概率论与数理统计(浙大版)第七章课件

1、第七章 参数估计关键词： 矩估计法 最大似然估计法 置信区间 置信度点估计区间估计222222 ,1 ; , 2,xXXf xex 参数估计是统计推断的基本问题之一，实际工作中碰到的总体它的分布类型往往是知道的，只是不知道其中的某些参数，例如：产品的质量指标 服从正态分布，其概率密度为：但参数的值未知，要求估计，有时还希望以一定的可靠性来估计 值是在某个范围内或者不低于某个数。参数估计问题就是要求问题的提出：通过样本估计总体分布所包含的未知参数的值。参数估计的两种方法：点估计法和区间估计法1 参数的点估计1212,1,2,niiiniXXXikXXXi 点估计的问题就是根据样本，对每一个未知参

2、数，构造出一个统计量，作为参数 的估计，称为。的估计量 点估计有两种方法： 矩估计法和最大似然估计法主要内容主要内容:一一. 矩估计法矩估计法二二.最大似然估计最大似然估计三三.估计量的评选标准估计量的评选标准一一. 矩估计法矩估计法矩思想矩思想: 利用样本矩作为相应总体矩的估计量利用样本矩作为相应总体矩的估计量 nikiXn11估计估计 kXE)( n , , ),;(11未知未知总体总体kkxfX 矩估计法矩估计法: 121212121;, 1,2, ,1 1,2, ,1121,212kkkvvknnvviiXF xXkE XE XvkXXXXvAXvkkAknA 设总体 的分布函数为是待

3、估计的未知参数，假定总体 的 阶原点矩存在，则有：对于样用样本矩作为总体矩的估计，即本其 阶样本：矩是：令 12122 ,12kkAkkk 解此方程即得的一个矩估计量一 矩矩估估计计法法：1210, ,nXXXXX 2222例：设总体 的均值 和方差都存在，且，均未知，是取自 的一个样本，试求的矩估计。 112221 1()niiXAAXXn2令解：先求总体矩：22212= , E XE XD XEX22121111, nniiiiAXXAXnn再求样本矩： 1122 01 0 0 ,nXxxf xXXXX例 ：设总体 的密度为：为未知参数，其他，为取自 的样本，求 的矩估计。 1=E Xxf

4、 x dx解：110 xdx1X11=AE XX令即21XX二、二、 最大似然估计法最大似然估计法 最大似然估计法是在最大似然估计法是在总体的分布类型已知总体的分布类型已知的的条件下所使用的一种参数估计方法条件下所使用的一种参数估计方法. 它首先是由德国数学家它首先是由德国数学家高斯高斯在在1821年提出的年提出的 . GaussFisher然而，这个方法常归功于然而，这个方法常归功于英国统计学家英国统计学家费歇费歇 .费歇费歇在在1922年重新发现了这一方法，年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质并首先研究了这种方法的一些性质 .最大似然原理：最大似然原理：一个随机试验有若干个

5、可能结一个随机试验有若干个可能结果果A,B,C,。若在一次试验中，结果。若在一次试验中，结果A发生，发生，则一般认为试验条件对则一般认为试验条件对A最有利最有利，即，即A发生的发生的概率概率 最大最大)/( AP条件条件? ,11 , 99 1 , 1 99 ,问最有可能从何箱取问最有可能从何箱取已知取到红球已知取到红球球球箱从中任取箱从中任取任取任取黑黑红红乙乙黑黑红红甲甲如如 0.99)/( 甲甲红球红球P0.01)/( 乙乙红红球球P自然，认为从甲箱取更合理自然，认为从甲箱取更合理最大似然估计法：最大似然估计法：又如，兔龟赛跑，得第一名的最有可能是谁？又如，兔龟赛跑，得第一名的最有可能是

6、谁？（1）X-离散型，离散型，已知已知 X的分布的分布未未知知 ),()(xpxXP 样本样本 取到观测值取到观测值),(21nXXX),(21nxxx事件事件A),()(2211nnxXxXxXPAP )()()(2211nnxXPxXPxXP 独立独立Xi与与X 同分布同分布 niinxpxpxpxp121),(),(),(),( )()()(21nxXPxXPxXP 对给定对给定的样本值的样本值 niixp1),( ),.,(21nxxx niixpL1);()( 即即是参数是参数 的函数，称为的函数，称为似然函数似然函数，记做，记做 ).( L),( ixp),( xp改改ni, 2

7、, 1 结构：结构：n 项连乘，总体分布项连乘，总体分布)( L, ),()(变变而而变变随随 LAP A已经发生，由最大已经发生，由最大似然原理，似然原理， 达到最大，所以达到最大，所以 的最合理的最合理估计值估计值 应满足：应满足： 为最大值为最大值)( L定义定义 对给定的样本值对给定的样本值 ，若，若nxxx,21满满足足),(21nxxx )(max)( LL 1212 : ( ,) (,)nnx xxXXX称为 的最大似然估计值为 的最大似然估计量如何求如何求 ？即求？即求 的最大值点问题的最大值点问题 )( L方法一方法一: 若若 为可导函数为可导函数)( L),( ,)( nX

8、XXddL210 得得到到解解方方程程回忆：回忆：(1) 单调性相同，从而单调性相同，从而最大值最大值点相同点相同.)(ln, 0)(xfxf niixpL1);()()2( n项连乘项连乘, 求导麻烦求导麻烦)(ln Ln项相加，求导简单项相加，求导简单方法二：方法二： , 0)(ln 得得到到解解方方程程 dLd从而，从而，的的最最大大值值点点最最大大值值点点就就转转为为求求求求的的 )(ln )( LL对数似然函数对数似然函数),(),(),(21 nxfxfxf niixf1),( （2）连续型总体似然函数的求法）连续型总体似然函数的求法设设X为连续型总体，其概率密度为：为连续型总体，

9、其概率密度为：)()()(2121nXXXxfxfxfn ),(21nxxxf 对来自总体的样本对来自总体的样本 ， 其观测值其观测值为为 ，作为与总体，作为与总体X同分布且相互同分布且相互独立的独立的n维随机变量，样本的联合概率密度为维随机变量，样本的联合概率密度为:),(21nxxx),(21nXXX);( xf 其中其中 未知未知 于是，样本于是，样本 落入点落入点),(21nXXX),(21nxxx邻域内的概率为邻域内的概率为 ，由最大似然原，由最大似然原理，最合理的理，最合理的 的估计值的估计值 应该是使应该是使iniixxf 1),( iniixxf 1),( 达到最大，由于达到最

10、大，由于 是不依赖于是不依赖于ix 的增量，所以我们只需求使的增量，所以我们只需求使似然函数似然函数 niixfL1),()( 达到最大达到最大求求 的步骤：的步骤： , 0)(ln )3()(ln )2()( )1(得到得到解方程解方程取对数取对数写出写出 dLdLL例例1 : 设总体设总体X的分布律为：的分布律为：0p1, p未知未知 , 求参数求参数p 的最大似然估计量的最大似然估计量.X01pk1-pp解解:总体总体X的分布律为：的分布律为：.1 ,0,)1(1 xppxXPxx 设设(X1,X2,Xn)是来自总体是来自总体X的样本。的样本。似然函数为：似然函数为：iiXniXpp 1

11、1)1( niiniiXnXpp11)1 ()1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii 0)(111)(ln11 niiniixnpxppLdpd niipXPpL1),()(解得解得p的最大似然估计量为：的最大似然估计量为： niixnp11 niiXnp11说明：说明：p的最大似然估计值为：的最大似然估计值为：解：解： 的似然函数为：的似然函数为： niiniiXXfL111);()( 121)( nnXXX)10( iX取对数取对数 niiXnL1ln)1(ln)(ln ni 1例例2: 设设(X1,X2,Xn )是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本,0, 010

12、,);(1未未知知其其中中其其它它 xxxfX求求的最大似然估计量的最大似然估计量01 niiXndLdln)(ln 求导并令其为求导并令其为0从中解得从中解得,ln1 niiXn 即为即为的最大似然估计量。的最大似然估计量。 推广：推广：未未知知kkxfX , ),;(11111( ,)(;,)nkikiLf XkkLL ,0ln0ln 11得到得到解方程解方程 例例3:,0,),(2未未知知其其中中 NX的最大似然估计量的最大似然估计量给定一组样本给定一组样本 , 求求 ),(21nXXX2, 22()2211( ,)2iXniLe 2211()2222(2 )()niinnXe解解222

13、211ln ( ,)ln(2 )ln()()222niinnLX 2122241ln12()02ln1()022niiniiLXLnX 2211 ,()niiXXXn解得26120,0 ,nXx xx例4：设总体 服从上的均匀分布，未知， 试由样本求出 的最大似然估计和矩估计。 1 最解：大似然估计 1 0;0 xXf x因 的概率密度为：其它 121 0,0 nnx xxL故参数 的似然函数为：其它 0,Ldlnnd 由于不能用微分法求:L从义发以下定出求 120,innxxmax x xx因为故 的取值范围最小为 1LnnnLxLxL又对的 是减函数， 越小， 越大，故时， 最大；101=

14、2E XxdxX由 2 矩估计 12,LnnXmax x xx所以 的最大似然估计量为2X27,0,2 X123例5：设总体 的概率分布率为：其中未知21-3现得到样本观测值2，3，2，1，3，求 的矩估计与最大似然估计。 1 矩估计解：1=kkE Xx p1 =E(X)=X令352223 (1 32) 2.2X 0.32 2 最大似然估计( )(2)(1 32)(2) (1 32)L32116(23 )ln ( )ln163ln2ln(23 )L ln ( )36023dLd0.4三、三、 衡量估计量好坏的标准衡量估计量好坏的标准 的点估计量的点估计量 一般是不唯一的一般是不唯一的, 如何选

15、择好如何选择好的的 ? 首先我们要对估计量提出衡量其好坏首先我们要对估计量提出衡量其好坏的标准的标准. 标准标准: 无偏性无偏性, 有效性有效性, 一致性一致性1、无偏性、无偏性的的无无偏偏估估计计量量。为为则则称称定定义义：若若 ,),(21nXXXE 即即 取值在真值取值在真值 附近来回摆动附近来回摆动 nnXEnXnEXEniinii1)(1)1()(11证明证明: (1) niXEXEi,21 的的无无偏偏估估计计量量。是是的的无无偏偏估估计计量量都都是是试试证证：给给定定样样本本但但未未知知存存在在总总体体例例22212121 SXXXXXXXXDXEXnn (2) , (1) ),

16、( , ,: 6 niiXXnESE12211)() 2( niiiXXXXEn122)2(11 niiXXEn1211 2122211XnXnXEnnii niiXnXEn12211 niiXnEXEn122)(11） 22222211 )(nnnnnSE22)()()(XEXDXE 利利用用公公式式：2222)()()( iiiXEXDXE),()()()(22_22_2_nnNXXEXDXE 32 72LnXX例 ：检验例4的矩估计量与最大似然估计量的无偏性。 0, ,2XUE X解：1,nXXX由于与 同分布 2EEX12niiE Xn22nn 2X因此是 的无偏估计 LnnXX为考察

17、的无偏性，先求的分布，5由第三章第 节知： ,nnXFxF x 1 0 0 nnnXnxxfx于是 其它10nnx nxdx LnEE X因此有：1nn LnX所以是有偏的。21, 设设是是的两个的两个无偏估计量无偏估计量，若，若)()(21 DD 2、有效性、有效性有有效效。比比则则称称21 .,)(,_的无偏估计量的无偏估计量都是都是与与 XXXEXE11 ._有有效效比比故故又又由由于于1212XXXDnXD 341121280, ,12, 72nXUXXXnXXnn(n)例 ：设总体是取自 的样本，已知 的两个无偏估计 为见例，判别 与哪个有效时 ？ 22142123DDXnn解： 1

18、 0 0 nnnXnxxfx由 其它 222221nnnDE XE Xn于是 221221 32DDnn n因为比 更有效 1220 2nnnnxnE Xdxn22n n 7nE X根据例 结果： 1nn 相合性相合性( (一致性一致性) )1,0, 0nnnnnXXnlim P 设为参数 的估计量， 若对于任意，当时， 依概率收敛于 ， 定义：则称为 即的相有：成立， 合估计量或一 致估计量 12,EE证： 11290, ,1 2nnXUXXXnXXn例 ：设总体是取自 的样本， 证明：和是 的相合估计。0,n 由契比雪夫不等式，当时， 112DP有：2203n12所以 和都是 的相合估计。

19、 21,3Dn222Dn n222DP同理：2220n n432010年数学145作业题P173 ： 2(1)(3)，3(1)(3)， 10，12跳转到第一页463 区间估计区间估计点估计点估计:的真值的真值的真值的真值缺点：无法确定误差。缺点：无法确定误差。区间估计：区间估计： 估计估计的真值所在的区间。的真值所在的区间。（）12（）12（）12（）12（）12（）12（）12（）12（）12（）12最大误差：最大误差：12跳转到第一页47成立，那么称随机区间成立，那么称随机区间 为参数为参数 的置信度为的置信度为 1 的（双侧）置信区间。的（双侧）置信区间。 设设 为总体分布的一个未知参数

20、，为总体分布的一个未知参数，X1,X2,Xn是来自是来自总体的一个样本，如果对于给定的总体的一个样本，如果对于给定的1 （0 1）能由样本确定出两个统计量：能由样本确定出两个统计量：n2122n2111X,.X,X,X,.X,X21,（双侧）置信下限（双侧）置信下限 （双侧）（双侧）置信上限置信上限 置信度置信度1、定义、定义121(71)P使使的真值的真值（）12一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念跳转到第一页482.说明说明通常通常取得很小，因而取得很小，因而落在区间落在区间 内的概率很大。一般地，内的概率很大。一般地，越小，则越小，则落在区间落在区间 内的可靠程度越大，但在样本容

21、量相同的内的可靠程度越大，但在样本容量相同的情况下，这个区间长度也就越大，从而估计的误差也就越大。情况下，这个区间长度也就越大，从而估计的误差也就越大。21,21,置信区间的意义：当样本容量置信区间的意义：当样本容量n固定时，做固定时，做N次抽样，得到次抽样，得到N组样本组样本观察值，从而得到观察值，从而得到N个置信区间。这个置信区间。这N个置信区间中，包含个置信区间中，包含的真值在的真值在其内部的约占其内部的约占100(1-100(1- ) ), ,例如，例如，N=1000,N=1000, =0.05,=0.05,则则10001000个置信区间个置信区间中大约有中大约有950950个包含个包

22、含的真值。的真值。问题问题如何确定？如何确定？21,一般从一般从的点估计量出发，减去某个量构成，加上某个量的点估计量出发，减去某个量构成，加上某个量构成。构成。12的真值的真值12121P跳转到第一页49 单侧置信区间单侧置信区间11111 7 1, 7,1, 2,1,nnXXPXX 为 的单侧置信下限在以上定义中，若将式改为：则称随机区间是 的置信度为单侧置 的 。信区间 。2221172,1, , , 731nnXXPXX 又若将式改为：则称随机区间是 的置信度为 为 的的单侧置信上限单。侧置信区间 。跳转到第一页50复习：复习：常用的统计量分布常用的统计量分布n 12222221,0,1

23、 1,2, 11nnniiiXXXNinnn设随机变量X相互独立，X 则称 服从自由度为 的， 定 指式右端包含分布记为自的独立变度义：由量的个数2分布2分布的一些重要性质： 22221. ,2nEn Dn设则有 22211221212122. ,YnYnY YYYnn设且相互独立，则有 2n02分布的分位数x( )f x跳转到第一页51n 20,1 ,NYnXTntTtYnY n设X并且X相互独立， 服从自由度为 的 分布，记 则称随变量为机定义： , 01,tnf t n dttnt ntt对给定的称满足条件的点为分布的上。分布的上 分位数可位数查分分布表t分布 tn f xx0t分布的分

24、位数10n 313x( )f x1n 4n 2021t分布的密度函数1( )( )tntn t分布的极限分布是标准正态分布跳转到第一页52 221211212212, ,/,/nYnYX nFn nFFF n nY nnn设X且X独立， 则称随机变量服定义：从自由度的 分布，记为 其中 称为第一自由度， 称为第二自由度F分布12211( ,),(,)FF n nF n nF性质：则111221( ,)(,)Fn nF n n0 x12 f x21,20nn 225n 210n F分布的密度函数0 x12,F n n( )f xF分布的分位数复习四个定理：正态总体统计量的分布复习四个定理：正态总

25、体统计量的分布定理定理1 设总体设总体的简单随机样本。的简单随机样本。为来自总体为来自总体XXXXNXn, ),(212 2( ,)XNn标准化，得到标准化，得到)1 , 0(/NnXU (1)/Xt nSn定定理理三三：跳转到第一页54222111 .( )niiXn定定理理二二：（）2(2),X S 相相互互 立立2222211(1)(3)(1)niinSXXn121: ()()()0nnXXXXXX受到受到1个约束，独立的变量个数为个约束，独立的变量个数为n-1独独跳转到第一页551222111122221222211222121222121222212 , 1 1,12(0,1), 3

26、 nnXXYYNNSSSFF nnSXYNnnX 设样本和分别来自总体和 并且它们相互独立，其样本方差分别为则：当(未知数)理4时，定：121212221122221221111 ,2WWWWYt nnSnnnSnSSSSnn其中跳转到第一页56二、正态总体未知参数的区间估计二、正态总体未知参数的区间估计1.一个正态总体的情况一个正态总体的情况是来自总体的样本。未知，或已知总体n2122XX,X),(NX1) 均值均值的置信区间的置信区间 2 已知已知 ，的置信区间的置信区间的真值的真值121P的一个无偏估计量是什么？的一个无偏估计量是什么？X样本均值前面遇到过的哪个统计量既含有又含有前面遇到

27、过的哪个统计量既含有又含有且分布已且分布已知？知？XXn/X) 1 , 0(N跳转到第一页57 (x)(x)2Z2Z1ZXZP22nZXP2nnZXnZXP221所以，所以，的的1置信区间为置信区间为)nZX,nZX(2212跳转到第一页58ZXZP332n3Z32Z1nZXnZXP3231nZXnZX323,得置信区间得置信区间置信度为置信度为1-的置信区间不是唯一的！的置信区间不是唯一的！ 在置信度相同的情况下，置信区间的区间长度越小越好！在置信度相同的情况下，置信区间的区间长度越小越好！注注可以证明，当总体的概率密度函数为偶函数时，采用对可以证明，当总体的概率密度函数为偶函数时，采用对称

28、的上称的上分位点所得的置信区间长度最小。分位点所得的置信区间长度最小。跳转到第一页59 2 未知，未知，的置信区间的置信区间当当未知时未知时,用用的无偏、一致估计量的无偏、一致估计量样本方差样本方差n1i2i2XX1n1S来代替来代替, 从而得一新的统计量从而得一新的统计量.) 1(/ntnSXT2tTP1tn/SXP212tnSXP1tnSXtnSXP22这样就得到了置信度为这样就得到了置信度为1 的置信区间的置信区间)tnSX,tnSX(22跳转到第一页602） 方差方差2 的置信区间的置信区间若若 已知已知,可用可用 ），（ 10Nn/XXDXZ 未知时未知时,可用可用22S1nY11n

29、S1n1nP22222211n21n221n2212可得可得 2 的置信度为的置信度为(1- )的的置信区间为置信区间为:1nS1n1nS1n2212222，1-?2思考题:方差的置信度的置信上限是什么221:(n-1)S.(1)n答案跳转到第一页61单个总体的情形总结：单个总体的情形总结： 2 2已知已知, ,估计估计 2 2未知未知, ,估计估计 );()(11222 nSnY ).(1 ntnsXT ),(/10NnXU 用用用用 未知未知, ,估计估计 2 2用用3)求求 的置信度为的置信度为(1 )的置信区间的步骤的置信区间的步骤:根据根据Z的分布的上的分布的上 分位点分位点,解出解

30、出 的置信区间的置信区间.,21寻求一个含有寻求一个含有 (而不含其它未知参数而不含其它未知参数)的样本函数的样本函数Z=Z(X1，X2Xn), ), 且且Z的分布已知的分布已知;22(,)XZXZnn22(,)SSXtXtnn22221221111nSnSnn，跳转到第一页62已知样本值为已知样本值为(3.3,-0.3,-0.6,-0.9)(3.3,-0.3,-0.6,-0.9)，求，求 (1) (1) 当当 =3=3时，正态总体均值时，正态总体均值 的置信度为的置信度为9595的的置信区间；置信区间； (2) (2) 当当 未知时，正态总体均值未知时，正态总体均值 的置信度为的置信度为95

31、95的的置信区间。置信区间。解解：由样本值计算可得由样本值计算可得965. 1,375. 0sx(1) (1) 当当 =3=3时，时，) 1 , 0(/NnXU因为因为故故95. 0205. 0205. 0ZUZP95. 096. 12/396. 1XP95. 094. 294. 2XXP所以，均值所以，均值 的置信度为的置信度为9595的的置信区间为置信区间为代入代入样本值可得样本值可得)94. 2,94. 2(XX)315. 3,565. 2(请您注意学习解题过程的写法请您注意学习解题过程的写法！请准备好计算器和练习本请准备好计算器和练习本05. 0,95. 01跳转到第一页63(2)(2

32、)当当 未知时，未知时，).()(1 ntSnXT 由由知知95020502050. tTtP9501823296511823./. XP95012631263. XXP 所以，均值所以，均值 的置信度为的置信度为9595的的置信区间为置信区间为).,.(12631263 XX代入代入样本值可得样本值可得).,.(50137512 查表查表可得可得182331402502050.)()(. tt跳转到第一页64例例2: 用某仪器间接测量温度用某仪器间接测量温度,重复测量重复测量5次次,所得温度所得温度值为值为1250。, 1265 。, 1245 。, 1260 。, 1275 。试问真值试问

33、真值在什么范围内在什么范围内?(置信度为置信度为95%) 分析分析:用随机变量用随机变量X表示温度的测量值表示温度的测量值,它通常是一个它通常是一个正态变量正态变量.假定仪器无系统误差假定仪器无系统误差,则则E(X)= 就是温度的就是温度的真值真值.设设XN( , 2),问题即为估计问题即为估计 的范围的范围( 未知未知)512245701511259:iiXXSX解339. 5455702nS7764242.)( t查查t分布表分布表( =0.05,自由度是自由度是n-1=4得得跳转到第一页65n温度真值的置信度为温度真值的置信度为95%的置信区间为的置信区间为n(1244.2, 1273.

34、8) 812732124433957762125933957762125922.,.,., nStXnStX 故故跳转到第一页66置信区间的含义：, 若反复抽样多次 每个样本值确定一个区间每个这样的区间或者包含 的真值 或者不包含 的真值。见下图10,0.05,95%0.01,99%在例 中 当即置信水平为时,20个区间中只有大约1个不包含 值； 当即置信水平为时,100个区间中将有99个包含 值；ba0 .9 90 .0 0 50 .0 0 5跳转到第一页672.2.两个总体的情形两个总体的情形1）两个正态总体均值差）两个正态总体均值差1-2的置信区间的置信区间222211,NY),(NX设

35、样本分别为样本分别为(X1，X2 Xn1 ), (Y1，Y2 Yn2 ) 1- 2)n,(NY)n,(NX22221211)nn,(NYX22212121)1 ,0(Nnn)YX(YX22212121标准化将跳转到第一页681Znn)YX(ZP22221212121Znn)YX(Znn)YX(P222212121222212122221212121222(),()XYZXYZnnnn跳转到第一页69 1 2, 2 2 都未知都未知,但但 1 2= 2 2= 2,均值差均值差 1 - 2 区间估计区间估计 1 2, 2 2都未知的一般情况都未知的一般情况)2(11)()(212121nntnnS

36、YXT此时，当此时，当n1, n2 都很大时（实用中大于都很大时（实用中大于50）均值差均值差 1 - 2 区间估计为区间估计为1212221111,wwXYstXYstnnnn跳转到第一页70 2）两个正态总体方差比）两个正态总体方差比 的置信区间的置信区间:12221一样一样12221第二个稳定第二个稳定102221第一个稳定第一个稳定现需找一个包含现需找一个包含,且分布为已知的统计量且分布为已知的统计量.2221方差比的意义方差比的意义:如比较两个灯泡厂如比较两个灯泡厂(寿命均值相等寿命均值相等)的质量哪个稳定的质量哪个稳定.222122221212222121)( ,)(ZnsnsYXZnsnsYX跳转到第一页7122222121/S/SF1n1nF21 ，1, 12121nnF1, 1212 nnF11n, 1nF/S/S1n, 1nFP21222212221212122112221221212211,1,11,1SSSFnnSFnn跳转到第一页72要求要求:掌握方法掌握方法,而不是死记硬背而不是死记硬背明确置信区间的实际意义明确置信区间的实际意义,能结合能结合到实际问题中去到实际问题中去跳转到第一页73设有两个工厂独立地生产同