湖北省孝感市2013年高考数学备考资料 研究专题4（必修2）：关于课本习题解法的探究与推广_第1页
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1、关于课本习题解法的探究与推广叶晓斌（湖北孝感一中）摘要：课本习题是以巩固学生所学基础知识为目的而设计的，具有较强的代表性、典型性和实用性。深入探究课本习题，挖掘习题本质，寻找解题一般规律，不仅有利于新课标下学生自主探究、自主学习能力的培养，而且有利于学生拓展视野，发散思维，进而形成解题策略。为此，本文从课本的两道习题出发，探究了这两道习题的新解法，并且分别将其推广到更一般的情形，最终得出一般性的结论。关键词：课本习题 三角函数 研究性学习 推广一、不同的三角函数名比较大小题目1 （高中数学人教版必修4第69页第11题第（2）小问）先比较大小，再用计算器求值：（2），。解：首先利用诱导公式把任意

2、角的三角函数转化为锐角三角函数：，。其次，比较与的大小：且正弦函数在上是单调递增的 即 .然后，比较与的大小： 又 由得： 因而有： 即1 / 4最后，比较与的大小： ， 即综上所述，我们得到：。点评：关于本题的解答在配套的人教版教师教学用书以及各教辅资料上仅仅给出计算机算出来的答案，并没有详细的解答过程。以上解法是本人根据教学实际情况为学生讲解本题的一种方法，与各位同行分享。由于三角函数的诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数，因而任意角的不同三角函数之间比较大小的问题可以归结为：在区间上，比较，的大小。我们知道，在区间上，；在区间上，；在区间上，。因此，该问题的关键是在区间上比

3、较与的大小。事实上，构造函数，其中，则：，即函数在内为单调递减的。又， 即 而 即. 这表明当时，.故当时，即；当时，即.结论1：在区间 内， 当时，；当时，；当时，.二、充分挖掘题目隐含条件题目2 （高中数学人教版必修4第137页第8题）在中，求的值。解：在中， 由 及得：又 或 若当时，此时不满足三角形的内角和为，故应舍去。 即 .点评：上述解法充分运用了题目条件，适当的放缩不等式，进而求出和的取值范围，然后根据三角形内角和为进行验算并舍去多余的解。针对上述问题，什么时候仅有一解，什么时候有两解呢？一般地，在中，若,且,，求的值。事实上，（1）当即时， 为锐角且在中，应用正弦定理得 且（2）当即时，类似地，我们应用正弦定理可以得到：.而在中，由知，存在两个角、，其中、，使得，且，且，.这表明，在中，角、均满足与角的和小于。或或.结论2：在中，若，且，求的值。(1) 当即时，该题仅有一解，且；(2) 当即时， 该题有两解，且或.参考文献1 普通高中课程标准实验教科书数学必修4M北京：人民教育出版社，2007.2 普通高

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