矩阵的若尔当标准型及简单应用

1、哈尔滨师范大学学年论文题 目 矩阵的若尔当标准型及简单应用学 生 李小琴指导老师 穆强年 级 2005 级专 业 数学与应用数学系 别 数学系学 院 数学与计算机科学学院哈尔滨师范大学07 年 6 月矩阵的及若尔当标准型及简单应用李小琴摘 要：复数域上的每一 n阶矩阵都与若尔当标准形式相似，本文论证了矩阵的若尔当标准型及简单应用.关键词:若尔当线性变换矩阵标准°°.°°、1X°.°°定义1设人是一个复数，矩阵°1.°°(1 )<0°°° 1其中主对角上的元素都

2、是紧邻主对角线下方的元素都是1,其余位置都是零，叫做属于的一个若尔当(或若尔当块)当 =0时，就是所谓的幕零若尔当矩阵定理1设二是n维向量空间V的一个线性变换，U2,.,'k都是二的一切互不相同的本征值，那么存在V的一个基，似的二关于这个基的矩阵有形状B2Ji1<°°Bk丿这里Bi =J i2，而Jii, Ji2,.,Jisi都是属于'i的若尔当块， U1,2,k.4J isi证 设二的最小多项式是 P(x) =(x - )r1.(x - 'k)rk，而P(x)在复数域上是不可约的因式分解，这里、，-，.咔是互不相同的本征值，r1,r2,.,r

3、k是正整数，又设y =ker 仟- V | (二-丿 =0, i =1,2,.,k,所以空间 V 有直和分解对于每一 i，令i是二一'i在Vi上的限制，那么 “是子空间Vi的一个幕零线性变换,而子空间Vi可以分解为i一循环子空间的直和：V二Wii二二Ws在每一循环子空间Wj =(j =1,2,s)里，取一个循环基,凑成Vi的一个基，那么i关于这个基的矩阵有形状Ni =NiNi2这里Nij(j -1,2,.,Si)是幕零若尔当块令i =二| Vi，那么二i = i + i，于是对于Vi加上基来说，g的矩阵是0、0Jii0、九i+Ni2+=J i2+0九i j3MsiI 0J iSi jB

4、iV的基，那么匚关于这个基这里Ji1, Ji2,.,JiSi都是属于j的若尔当块对于每一子空间 Vi，按以上方式选取一个基，凑起来成为的矩阵就是有定理所求的形式(2)注意 在矩阵(2)里，主对角上的第i块B，是二i|Vi的矩阵.而子空间Vi,.,Vk显然由唯一确定，而出现在每一Bi里的若尔当块JM, Ji2,., Jis里由二i唯一确定的，因而是由匚唯一确定.Ji定义2形式如0的n阶矩阵，其中每一 J都是一个若尔当块,叫做一个若尔当标准形式20000'20000、20000 'i20000i000ii000例如：00i0000i0000i0000ii0000i0000i0<

5、;000ii<00002<00002;2Jm都是若尔当标准形式定理2复数域上每n阶矩阵都与一个当尔当标准形式相似，除了各若尔当块排列的次序外，与 A相似的若尔当标准形式是由A唯一确定的证 在一个对角线分块矩阵里， 重新排列各个小块矩阵的次序显然得到矩阵，在由若尔 当块唯一性得到证明定理3( 1)设V为K上的n维线性空间，线性变换 T : V > V的特征多项式分解为 K 上 的一次 式的积 TWNtajR.jt ajn jT (t d)".(tajr，a,，,ar K， a-aj (i = j), . i < n这里，V是弱特征空间(ai)的直和V =(a,)

6、-莎(a，又 (aj 二x V |(T -alvF X = 0，dim(aj = nJ 在 ©)上的限制 T |)的特 征多项式和最小多项式为(ai)ni ,(ai)i.(2)设矩阵A ( n , n , K )的特征多项式分解为K上一次式的积.det (tEn A) =(t ajn1.(t ar)n，iA =(t - a )1 .(t - ar) r, d ,.,ar 二 Kaj= a(i = j),1 _ ： i _ nj.这时，存在正贝U矩阵 P (n,n, K)，PAP = J(aJ 二二 J (ar)J (aj) = J (ai,： i) ：；. ：； J (aj, ： i

7、) ：； J (ai，: i -1) ：； .：； J (aj, ： i -1)至少1个0个以上二 J(aj,1)二二 J(ai,1)=!=*0个以上方阵J (aj的结束等于ni,构成J (aj的若尔当的个数等于属于ai的特征空间多项式的维数(1 G乞r).若尔当块矩阵P ' A P称为矩阵A的若尔当.注意 PAP = J(aq)二二J(ar)中的J (aj，其j阶若尔当块的个数又 A唯一确 疋.例1 证明对a , be( n, n, C ),存在正则矩阵P，使pap = b= a和b 具有相等的若尔当标准型.证 设A和B具有相等的若尔当标准型J ,则存在正则矩阵 P , P2，使RA

8、RnJ ,1 1 1P2 B P2 = J，令PP2=P，贝y P正则接P A P = B .反之，设已存在正则矩阵P，使P A P= B，设QAQ二J是若尔当标准型，则 (PQ)，A(PQ) = J，故A的若尔当标 准型也是J .501、:13-2035、例2求矩阵C =-151，D =-3151-84L106><-2236-60的若尔当标准型，求实矩阵Q使QDQ成为若尔当矩阵解(1)|tE3 -C| = t3 -15t2 75t125 = (t -5)3，rank(C_5E3)=1,故特征空间2，C的若尔当标准型为D +2 E3) x=0的通解为V (5)的维数是3 -rank

9、 ( C -5 E3 )=2，于是机若尔当块的个数为(2)|tE3 D |=t3 -4t2 -3t 18 =(t -3)2(t 2).方程(r-rP1 =u=u1J-1例如，令u =1，得p1 =，dim= V ( -2) =1， ( D-3 E3) x =0，的通解是，所以属于特征值3的特征空间V (3)的维数是1故属于特征值3的若例如，令v=1，得-17，方程(D -3E3)x=q1的通解是co24I1+o177丿q =例如，令-10，-1得 q2 = 10 ， DPi = - 2 Pi，Dq2 = 3q，D q2 = q+3q2故若令Q =<6q2 )，则 D Q = ( DP1

10、D q1D q2)=(-2 口 3q1q1 +3 q2)=Q01、J 2、所以Q =0710，Q AQ =2 1J46< °参考文献：1 张禾瑞、郝炳新：高等代数，高等教育出版社， 1999年第四版. 2 有马哲、浅枝阳：线性代数讲解，四川人民出版社， 1987年版.Matrix And JordanSummary: Each rank matrixes of plural area with if the Jordan be a standard formlikeness,thistext argument matrixes of if Jordan be standardtype and in briefapplied.Keyword : The Jordanthe line tran sformatio nmatrix sta ndard8学年论文