平面立体截交线

1、6.3 平面立体截交线平面立体截交线截切：截切： 用一个平面与立体相交，截去立体的一用一个平面与立体相交，截去立体的一部分。部分。 截平面截平面 用以截切物体的平面。用以截切物体的平面。 截交线截交线 截平面与物体表面的交线。截平面与物体表面的交线。 截断面截断面 因截平面的截切，在物体上形因截平面的截切，在物体上形 成的平面。成的平面。讨论的问题：截交线的分析和作图讨论的问题：截交线的分析和作图 。截交线与截断面截平面截交线截断面 截交线是一个由直线组成的截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形封闭的平面多边形，其，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截形状取决于平面体的形状及截平

2、面相对平面体的截切位置。切位置。平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点。面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每截交线的每条边是条边是截平面与棱面的交线截平面与棱面的交线。求求截交线的实质是求两平面的交线截交线的实质是求两平面的交线截交线的性质：截交线的性质： 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的两种方法：求截交线的两种方法： 求各棱线与截平面的交点求各棱线与截平面的交点棱线法棱线法。 求各棱面与截平面的交线求各棱面与截平面的交线棱面法棱面法。关键是

3、正确地画出截交线的投影关键是正确地画出截交线的投影。 求截交线的步骤：求截交线的步骤： 截平面与体的相对位置截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置截平面与投影面的相对位置确定截交线确定截交线的投影特性的投影特性确定截交确定截交线的形状线的形状 空间及投影分析空间及投影分析 画出截交线的投影画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。线，并连接成多边形。例例1 1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空间分析空间分析交线的

4、形状？交线的形状？3 3 投影分析投影分析 求截交线求截交线 分析棱线的投影分析棱线的投影 检查检查 尤其注意检查截尤其注意检查截 交线投影的类似性交线投影的类似性截平面与体的几个棱截平面与体的几个棱面相交？面相交？截交线在俯、左视图截交线在俯、左视图上的形状？上的形状？我们采用的是哪种解我们采用的是哪种解题方法？题方法？棱线法！棱线法！sabcc”a”b”sPvs”(1) 求Pv与sa、sb、sc的交点1、2、3为截平面与各棱线的交点、的正面投影。123(2) 根据线上取点的方法，求出1、2、3和1”、2”、3”。11”2”23(3) 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影。(4) 补全棱线

5、的投影。3”具体步骤如下：例例2 2、求作截交线的水平投影和侧面投影。、求作截交线的水平投影和侧面投影。123(4)1”3”4”1243 例例3 求做立体被截切后的投影求做立体被截切后的投影例题例题4 4：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。：求三棱锥被截切后的俯视图和左视图。625 13 4 123456123456例例5、补出立体被截割后的投影。、补出立体被截割后的投影。1 6 4 （5）（3）2 1645 1 (6 )4 5 3 2 3 2例例6:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影作图方法作图方法:1 求棱线与截平面求棱线与截平面 的共有点的共有点2

6、连线连线 3 根据可见性处理轮廓线根据可见性处理轮廓线1?2?1?2?2?2?2?7?7?5?6?5?6?12345673?4?3?4?12(3)4(5)7(6)6”7”1”3”2”5”4”67例例7 补全俯视图和左视图的投影补全俯视图和左视图的投影 例例 8: 求八棱柱被平面求八棱柱被平面P截切后的俯视图。截切后的俯视图。P P 截交线的形状？截交线的形状？1 1 5 5 4 4 3 3 2 2 8 8 7 7 6 6 截交线的投影特性？截交线的投影特性？2 2 3 3 6 6 7 7 1 1 8 8 4 4 5 5 求截交线求截交线1 15 54 47 76 63 32 28 8分析棱线的

7、投分析棱线的投影影检查截交检查截交线的投影线的投影6.4 平面立体相贯线平面立体相贯线概述相贯体相贯体 : 参与相贯的立体叫做相贯体参与相贯的立体叫做相贯体 相贯线：相交两立体表面的交线叫做相贯线相贯线：相交两立体表面的交线叫做相贯线 相贯线相贯线相贯体相贯体 相贯相贯 ： 两立体相交称为相贯两立体相交称为相贯 1 1、相贯线的性质、相贯线的性质 3)3)封闭性封闭性由于立体的表面是封闭的，因此由于立体的表面是封闭的，因此相贯线一相贯线一般是封闭的空间折线或空间曲线。般是封闭的空间折线或空间曲线。2)2)共有性共有性相贯线是两相交立体表面的共有线和分界相贯线是两相交立体表面的共有线和分界线，线

8、上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求线，线上所有点都是两相交立体表面的共有点。是求相贯线投影的作图依据。相贯线投影的作图依据。1)1)表面性表面性相贯线位于两相交立体的表面。相贯线位于两相交立体的表面。2 2、相贯线的形状、相贯线的形状 相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立相贯线的形状取决于两立体的形状、大小及两立体的相对位置。体的相对位置。(1) 立体形状不同，相贯线形状不一样：平面立体相贯:空间折线平面立体与曲面立体相贯：多段平面曲线曲面立体相贯：空间曲线(2) 立体大小不同，相贯线形状不一样：直径不同的直径不同的两圆柱两圆柱直径相同的直径相同的两圆柱两圆柱(3) 立体相对位置不

9、同，相贯线形状不一样：两圆柱轴两圆柱轴线斜交线斜交两圆柱轴线两圆柱轴线偏交偏交平面立体相贯种类及相贯线的特点 相贯类型相贯类型：全贯互贯：全贯互贯相贯线的性质：相贯线的性质：一般为封闭的空间折线一般为封闭的空间折线也可为平面折线也可为平面折线相贯线的特性及求法l相贯线上折线的端点相贯线上折线的端点 相贯点相贯点( (贯穿点贯穿点) )A AB BC C可见的条件：相贯线位于同时可见可见的条件：相贯线位于同时可见的两相交表面时，才可见。的两相交表面时，才可见。可见可见相贯线的可见性相贯线的可见性相贯线的求法：相贯线的求法：方法一：方法一：先求贯穿点，再依次连线，先求贯穿点，再依次连线， 同时判断

10、可见性。同时判断可见性。方法二：方法二：求面面交线。求面面交线。不可见不可见作图步骤作图步骤： 找到相贯线的已知投影找到相贯线的已知投影 找点找点 顺序连接各点顺序连接各点 完成轮廓线完成轮廓线 判断可见性判断可见性求作两平面体表面交线的方法有两种：求作两平面体表面交线的方法有两种： 求各棱线与棱面的交点求各棱线与棱面的交点棱线法棱线法 求各棱面的交线求各棱面的交线棱面法棱面法 例例1 1 画出三棱锥与三棱柱全贯的投影图画出三棱锥与三棱柱全贯的投影图例例2 2 画出三棱锥与三棱柱互贯的投影图画出三棱锥与三棱柱互贯的投影图例例3 3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。：已知三棱锥与三棱柱相交，

11、求作相贯线。(1(11 1) )(4(41 1)(3(31 1)1 11 11 12 23 3(4)(4)(4(41 1) )3 31 12”2”1”1”1 11 1”4”4” 4 41 1”11332244解题步骤：解题步骤：1 1、分析两立体的、分析两立体的空间关系，确定相空间关系，确定相贯线的已知投影。贯线的已知投影。2 2、从已知投影出发，确定相贯、从已知投影出发，确定相贯线上的贯穿点。线上的贯穿点。3 3、先判断可见性，再连接贯穿点。、先判断可见性，再连接贯穿点。(3”)(3”)(3(31 1”)”)(1(11 1) )(4(41 1)(3(31 1)1 11 11 12 23 3(

12、4)(4)(4(41 1) )3 31 12”2”1”1”1 11 1”4”4” 4 41 1”11332244解题步骤：解题步骤：1 1、分析两立体的、分析两立体的空间关系，确定相空间关系，确定相贯线的已知投影。贯线的已知投影。2 2、从已知投影出发，确定相贯、从已知投影出发，确定相贯线上的贯穿点。线上的贯穿点。3 3、先判断可见性，再连接贯穿点。、先判断可见性，再连接贯穿点。4 4、将棱线补到相贯点，注意可见性。、将棱线补到相贯点，注意可见性。(3”)(3”)(3(31 1”)”)例例3 3：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。例例4：已知三棱锥上穿有

13、三棱柱孔洞，求作相贯线。：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。(1(11 1) )(4(41 1)(3(31 1)1 11 11 12 23 34 44 41 13 31 12”2”1”1”1 11 1” 4 41 1”(3”)(3”)(3(31 1”)”)11332244 4”4”解题步骤：解题步骤：1 1、分析两立体的、分析两立体的空间关系，确定相空间关系，确定相贯线的已知投影。贯线的已知投影。2 2、从已知投影出发，确定相贯、从已知投影出发，确定相贯线上的贯穿点。线上的贯穿点。3 3、先判断可见性，再连接贯穿点。、先判断可见性，再连接贯穿点。(1(11 1) )(4(41 1)(3(

14、31 1)1 11 11 12 23 34 4(4(41 1) )3 31 12”2”1”1”1 11 1” 4 41 1”(3”)(3”)(3(31 1”)”)11332244解题步骤：解题步骤：1 1、分析两立体的、分析两立体的空间关系，确定相空间关系，确定相贯线的已知投影。贯线的已知投影。2 2、从已知投影出发，确定相贯、从已知投影出发，确定相贯线上的贯穿点。线上的贯穿点。3 3、先判断可见性，再连接贯穿点。、先判断可见性，再连接贯穿点。 4”4”4 4、将棱线补到相贯点，棱线包括孔内棱线、将棱线补到相贯点，棱线包括孔内棱线和被穿孔立体的棱线，并注意可见性。和被穿孔立体的棱线，并注意可见

15、性。例例4：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。：已知三棱锥上穿有三棱柱孔洞，求作相贯线。(6)例例5：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。(5)csabscab132465解题步骤：解题步骤：1 1、分析两立体的空间关系，、分析两立体的空间关系，根据积聚性，确定相贯线的根据积聚性，确定相贯线的已知投影。已知投影。2 2、求相贯线上的贯穿点。、求相贯线上的贯穿点。3 3、先判断可见性，依次连接、先判断可见性，依次连接贯穿点。贯穿点。(4)321(4)(5)(6)csabscab132465解题步骤：解题步骤：1 1、分析两立体的空间关系，、分析两立体的

16、空间关系，根据积聚性，确定相贯线的根据积聚性，确定相贯线的已知投影。已知投影。2 2、求相贯线上的贯穿点。、求相贯线上的贯穿点。3 3、判断可见性，依次连接贯、判断可见性，依次连接贯穿点。穿点。4 4、补全棱线。、补全棱线。132例例5 5：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。：已知三棱锥与三棱柱相交，求作相贯线。A B G D C例例6 6：完成三棱锥与四棱柱的交线。：完成三棱锥与四棱柱的交线。3.3.利用棱面法完成其利用棱面法完成其 交线的投影：交线的投影： 作辅助面作辅助面P PV V求求, 的投影，的投影， 作辅助面作辅助面Q QV V求求, 的投影，的投影， 辅助面与三棱锥的交辅助面

17、与三棱锥的交 线均为与底面相似的线均为与底面相似的 三角形；三角形；2.2.棱柱的上下表面、棱柱的上下表面、 棱锥的棱锥的SABSAB面的正面面的正面 投影有积聚性投影有积聚性, ,可利可利 用棱线法求得用棱线法求得, , ,的投影；的投影；1.1.交线分左右两部分，右侧为梯形，交线分左右两部分，右侧为梯形， 左侧为空间闭合折线左侧为空间闭合折线(6(6段段););c b a s a” 2 1 S F E QV PV 3 2415ab s b” c” s” d” e” f” g” 3” 6” 3 4 5 6 7 89 10 710 c 889 4”4”9” 2”8”1”7”1”7” 5”10”

18、6 ef dg f gde圆圆 柱柱圆圆 锥锥 球球由曲面围成或曲面加平面共同围成的形体称为曲由曲面围成或曲面加平面共同围成的形体称为曲面体。面体。常见的曲面立体有圆柱、圆锥、球和圆环等。常见的曲面立体有圆柱、圆锥、球和圆环等。6.5 回转体投影及其表面上的线和点回转体投影及其表面上的线和点 母线上任一点的运动轨迹都是垂母线上任一点的运动轨迹都是垂直于回转轴线的圆。直于回转轴线的圆。 纬圆纬圆圆圆 柱柱圆柱的形成圆柱的形成回转面回转面 由母线绕一轴线旋转所得到的曲面。由母线绕一轴线旋转所得到的曲面。 圆柱面的母线和回转轴线平行，圆柱面的母线和回转轴线平行，故圆柱面所有素线都互相平行。故圆柱面所

19、有素线都互相平行。纬圆纬圆回转轴线回转轴线母线母线素线素线圆柱的投影圆柱的投影一般使圆柱的回转轴线垂直于投影面一般使圆柱的回转轴线垂直于投影面。圆柱的投影分析圆柱的投影分析上、下底面带有积聚性带有积聚性周围圆柱面圆柱的轮廓线对应关系圆柱的轮廓线对应关系正面投影轮廓线侧面投影轮廓线圆柱的可见性分析圆柱的可见性分析水平投影水平投影上底面可见，上底面可见，下底面不可见。下底面不可见。前半个圆柱面可见，前半个圆柱面可见，后半个圆柱面不可见。后半个圆柱面不可见。正面投影正面投影侧面投影侧面投影左半个圆柱面可见，左半个圆柱面可见，右半个圆柱面不可见。右半个圆柱面不可见。圆柱表面上取点、线圆柱表面上取点、线

20、a a a(b )bb c d cd (d)c (e )f(f )ef e c (b )a(b)12a b 1 2 c (a )1 2 c回转回转轴线轴线纬圆纬圆 圆锥面的母线和回转轴圆锥面的母线和回转轴线相交，故圆锥面的所有素线相交，故圆锥面的所有素线都相交于锥顶。线都相交于锥顶。S圆圆 锥锥圆锥的形成圆锥的形成素素线线母线母线圆锥的投影圆锥的投影一般使圆锥的回转轴线垂直于投影面一般使圆锥的回转轴线垂直于投影面。圆锥的投影分析圆锥的投影分析底 面没有积聚性没有积聚性周围圆锥面圆锥的轮廓线对应关系圆锥的轮廓线对应关系正面投影轮廓线saba b s s a b 侧面投影轮廓线scdc d s s c d 圆锥的可见性分析圆