2006年考研数学三真题及答案

1、2006年考研数学三真题一、填空题(16小题，每题4分，共24分。)(1) ?1)(-1) ?=。【答案】1。【解析】【方法一】记?=(竺)(-1)?，因为？?？?= ? = 1,且? ' ?丿 ' ? 2? ?2?+ = ?L)-1 = i,故?= 1。? tx? ?+1【方法二】？?孝)(-1) ?= ?) ?,而? tX ? /? tx?/?+1二？?？1 +丄)=0(无穷小量),(-1) ?为有界变量，那么原式二？ = 1。综上所述，此题正确答案是1。【考点】高等数学一函数、极限、连续一极限的四那么运算(2)设函数?(?在？ 2的某领域内可导，且?(?= ?,?2) =

2、 1,那么?(2) =。【答案】2?。【解析】此题主要考查复合函数求导。由?(?= ?知 ?(? = ?(?二？?？ ？?？ = ? / ?'(? = ? ?2?(? = 2?3? (2) = 2?2) = 2?综上所述，此题正确答案是2?。【考点】高等数学一一元函数微分学一复合函数的导数 设函数？?(?可微，且？?(0) = 1,那么？?= ?(4?- ?)在点(1,2)处的 全微分？?2)=。【答案】4? 2?【解析】因为等?(1,2)= ?(4?- ?) ?8?(|i,2)= 4, ?(1,2)= ?(4? - ?) ?(-2?)|(1,2)= -2, 所以？?2)=莎?(1,2

3、) ?莎?(1,2)? 4?-? 2?综上所述，此题正确答案是4? 2?【考点】高等数学一多元函数微积分学一偏导数、全微分 设矩阵？?= 21，?为二阶单位矩阵，矩阵？?满足?= ?+ 2?-1 2那么 |? =【答案】2。【解析】?= ?+ 2? ?- ? = 2? |?(? ?)=|? |?|?2 ?= 22 = 4因为 |?2 ?= | 11| = 2，所以 |?= 2。-1 1综上所述，此题正确答案是2。【考点】线性代数一行列式一行列式的概念和根本性质线性代数一矩阵一矩阵的线性运算(5)设随机变量？与？相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，那么? < 1 =【答案】1。9【解

4、析】此题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。事件? < 1 = ?< 1,?< 1 = ?< 1 n?< 1，又根据X,Y相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出1 1p仔 1=3?1综上所述，此题正确答案是9。【考点】概率论一多维随机变量的分布一二维随机变量的分布(6)设总体？的概率密度为?= 2?1?(-乂 < ?< +乂),?,?,?,?为总体？的随机简单样本，其样本方差为？?,那么？?=。【答案】2【解析】？?= ?X) = ?)- ?2 = ?)+ OO1 c/h八? 2 几?-?1? 2。综上所述，此题正确答案是2【考点

5、】概率论一随机变量的数字特征一随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质二、选择题(714小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)(1)设函数？?= ?(?具有二阶导数，且？?(？> 0, ?(?> 0,?为自变量?在点？?处的增量，？?与?分别为?(?在点？?处对应的增量与微分，假设?> 0,那么(A) 0 < ? ?(C)?< ? 0【答案】A。(B) 0 < ?< ?(C) ?< ?< 0【解析】【方法一】由函数？?= ?(?单调上升且凹，根据？?和?的几何意义，得如下所示的图由图可得

6、0 < ? ?【方法二】由凹曲线的性质，得?+ ?> ?) + ?(?)?工0,于是 ?+ ? - ?) > ?(?)?> 0,?> 0,即0 < ? ?综上所述，此题正确答案是A。【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念，导数 的几何意义和物理意义(8) 设函数?(?在?= 0处连续，且？?陽 =1,贝S?5?2(A) ?0) = 0且？?(0)存在(B)?0) = 1 且?_?(0)存在(C)?0) = 0且?+?(0)存在(D)?0) = 1 且?(0)存在【答案】C。【解析】由？?齊二 1,且?= 0,那么?) = 0,由于 f(x)在？?

7、= 0处连续，且？?？?？)= ?0) = 0,从而?(?)?(?)- ?(0)? = ? = 1? F ?2? F?2由于上式中?2 0+(只有从大于零一边趋于零)，那么由上式可得?+?(0) = 1。综上所述，此题正确答案是C。【考点】高等数学一函数、极限、连续一函数连续的概念高等数学一一元函数微分学一导数的概念(9) 假设级数£=1?收敛，那么级数(A)広=i|?收敛(B) %=i(-1) ?攵敛(A) %=i ?+1 收敛(A) » ?笃?+1 收敛【答案】D。【解析】由少=?收敛知刀躺？?+1收敛，所以级数刀躺竿严收敛。综上所述，此题正确答案是D。【考点】高等数学

8、一无穷级数一收敛级数的和的概念(10) 非齐次线性微分方程?+ ?= ?(?有两个不同的解?(?,?(?,?为任意常数，那么该方程的通解是(A) ?X?- ?(?(B)?(?+ ?- ?(?(C)?+ ?(?(D)?(?+ ?+ ?(?【答案】B。【解析】由于?(?- ?(?是对应其次线性微分方程?+ ?=?(?的非零解，所以它的通解是 ？?= ?(?- ?(?,故原方程的通解为? ?(?+?= ?(?+ ?(?- ?(?。综上所述，此题正确答案是 B。【考点】高等数学一常微分方程与差分方程 一非齐次线性微分方 程性质及解的结构(11) 设？?(?？?与？?(?？均为可微函数，且？(?)工0。

9、(?？,？?)是?(?在约束条件？?？二0下的一个极值点，以下选项正确的 是(A) 假设?(?,?) = 0,那么?(?,?) = 0(B) 假设?(?,?) = 0,那么?(?,?)工0(C) 假设?(?,?)工0,那么滋？?,？?)= 0(D) 假设?(?,?)工 0,那么？?,?)工 0【答案】D。【解析】此题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘 数法。作拉格朗日函数？?？= ? + ?,并记对应？?,？的参数?的值为?,那么直?喙?)=0'即滋?,？?)+?阪？?,？?)二 0 消去?得?碱?,?) + ?<?,?) = 0 消去?得:?%?,?)?4?,?)-

10、?(?,?)?<?,?) = 0,整理得：/ 1欣？?,？?)=而而？?,？?)？(？?,？?)(因为?<?丰 0),假设?(?,?)工 0,那么?(?,?)工 0。综上所述，此题正确答案是D考点】高等数学 多元函数微积分学 二元函数的极限(12) 设？,？,？，？?均为？维列向量，？是?X?矩阵，以下选项正确的是(A) 假设？,？,？，？?线性相关，那么？?？?？，？?？线性相关(B) 假设？,？,？，？?线性相关，那么？?？?？，？?线性无关(C) 假设?？,？,？，？?线性无关，那么？?？，？?线性相关(D) 假设?？,？,？，？?线性无关，那么？?？?？，？?线性无关【答案

11、】 A。【解析】【方法一】因为 ？1,？2,？ ,？线性相关，故存在不全为零的数？1？,？2,？ , ？使得？1？1 + ？2？2+ ？ + ？ ？= 0从而有？(？1？1+ ？2？2+ ？ + ？) = ？0= 0即？1？1？+？2？2？+ ？ + ？= 0, 由于？1,？2,？ , ？不全为 0 而 是上式成立，说明 ？1？,？2？,？ ,？线性相关。【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有(？1？,？2？,？ , ？) = ？(？1？,？2,？ ,？)那么？(?？?？，？?？ < ?(?,? ,?因为？1,？2,？ ,？线性相关，有 ？(？1,？2,？ ,？) < s从而？(？

12、1？, ？2？, ？ , ？) < ？故, ？1？,？2？,？ ,？线性相关。综上所述，此题正确答案是 A考点】线性代数 向量 向量组的线性相关与线性无关、向量组的秩(13) 设？为三阶矩阵，将？的第2行加到第1行的?再将？勺第1列1 1 0 的-1倍加到第2列得?记？?= 010，贝S0 0 1(A)?= ? ?(B)?= ?(C)?= ?(D)?= ?【答案】B。【解析】按条件，用初等矩阵描述有1 101 -10?= 0 10 ?=?勺0100 010 011 1 0 1 -10所以？?= 010?010=?他0 0 1 001综上所述，此题正确答案是B【考点】线性代数一矩阵一矩阵的

13、线性运算(14) 设随机变量？服从正态分布？?,？),？服从正态分布？?,？?), 且?|?- ?| < 1 > ?|? ?| < 1,那么必有(A)? < ?(A)? > ?(C)? < ?(D)? > ?【答案】A。【解析】由于？与?的分布不同，不能直接判断?| ?- ?| < 1和 ?|?2 ?| < 1的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比 较。?1 ?- ?1 < 1 = ?21?孑1 < ?，随机变量 等 ?(0,1),且其概 率密度函数为偶函数，故?|专I < ? = 2?0 < 年 < 詁

14、=2(?)-(0)=2(-)-1,同理?|?7 ?| < 1 = 20(-) - 1,?2因为(X)是单调增函数，当?|? ?| < 1 > ?|? ?| < 1时,20 ( ) - 1 > 20 () - 1,即(?)> (?)'所以省 > 寺即?< ?。综上所述，此题正确答案是A【考点】概率论与数理统计一随机变量及其分布一正态分布及应用三、解答题(1523小题，共94分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。)(15)(此题总分值7分)?1-?'设? = -三?> 0, ?> 0,求1+? ?(I) ? =?;?

15、 f + g(II)恥财?【解析】此题主要考查洛必达法那么和等价无穷小的替换。在求？?时X为固定的正数，贝y ?=匕 ? ?=? ?,(等价无穷小的替换)? f + g? ? f + g ? '?贝 y ? = ? =1? f + OO?1-?(II) ?= ?-? f+? f0 ?+ n ?f+ ?-? + ? f+?_? 一、 =? +?等价无穷小替换)=? + ?洛必达法那么) ? 5 2?_?2=?2 + ?= ? 5 2?【考点】高等数学一函数、极限、连续一无穷小量的比较、洛必达法那么(16) (此题总分值7分)计算二重积分？ ?"?- ?其中？?是 由直线?= ?

16、=1,?= 0所围成的平面区域。【解析】画出二重积分，将二重积分化为累次积分即可?积分区域如左图，因为根号下的函数为关于？的一次函数，先？后？积分较容易，所以： 1 ? ? V? - ?7 ? V? - ? 0 032 贰?)2 |?3 4)|0 =2 F ?2。3 09【考点】高等数学一多元函数微积分学一二重积分的计算(17) (此题总分值10分)证明： 当 0 < ?< ?< ?时, ?+? ?2?【解析】此题可构造函数，利用函数的单调性来证明。设? = ?+?2?<?0, ?贝卩？?(？= ?+?!22?+?2= ?+?(?= ?<?E (0, ?)那么？?

17、(？?在0, ?上单调减，从而有？?(？> ?(? = 0 ?(0, ?) 因此，？?在0, ?上单调增，当 0 < a< b< n时，?> ?(?) 即？+?2?：? ?/+?2?i?/?【考点】高等数学一函数、极限、连续一根本初等函数的性质(18) (此题总分值8分)在？?0坐标平面上，连续曲线？过点？0,1),其上任意点?(?,?)(?0)处的切线斜率与直线?的斜率之差等于？?常数?> 0)。求？的方程；8(II)当？与直线？?= ?所围成的平面图形的面积为-时，确定？的值。3【解析】此题需要利用导数的几何意义建立微分方程，用定积分 计算图形的面积。设

18、曲线？的方程为？?= ?,那么由题设可得？- ?= ?这是一 阶线性微分方程，其中?= - 1?,?= ?代入通解公式得 丄1?= ?222?？222>22?2 ?)= ?2?2 ? = ? ? / X7，又?1) = 0,所以?= -?,故曲线L的方程为？?= ?2 ? 0)。(II) ?与直线?= ?> 0)所围成平面图形如以下列图所示，所以：?=? (?- ?)? y j j =?(2?- ?)?48 t ,=3?= 3,故?= 2。【考点】高等数学一函数、极限、连续一根本初等函数的性质高等数学一常微分方程与差分方程一一阶线性微分方程(1) ?-1 ?多？+1(19)求幕级数

19、X?=1 ? 的收敛域及和函数?。【解析】因为幕级数缺项，按函数项技术收敛域的求法计算；利用逐项求导或积分并结合函数的幕级数展开式计算和函数。(1) ?-1 ?+1记?？= (=?厂,那么(-1)?0?- ?7/.V O-?+ 1)(2?+ 1)?3o?(_1)?-1 ?2?+1?(2? 1)| = I?化在 (-1,1)内,(1) ?-1 ?多？+1( 1) ?-1 ?歹？?=彷=1)?(2?-1)= 2?邱=1 盘2硕=2?(?)?-1 2?-1而?=易=1°?, ?(?=易=1(-1) ?-1 ?-2 二话,所以I?2 < 1,即|?< 1时，所给幕级数收敛；当|?

20、> 1时所给幕级数发散；当？?= ±1时，所给幕级数为三均收?(2?-1) ' ?(2?-1)敛，故所给幕级数的收敛域-1,1 .2?-1? ? 1所以?1X?- ?X0) = £ ?(?72? ?,又?(0) = 0,于是?(?= ?同?理?,? ?(?_ ?1(0) = j ?(? j ?0 0?1=?j?|? ?+ ?)oi+ ?20 1 -2又?1(0) = 0,所以?(?= ?(?+ ?), 故?？= 2?+ ?),? (-1,1 ).由于所给幕级数在？吕±1处都收敛，且? = 2x2 ?+ ?)在?= ±1处连续，所以?在?=

21、±1成立，即? = 2?+ ?),? -1,1 。【考点】高等数学一无穷级数一理幕级数及其收敛域、幕级数的和函数(20) (此题总分值13分)设四维向量组？?二(1 + ?,1,1)?,?= (2,2 + ?2,2)?=(3,3,3 + ?3) ?= (4,4,4,4 + ?问？为何值时，?霜？?？?？?线性相关？当？?？?？?？?线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。【解析】此题考查求极大线性无关组并把其他向量用极大线性无关组线性表出的方法。?个 ?维向量线性相关？ |? ,? = 0,记？?= (?1 + ?234|?= 12 + ?34=(

22、?s+ 10)?123 + ?41234+?于是当？?= 0或?= -10时，？?？初？?？?线性相关，当？?= 0时，?为?的一个极大线性无关组，且? =2?= 3?= 4?当？?=-10时，对？施以初等行变换,有-9234-9-234?=1-834f 10-1000 L 12-74JL100-100123-61000-10-92340000f 1-120 -100【；-10 -0 -10=0=(?跖? ? ?勿,120-1100-1由于？? ？? ？?为？? ？? ？? ?的一个极大线性无关组，且?= -?- ?- ?故？?？?？?为？?？?？?？?的一个极大线性无关组，且？?二-?- ?

23、- ?务【考点】线性代数一向量一向量的线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组(21) (此题总分值13分)设三阶实对称矩阵？?的各行元素之和均为3，向量？=(-1,2, -1) T,? = (0, -1,1) T是线性方程组?= ?的两个解。求？的特征值与特征向量；(II)求正交矩阵？?和对角矩阵？使得？?= ?;(ill)求？及(?- |?6,其中？为三阶单位矩阵。【解析】此题中？未知，故用定义法求解。131因为矩阵？勺各行元素之和均为3,即有？1 = 3 = 31,所131以3是矩阵？的特征值，？?= (1,1,1)?是 ?属于3的特征向量。又？?= ?= 0?,故？

24、,？是矩阵？属于？?= 0的两个线性无关的特征向量。因此矩阵？的特征值是3,0,0.?= 3的特征向量为？?(1,1,1凭其中？?工0为常数；?= 0的特征向量为？?(-1,2, -1) ?+ ?(0,-1,1) ?其中?, ?是不 全为0的常数。(II)因为？,？不正交，故需要？?正交化?二? = (-1,2, -1) ?,-3-1R 26 -11(?0?= ?- (?=叩-1 -1单位化？?= 6 2 ,?=-11 -1=2 01,那么令?= (?二2 0 ,?=1v6_2_v6112011打1為1爲(III)?=0?*?= ?=I0 3由前面知?-1 ?= ?有?= ?=?即丄v62v6

25、1丄0121 1 1T T TT T T 一一- - 丄1一；昉-ZK O 丄"- - - -3OO - - 丄"丄f又? ?=?(?- 3 ?)?= ?223 ?2.3 c3 q 3 a? ?>1 (?- ?¥?=(?- ?6 = ()6?2 2 2 所以(?- 3?f = ?(?/?1 = (|)6?【考点】线性代数一矩阵的特征值和特征向量 一矩阵的特征值和特征向量的概念、性质、计算(22) (此题总分值13分)1- -1 < ?< 0,2设随机变量？?勺概率密度为?(?二丄0< ?< 2令?= ?,4' 0其他?为二维随

26、机变量(?的分布函数，求：？?勺概率密度?(?；(II) ?；1(III) ?(-2,4).【解析】设 Y的分布函数为?(?,那么?(?= ?w ?= ? < ?当？?w 0时，？?(？= 0,?必？= 0;当0 < ?< 1 时，?徹？ = ?- V?< ?< v?F ?- V?< ?< 0 + ?0< ?< V?= - V?+ - V?= 3 V?, ?= ?(?=詐?;当 0 < ?< 4时,1 1?条？二？?-1 < ?< 0+ ?0<?< V?= -+ ； V?,/ 1恋？二?<?= 8V?30&