Ha - -d® ,d2 - -b2，a2 由夹角的d1d计算公式得：COST =単兔=d1 d2aia2 bib2b2 . a； b；于是，两条直线的夹角公式为：cos:a1a2 bb2a： b2 af bfaab, b2分别是直线一般式方程中x, y前面的系数，已知这四个数就可

4、以应用夹角公式求两直线夹角的余弦.因为余弦函数在0,丄 上单调递减，所以此时角:是唯一确定1 2的.例1、已知两条直线的方程分别是：l1 :x 2y 0, l2：x-3y，2=0，求两条直线的夹角：.解：由题意：cos11 2 一3一 2,23TJ：=4，即两直线的夹角为；练习：求下列各组直线的夹角.71(1) h : y = 3x1,12 ：3 y x4 = 0(2) h : x 2 = 0,12 ： -3x y 3 = 0 1 2 6(3) h : y -x 1 =0,12: y =44例2、已知直线h : 3x y =0与直线kx - y 7=0,若直线l1和直线l2的夹角为60，求k的

5、值.解：由 J 3k 11 =!得 k *3或0.2 弔 2cos= 0得两直线的夹角为，称两条直线相互垂直，是两直线相交的一种特殊情形,2回顾夹角公式的推导过程你能否找到一个关于两直线垂直（板书）的命题？当aia2 b|b2 =0时，cos=0 ： =，此时，两直线相互垂直；反之，当两直线2垂直时，它们的方向向量a =：-,d2 m.b2,a2也相互垂直，所以ttd1 d2 = bb2 qa2 = 0 .两条直线垂直的 充要条件 是：ap? b|b = 0 ；当k|, k2都存在时，两条直线垂直的充要条件是：ki= -1 ；所以两条直线垂直的充要条件也可为：k k2 =-1或一条斜率不存在另

6、一条的斜率为零.例3、已知直线丨经过点P _2. 3 ,且与直线I。： x - ,3y 2=0的夹角为一，求直线丨的3方程.4解1：设直线I的一个法向量为n二a,b，则直线I的点法向式方程为：a x 2 b y- 一3 = 0整理得：ax by da-、. 3b =0 ,由公式得:a_妙,r3,ab2r 一岳=代丄辰b当b =0时，直线方程为：x 2 = 0 ；当b=0时，b = . 3a，直线方程为：x. 3y-1=0 ；所以，直线I的方程为：x .3y -1 =0或x 2 = 0 .注意：此处设直线的点法向式方程，而不是点方向式方程或点斜式方程是因为只有点法向式 方程可以表示所有直线.解2

7、：若直线I的斜率存在，设直线I的方程为：y -3二k(x 2).则由题意：3，解得k'3.k2 1 ,1 323直线方程为：x . 3y T = 0 n若直线I的斜率不存在，即方程为 x = -2 ;则直线I与直线I0的夹角为一，满足题意.3所以，直线I的方程为：x 、3y -1 =0或x 2 = 0 .解3：设直线I的一般式方程为：ax by c =0 ( a,b不同时为零)a ( -2 )+ b 唐 + c = 0则由题意：IaJ3b1，后解同解1.+3ja' +b"2三、小结:1.两条直线的夹角定义，0,IL 2'缶缶八十aa+b2.设直线方程时要依题而

8、设，好中选优；利用画图、数形结合的方法.课题：两条相交直线的夹角（学案）【教学目标】：1、 理解两条直线相交时，直线夹角与直线方向向量夹角的关系；掌握根据已知条件求出两条相 交直线的夹角；2、理解两条直线垂直的充要条件 .3、 体会数形结合的数学思想，培养思维能力.【教学重点】：两条相交直线的夹角【教学难点】：夹角公式的应用【教学过程】：1. 两条直线的夹角：平面上两条直线相交时构成两组对顶角我们规定 为两条相交直线的夹角规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为 两条相交直线的夹角 口己.2. 夹角公式：h : ax fy= °,如果已知两条直线的方程分别为：（其中a1,b1不同时

9、为零，a2, b212: a2x +b2y + c2 = °不同时为零）.如何根据方程来求l1与l2的夹角？两条相交直线的夹角公式为 :.例1、已知两条直线的方程分别是：l1 :x 2y 0, l2 ：x-3y 2 = 0，求两条直线的练习：求下列各组直线的夹角(1) h : y = 3x-1,12 ：3 y x-4 = 0(2) l1 ： x 2 = 0,l2 :、,3x y 3 = 0(3) h : y -x 1 =0,12: y = 4例2、已知直线h ：、3x y二0与直线kx - y 1 = 0 ,若直线l1和直线l2的夹角为60，求k的值.两条直线垂直的充要条件是： ；两

10、条直线垂直的充要条件也可为： 例3、已知直线I经过点P -2厂.3，且与直线I。： x - ,3y 2=0的夹角为，求直线l的3方程.【课堂小结】 两条直线的夹角: 【课后作业】两条相交直线的夹角课后作业1求下列两组直线的夹角：(1) h : 3x-y =0, l2 :x-：3y 2 = 0；it6(2) h : x -1 =0, I2 : x y -5 = 0 ；it4(3) h：3x-4y-12二 0 与 l2:x=3.3arccos52. 已知直线h : ax y -1二02 : x - ay 2 = 0，其中a R且a = 0，求直线l1与l2的夹角.Q=-23. (1)已知直线 J3

11、x y =0与直线kx - y 1 =0的夹角为60，求实数k的值.k - 0 或 k =3(2)经过点(3, 5),且与直线3x2y+7 = 0之间成45 °角的直线方程 5x y -20 =0或 x -5y 22 = 0的值.0或15 已知等腰三角形ABC的斜边 AB所在直线的方程为3x- y - 5 = 0，直角顶点为C 4,-1，求两条直角边所在直线的方程.2x y -7 = 0,x -2y -6 = 06.已知 ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C(5,5)(1) 求. ABC中.A的大小;(2)求.A的平分线所在直线的方程(1) A =arccos5(

12、2) x -2y =0.两条相交直线的夹角课后作业 1求下列两组直线的夹角：(1) h : 3x-y =0, l2 :x-：3y 2 = 0；(2) li: x -1 =0, I2 : x y -5 = 0 ；(3) |_!：3x-4y-12二 0 与 l2:x=3.2.已知直线l1 : ax y -1 = 0,12 ： x - ay 2 = 0，其中a R且a = 0，求直线l1与l2的夹角.3. (1)已知直线 J3x y =0与直线kx - y 1 = 0的夹角为60，求实数k的值.(2)经过点(3, 5),且与直线3x -2y 7=0之间成45角的直线方程的值.5 已知等腰三角形ABC

13、的斜边 AB所在直线的方程为3x- y - 5 = 0，直角顶点为C 4,-1，求两条直角边所在直线的方程.6.已知=ABC 的三个顶点为 A(2,1), B(6,1), C(5,5)(1)求 ABC中.A的大小;(2)求.A的平分线所在直线的方程仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerzielieiwecken verwendet we

14、rden.Pour l ' e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMucno 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxqe 员 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwec