2.3数学归纳法PPT精品文档

1、 选修选修 2-2 第二章第二章 推理与证明推理与证明 从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推， 从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。 问题情境一问题情境一 问题问题1:你知道谚语你知道谚语“天下乌鸦一般黑天下乌鸦一般黑”的由来吗？的由来吗？ 问题问题2:盒子中有盒子中有5个小球，如何证明它们都个小球，如何

2、证明它们都是红色的？是红色的？ 问题问题3:数列的通项公式是：数列的通项公式是：an= (n25n+5)2请算出请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= ,猜测猜测1111猜测是否正确呢？猜测是否正确呢？22(55)1nnNann对一切，都有问题情境二问题情境二由于由于a525 1，所以猜测是不正确的，所以猜测是不正确的问题问题4:在数列在数列na中中, 1a1, 11nnnaaa(n ),*N（1）求）求2a，3a，4a的值；的值；（2）试猜想该数列的通项公式）试猜想该数列的通项公式234111,234aaa1nan 像这种由像这种由一系列特殊事例一系列特殊事例得出得出一般结论一般结论的的

3、推理方法，叫做推理方法，叫做归纳法归纳法。 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1 1）完全归纳法完全归纳法：考察：考察全体全体对象，得到对象，得到一般结论的推理方法一般结论的推理方法（2 2）不完全归纳法不完全归纳法，考察，考察部分部分对象，得对象，得到一般结论的推理方法到一般结论的推理方法归纳法归纳法分为分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳不完全归纳法法 问题问题 1:大球中有大球中有5个小球，如何证明它们个小球，如何证明它们都是绿色的？都是绿色

4、的？ 完全归纳法完全归纳法 不完全归纳法不完全归纳法 问题问题2:在数列在数列na中中, 试猜想该数列的通项公式。试猜想该数列的通项公式。1a1, 11nnnaaa(n ),*N数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例： 思考：归纳法有什么优点和缺点？思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：优点：可以帮助我们从一些具体事可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般规律例中发现一般规律缺点：缺点：仅根据有限的特殊事例归纳仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的得到的结论有时是不正确的 在使用归纳法探究数学命题时，必须在使用归纳法探究数学命题时，必须对对任何可

5、能的情况任何可能的情况进行论证后，才能判进行论证后，才能判别命题正确与否。别命题正确与否。 思考思考1 1：与正整数与正整数n n有关的数学命题能有关的数学命题能否通过否通过一一验证一一验证的办法来加以证明呢？的办法来加以证明呢？ 思考思考2 2：如果一个数学命题与正整数如果一个数学命题与正整数n n有关有关, ,我们能否找到一种既简单又有效的我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？证明方法呢？多多米米诺诺骨骨牌牌游游戏戏问题情境三问题情境三 这个游戏中，能使所有多米若骨这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？牌全部倒下的条件是什么？需满足以下两个条件：需满足以下两个条件： （1

6、）第一块骨牌倒下；）第一块骨牌倒下； （2）任意相临两块骨牌，前一块倒下）任意相临两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下一定导致后一块倒下.思考：思考：你认为条件（你认为条件（2 2）的作用是什么？）的作用是什么？ 思考：思考：能否类比这种方法来解决不完全归能否类比这种方法来解决不完全归纳法存在的问题呢？纳法存在的问题呢？你能证明这个猜想是正确的吗？引例引例 在数列在数列na中中, 1a1, 11nnnaaa(n ),*N（1）求）求2a，3a，4a的值；的值；（2）试猜想该数列的通项公式）试猜想该数列的通项公式234111,234aaa1nan任意相邻的两块牌，任意相邻的两块牌，前一块倒下一

7、定导前一块倒下一定导致后一块牌倒下致后一块牌倒下第一项成立第一项成立第第k k项成立，项成立，第第k+1k+1项成立项成立第一块第一块骨牌倒下骨牌倒下1234kK+1n=1时11a如果n=k时猜想成立即1kak那么当n=k+1时猜想也成立，即111=1+11kkakk猜想成立证明一个与正整数有关的命题步骤如下：证明一个与正整数有关的命题步骤如下：(2) 假假设当设当nk (kN*, kn0 ) 时命题成立时命题成立, 证明证明 当当nk1时命题也成立时命题也成立 完成这两个步骤后完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从就可以断定命题对从n0开始的所有正整数开始的所有正整数 n都正确都正确(1)

8、证明当证明当n取第一个值取第一个值n = n0 时命题成立时命题成立*0nN这种证明方法叫做这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法归纳奠归纳奠基基归纳递推归纳递推框图表示了数学归纳法的基本过程：框图表示了数学归纳法的基本过程：（1）验证：）验证：n=n0（n0N+）时命题成立。时命题成立。（2）证明：假设）证明：假设n=k（kn0） 时命题成立，时命题成立， 证明证明n=k+1时命题也成立。时命题也成立。结论：命题对所有的结论：命题对所有的n （n0N+， nn0）成立）成立归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推22222222221 2 31,62 3 512,63 4 7123,64 5 9123

9、4,6. 情境情境1.观察下列各等式，你发现了什么？观察下列各等式，你发现了什么？归纳归纳22222(1) (21)1234.6nnnn思考思考：你由不完全归纳法：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？若正确，如何证明呢？ 类比多米诺骨牌游戏证明猜想类比多米诺骨牌游戏证明猜想 的步骤为：的步骤为： (1)证明当证明当n=1时猜想成立时猜想成立 (2)证明若当证明若当n=k时命题成立，则时命题成立，则n=k+1时时命题也成立命题也成立.22222(1) (21)1234.6nnnn 完成了这两个步骤以后就可以证明

10、完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想上述猜想对于所有的正整数对于所有的正整数n都是成立的。都是成立的。相当于第一张牌能倒下相当于第一张牌能倒下 相当于使所有骨牌倒下的第相当于使所有骨牌倒下的第2个条件个条件222222(1)(1) 12(1) 11234(1)6kkkkk目标：证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边, ,等式显然成立。等式显然成立。例例1 1 证明：证明：递推基础递推基础递推依据递推依据22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1) (21)12346kkkk2222221234(1)kk假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式

11、成立，即那么那么, ,当当n=k+1n=k+1时，有时，有即当即当n=k+1n=k+1时时, ,等式也成立。等式也成立。综上综上可知，对任何可知，对任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。凑结论凑结论2(1) (21)(1)6kkkk(1)(1) 12(1) 16kkk从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设变式训练变式训练1：2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) )那么，当那么，当n

12、=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 ,因此，对于任何因此，对于任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。缺乏缺乏“递推基础递推基础”事实上，我们可事实上，我们可以用等差数列求以用等差数列求和公式验证原等和公式验证原等式是不成立的！式是不成立的！ 11111=(1)()()22311111nnnnnnk1左 边， 所 以时 等 式 成 立 。*111()1 22 3(1)1nnNnnn这不是这不是

13、数学归纳法数学归纳法证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 212111) 1(1321211kkkk假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即21111右边右边= 此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,综上综上 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 变式训练变式训练2：缺乏缺乏“递推依据递推依据”证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 21211*111(2)()1 223(1)1nnNnnn1) 1(1321211kkkk11111 22 3(1)(1) (2)111 (1) (2)(1) 1kkkkkkkkkk 这这才才

14、是是数数学学归归纳纳法法假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即21111右边右边= 此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.综上综上 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与正整数正整数有关命题的步骤是：有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结论正确； 10 nn0n （2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确 )N(0nkkkn 且且1 kn

15、递推基递推基础础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”“综合（综合（1）（）（2），），”不可少！不可少！注意注意:数学归纳法使用要点：数学归纳法使用要点： 两步骤两步骤,一结论。一结论。 (2)数学归纳法证题的步骤：数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论两个步骤，一个结论； (3)数学归纳法优点：即克服了数学归纳法优点：即克服了完全归纳法完全归纳法的繁杂的繁杂的缺点，又克服了的缺点，又克服了不完全归纳法不完全归纳法结论不可靠的不足。结论不可靠的不足。 (4)数学归纳法的基本思想：运用数学归纳法的基本思想：运用“有限有限”的手的手段来

16、解决段来解决“无限无限”的问题的问题 (1)数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数学命有关的数学命题的重要方法题的重要方法递推思想、递推思想、类比思想、归纳思想类比思想、归纳思想要点：两步骤一结论要点：两步骤一结论思考： 步骤步骤 (1) (1) 中中n n取的第一个值取的第一个值n n0 0一定是一定是1 1吗？吗？为什么？为什么？ 举例说明：举例说明：用数学归纳法证明用数学归纳法证明 n边形的边形的对角线的条数是对角线的条数是32n n0n ？此时n取的第一值 分析下列各题用分析下列各题用数学归纳数学归纳法法证明过程中的错误：证明过程中的错误：（1）2+4+6+8

17、+2n=n2+n+1(n N*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) )那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 ,因此，对于任何因此，对于任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。缺乏缺乏“递推基础递推基础”事实上，我们可事实上，我们可以用等差数列求以用等差

18、数列求和公式验证原等和公式验证原等式是不成立的！式是不成立的！这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1 223(1)1nnNnnn没有用上没有用上“假假设设”，故此法，故此法不是数学归纳不是数学归纳法法请修改为数学请修改为数学归纳法归纳法证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 212111) 1(1321211kkkk假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式

19、均正确原等式均正确. 11=1+12右边 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k 即当即当 n=k+1时命题正确。时命题正确。 综上综上(1)(2)可知，当可知，当 ，命题正确，命题正确。 nn = 2111)1(31 kkk证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk1)当当n=1时，左边

20、时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 11 12 23 33 3从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论（3）（纠错题纠错题）课本）课本P87P87 T3 2nn2(n N*)证明证明 ：当当n=1n=1时，时，2 21 1112 2, ,不等式显然成立。不等式显然成立。假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即2 2k kkk2 2, ,那么当那么当n=k+1n=k+1时，有时，有2 2k+1k+1=2=2 2 2k k=2=2k k+2+2k kkk2 2+k+k2 2 k k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1

21、=(k+1)2 2. .这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时不等式也成立。时不等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可知对任何），可知对任何n n N N* *不等式不等式都成立。都成立。虽然既有虽然既有“递推基础递推基础”，又用到假设，又用到假设（“递推依据递推依据”），但在证明过程中出现），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。时不等式就不成立。练习巩固练习巩固 n n+ +2 22 2n n+ +1 1* *- -+ + + += =a a 1 1, ,n nN N

22、1 11 1- -a a1 1+ +a aa aa aa a.1、 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：“ ”在验证在验证 n=1n=1成立时，左边计算所得的结果是（成立时，左边计算所得的结果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1+a1+a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a a2.2.已知已知: ,: ,则则 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: 131.2111)( nnnnf)1( kf1)1(31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431)( KK

23、kfCC3. . 用数学归纳法证明用数学归纳法证明: 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 4、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明： 2)1()1()1(4321121222 nnnnn5求证求证:当当nN*时，时，nnnnn212111211214131211 练习练习 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 2*1 3 5(21)().nn n N 证明证明（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立，等式成立21 3 5(21) 2(1) 1 (1)kkk 目 标 ：这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式

24、也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何正整数），可知等式对任何正整数n都成立都成立（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即21 3 5(21).kk 递推基础递推基础递推依据递推依据2221 3 5(21) 2(1) 1(2(1) 121(1)kkkkkkk 那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，3. .用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时

25、命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。 nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 11 12 23 33 3练习巩固练习巩固 4、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明2222121(1)1234( 1)( 1)2nnn nn 证明证明: (1)当当n=1n=1时，左边时，左边=1,=1,右边右边= =1. = =1. 命题成立命题成立 )221()1(1 n(2)(2)假设假设n=kn=k时命题正确，即时命题正确，即 2222k-12k-12222k-12k-1k(k+1)k(k+1)1 -2 +3 -4 +(-1)k =(-1)1 -2 +3 -4 +(-1)k =(-1)2 2则当则当 n=k+1n=k+1时时, , = + = + = = 2)1()1(1 kkk2)1()1( kk2 22 22 22 2k k- -1 12 21 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + +