模型参考自适应控制(建大)

1、回顾F自适应控制的基本思想是：在控制系统设计时，不断地测量受控对象的状态，性能或者参数，从而认识或掌握系统当前的运行状况，并将系统当前的性能指标与期望的指标进行比较，从而根据比较结果作出决策，来改变控制器的结构、参数或根据自适应的规律来改变控制作用，以保证系统运行在某种意义下最优或次优。F一般来说，自适应控制系统在反馈控制的基本回路上加上自适应机构构成。具有三方面的功能：F （1）在线辨识。F （2）决策控制。F （3）在线修正。F自适应控制系统主要分为两大类：F（1）模型参考自适应控制系统。F（2）自校正自适应控制系统模型参考自适应控制模型参考自适应控制 1 简介简介(Model Refer

2、ence Adaptive Control) MRAC 一类重要的自适应控制系统一类重要的自适应控制系统 - 模型参考自适应控制系统模型参考自适应控制系统 YpYme+_+R参考模型参考模型调节器调节器被控对象被控对象适应机构适应机构可调系统可调系统1. 可调系统可调系统 可变调节器可变调节器 + 被控对象被控对象2. 参考模型（代表系统希望的输出响应）参考模型（代表系统希望的输出响应）3. 比较器比较器 广义误差信号广义误差信号4. 自适应机构自适应机构 自适应律自适应律u自适应控制（模型跟随）自适应控制（模型跟随）- - 参考模型输出参考模型输出Ym(k)是可调系统的参考轨迹是可调系统的参

3、考轨迹- - 适应机构比较两者之差，确定自适应规律适应机构比较两者之差，确定自适应规律- - 改变调节器参数（参数自适应型），或产生一辅助输入信改变调节器参数（参数自适应型），或产生一辅助输入信号号(信号综合型信号综合型)- - 希望对象的动态输出跟踪参考模型的输出希望对象的动态输出跟踪参考模型的输出 YpYme+_+R参考模型参考模型调节器调节器被控对象被控对象适应机构适应机构可调系统可调系统u自适应辨识自适应辨识 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 1 简介简介可调系统- - 把对象放在参考模型的位置把对象放在参考模型的位置- - 适应机构根据适应机构根据e 改变可调系统的参

4、数改变可调系统的参数- - 当当e趋近于零时，可调系统模型收敛于被控对象的模型趋近于零时，可调系统模型收敛于被控对象的模型 被控过程 适应机构 可调系统 R ym yp e + _ u 分类分类第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 1 简介简介可调系统 并联型并联型 串联型串联型 串并联型串并联型 u 技术难点技术难点 设计自适应机构，确定自适应律设计自适应机构，确定自适应律 局部参数最优化方法局部参数最优化方法 利用波波夫超稳定性理论的设计方法利用波波夫超稳定性理论的设计方法 利用李雅普诺夫稳定性理论的设计方法利用李雅普诺夫稳定性理论的设计方法2 局部参数最优化设计方法局部参数最

5、优化设计方法第三章第三章模型参考自适应控制模型参考自适应控制 u 简介（以调节器的增益简介（以调节器的增益Kc作为可调参数的作为可调参数的MIT方法）方法） - 麻省理工学院于麻省理工学院于1958年提出的，因此也叫年提出的，因此也叫MIT方法方法- 最早提出、最早应用的一种方法最早提出、最早应用的一种方法- 理论简单，实施方便，可用模拟元件实现理论简单，实施方便，可用模拟元件实现- 实质是一个可调增益的系统实质是一个可调增益的系统u工作背景工作背景其中其中: nnnnnnnbsbsbsqasasassp - - - - -2211111)()( p(s)、q(s)已知已知 Km为常数，根据系

6、统希望的动态响应事先确定为常数，根据系统希望的动态响应事先确定第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法设参考模型为设参考模型为 ，对象模型为，对象模型为 )()(spsqKm)()()(spsqtKp- - 被控对象受扰，被控对象受扰，Kp(t)产生漂移，改变系统的动态性能产生漂移，改变系统的动态性能- - Kp(t)的变化是不可测的，其动态漂移将反映在过程输出的变化是不可测的，其动态漂移将反映在过程输出Yp上上- - 为了克服为了克服Kp的漂移而产生的影响，增加了一个可调增益的漂移而产生的影响，增加了一个可调增益Kc的的 调节器，补偿

7、调节器，补偿Kp漂移而产生的影响。漂移而产生的影响。 控制目标是：控制目标是： tdeJ02)( 为最小。为最小。u 设计问题设计问题 （最优化方法）（最优化方法）u 工作原理工作原理广义误差广义误差 e=Ym-Yp，目标：，目标： tdeJ02)( 为最小。为最小。按照最优化中的梯度法，按照最优化中的梯度法， KcJBKcKc 1)0(- - B1为常数为常数 tdKceeKcJ02 代入上式，代入上式， - - tBBdKceeBKcKc02122,)0( :Kce 灵敏度函数，反映参数变化灵敏度函数，反映参数变化对误差对误差e变化的大小，求解关键。变化的大小，求解关键。即即:KceeBc

8、K 2- - (2.1)pmyye- - 引入微分算子引入微分算子D，即，即: 222dtdDdtdD e的微分方程的微分方程:RDpDqKcKpKme - - )()()( (2.2) RDpDqKpKce - - )()( (2.3)()(DpDqKmRym 即即: KmRyDpDqm )()(代入代入(2.3)式，式， myKmKpKce- - (2.4)欲消去欲消去 ,)(/ )(DpDqRspsqKKKRspsqKKspsqKpcmpcm - - - - )()()()()()()(：求求Kce 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优

9、化设计方法代入代入(2.1)式式:myeBcK (2.5) 其中其中 KmKpBB2 为一系数。为一系数。 自适应律为一积分适应律：自适应律为一积分适应律： tmdyeBKctKc0)0()( (2.6) 系统构成框图：系统构成框图： ym)()(sPsKmqKcKp)()(spsq*B*+-eypKc(0)+R需要两个乘法器和一个积分器，可用模拟元件构成。需要两个乘法器和一个积分器，可用模拟元件构成。 当其它参数，如当其它参数，如T、发生变化时，也可仿效这种方法设计，发生变化时，也可仿效这种方法设计，关键是求出关键是求出 。 JTJ,KceeBcK 2- - (2.1)myKmKpKce-

10、- 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法假设：可调系统的参数已位于参考模型参数的某个邻域内。假设：可调系统的参数已位于参考模型参数的某个邻域内。 设参考模型为：设参考模型为： niiimiiismmsssRysG10)(1)()( 可调系统为：可调系统为： niiimiiisppsssRysG10)(1)()( 广义输出误差为广义输出误差为: e(t)=ym(t)-yp(t)， 10)(212ttdeJ 目标函数为：目标函数为： 设计目标是寻求设计目标是寻求 ),(),(teteii 的调节规律，以使的调节规律，以使J 最小。最小。

11、按照单参数的调节规律，可导出下列适应律：按照单参数的调节规律，可导出下列适应律： - - - - miKyeKeeKniKyeKeeKiipiiiiiipiiii， ,自适应律的实现问题仍然是灵敏度函数的实现问题。自适应律的实现问题仍然是灵敏度函数的实现问题。引入微分算子：引入微分算子： 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法rDyDyimiipiniip)()(01 - - 对上式两边分别求偏导，可得：对上式两边分别求偏导，可得： - - - - - - ipjnjjiipipjnjjpiipyDrDyyDyDy 11即：即： -

12、- miDrDyniDyDyjnjjiipjnjjpiip111111， 同理可得：同理可得： 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法 - - - - - - - -miDrDyniDyDyjnjjiipjnjjpiip1111111111， 可见：可见： - - - - - -ipjnjjiipipjnjjpiipyDrDytyDyDyt 111111，推广得到：推广得到： - - - - - -miytytytyniytytytypiipipippiipipip0,1,022111221 多项式多项式第三章模型参考自适应控制第三章

13、模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法 niiiDDF11)( 称作称作灵敏度滤波器灵敏度滤波器。 问题：问题：实现灵敏度函数时，实现灵敏度函数时，F（D）必须已知。可系数）必须已知。可系数i 却未知，却未知，根据假设，根据假设， i 已位于已位于 i 的某个邻域中，因此可用的某个邻域中，因此可用 i 代替代替 i 得到：得到：)(1)(1DFDDFiini )(DF称为伪灵敏度滤波器。称为伪灵敏度滤波器。 u 简单直观，但在某些情况下，不能保证设计系统的全局稳定性简单直观，但在某些情况下，不能保证设计系统的全局稳定性u 考察这种方法的稳定性可观察广义误差信号的稳

14、定性考察这种方法的稳定性可观察广义误差信号的稳定性第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法例：某一二阶系统的例：某一二阶系统的传递函数传递函数为为:1)()()(122 sbsbKpspsqKsGp广义误差方程广义误差方程为为: RKKKeebebcpm - - )(12 自适应律自适应律为：为： myBecK pmmmmmcpppppyyeRKyybybRKKuKyybyb- - 1212第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法广义误差方程广义误差方程为为: RKKKeebeb

15、cpm - - )(12 自适应律自适应律为：为： mBeycK R为一阶跃信号，即为一阶跃信号，即R(t)=A1(t)， 当当t ，ym 达到稳态，此时，达到稳态，此时，ym=Km A 此时，此时，e 的动态方程为的动态方程为( 把把 cK代入，方程两边对代入，方程两边对t 求导求导)， AABeKKABeyKRKKeebebmpmpcp- - - - - - 12即：即： 0212 eAKBKeebebmp 根据劳斯稳定判据，列出劳斯行列式根据劳斯稳定判据，列出劳斯行列式:第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 2 局部参数最优化设计方法局部参数最优化设计方法得知，当得知，当 2

16、12bbAKBKmp 时，系统不稳定。时，系统不稳定。 作业：实验作业：实验2 用局部参数最优化方法设计用局部参数最优化方法设计MRAC 0122112122301sbAKBKbbsAKBKbsbsmpmp- -10212 eAKBKeebebmp 实验二实验二 用用MIT方法设计模型参考自适应控制系统方法设计模型参考自适应控制系统1. 1. 要求要求某一被控对象某一被控对象: :参考模型参考模型: :用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，了解这种设计方用局部参数最优化方法设计一个模型参考自适应系统，了解这种设计方法的优缺点。设可调增益的初值法的优缺点。设可调增益的初值Kc(0)=0

17、.2Kc(0)=0.2，给定值，给定值r(t)r(t)为单位阶跃信号为单位阶跃信号，即，即r(t)=Ar(t)=A1(t)1(t)。122)()()(2 ssspsqKsGpp121)()()(2 ssspsqKsGmm2. 2. 步骤步骤q 把连续系统离散化把连续系统离散化( (采样时间可取采样时间可取0.1)0.1)。q 编制并运行这个系统的计算机程序编制并运行这个系统的计算机程序( (注意调整注意调整B B值，使系统获得较好的自适值，使系统获得较好的自适应特性应特性) )。q 记录记录y ym m、y yp p的曲线的曲线; ; 记录记录k kp pk kc c的曲线的曲线; ;记录广义

18、输出误差记录广义输出误差e e的变化曲线。的变化曲线。q 在参数收敛后，让在参数收敛后，让K Kp p=2=2变为变为K Kp p=1=1，重新观察，重新观察K Kp pK Kc c及及e e的变化曲线。的变化曲线。q 找出在确定的找出在确定的B B值下，使系统不稳定的值下，使系统不稳定的A A值值( (阶跃信号的幅值阶跃信号的幅值) )，并与用劳斯，并与用劳斯稳定判据计算的结果比较。稳定判据计算的结果比较。复习：李雅普诺夫稳定性定理复习：李雅普诺夫稳定性定理第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理一一 李雅普诺夫意义下的稳定性李雅普诺夫意义下

19、的稳定性设系统的状态方程为设系统的状态方程为: x为系统状态，为系统状态，t 为连续时间变量。为连续时间变量。如果状态空间存在某一状态如果状态空间存在某一状态Xe，使下式成立，使下式成立:则则Xe为系统的一个平衡点。为系统的一个平衡点。设状态空间的原点为系统的平衡点，即有设状态空间的原点为系统的平衡点，即有: f(0，t)=0),(txfx 0),( eextxf(1) 李雅普诺夫意义下的稳定性概念李雅普诺夫意义下的稳定性概念用用表示系统平衡点表示系统平衡点(状态空间原点状态空间原点)附近附近的一个球域，而用的一个球域，而用表示另一球域。表示另一球域。 复习：李雅普诺夫稳定性定理复习：李雅普诺

20、夫稳定性定理第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理 平衡状态是稳定的，且从出发的任何轨迹总不脱离，且最终收敛于平衡点。如果从状态空间所有点出发的轨迹都能保持渐进稳定性，即占有整个状态空间，则称平衡点在大范围内是渐进稳定的，或称是全局渐进稳定。 如果在TT0后，从出发的任何轨迹脱离了，则称系统的平衡点是不稳定的。 从域出发的任何轨迹总不脱离.ifx(t0)Thenx(t)(2) 渐进稳定性渐进稳定性(3) 不稳定不稳定(1)稳定性概念稳定性概念复习：李雅普诺夫稳定性定理复习：李雅普诺夫稳定性定理第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制

21、李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理设设V(X)是定义在状态空间上的一个标量函数。是定义在状态空间上的一个标量函数。4.半负定半负定 V(x)为半正定，为半正定，V(x)为半负定为半负定 5. 不定不定 不属于上面任何一类的函数不属于上面任何一类的函数V(X)称为不定的。称为不定的。 0000)(.1xxxV正定正定 0000)(.2xxxV负定负定 00000)(. 3xxxV某些点某些点半正定半正定二二 函数的正定性函数的正定性复习：李雅普诺夫稳定性定理复习：李雅普诺夫稳定性定理第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理在稳定性分析中起重

22、要作用的一类函数就是二次型函数。在稳定性分析中起重要作用的一类函数就是二次型函数。 njinnnnnnjiijTxxppppxxxxppxxxV1,111111)()()(, 1,jinjippjiij 00011112221121111 nnnnppppppppp三三 二次型函数二次型函数V(X)正定的充要条件是正定的充要条件是P的所有的所有主子行列式均大于零主子行列式均大于零。即有。即有:如果如果P的所有顺序主子行列式均为非负，则的所有顺序主子行列式均为非负，则V(X)是半正定的。是半正定的。其中其中P为为实对称矩阵实对称矩阵，即，即 复习：李雅普诺夫稳定性定理复习：李雅普诺夫稳定性定理第

23、三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理例例2 判断判断V(X)的正定性的正定性jiijijppcxxxxxxxxxxxxxxxxV - - - - - - - - 3213213132212322211121412110)(422410)(所有主子行列式均大于零，因此所有主子行列式均大于零，因此V(X)是正定的是正定的017112141211003941110010 - - - - - 考虑某一系统：考虑某一系统： ),(txfx f(0,t)=0, (3.7) 原点为平衡点。原点为平衡点。 如果能找到一函数如果能找到一函数V(x,t)满足下列

24、条件满足下列条件: V(x,t)具有连续偏导数具有连续偏导数;V(x,t)是正定的是正定的;),(txV是半负定的。是半负定的。 沿方程沿方程(3.7)的轨迹的的轨迹的则称则称V(x,t)为系统的李雅普诺夫函数。为系统的李雅普诺夫函数。 定理定理1. 如果系统如果系统(3.7)式存在一李雅普诺夫函数，则原点是稳定的。式存在一李雅普诺夫函数，则原点是稳定的。定理定理2. 如果系统如果系统(3.7)式存在一李雅普诺夫函数，它的导数式存在一李雅普诺夫函数，它的导数),(txV是负定的，则原点是渐进稳定的。是负定的，则原点是渐进稳定的。复习：李雅普诺夫稳定性定理复习：李雅普诺夫稳定性定理第三章模型参考

25、自适应控制第三章模型参考自适应控制 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理对系统对系统 (X=0为平衡状态为平衡状态)在大范围渐进稳定的充要条件是在大范围渐进稳定的充要条件是: 对一个给定的实对称正定矩阵对一个给定的实对称正定矩阵Q，矩阵方程存在一个正定实对称矩阵解，矩阵方程存在一个正定实对称矩阵解P，即：，即：此时，此时， 就是系统的李雅普诺夫函数。就是系统的李雅普诺夫函数。只要只要A是稳定的，是稳定的，(其特征值均具有负实部其特征值均具有负实部)，则矩阵方程，则矩阵方程(3.8)对任对任 何正定矩阵何正定矩阵Q 有唯一解。有唯一解。Axx pxxT(3.8)pApAQT - -定理定理3

26、(线性定常系统稳定性定理线性定常系统稳定性定理)复习：李雅普诺夫稳定性定理复习：李雅普诺夫稳定性定理第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理P是正定的，系统在原点的平衡状态是在大范围内渐进稳定的。是正定的，系统在原点的平衡状态是在大范围内渐进稳定的。 - - - 21211110 xxxxIpApAT- - - - - - - - - - -1001111011102221121122211211pppppppp - - - - - - - - - -122012221222121112pppppp025. 115 . 05 . 05 . 10

27、5 . 1 )(1001)()(5 . 115 . 05 . 05 . 1)()(222121212122212121xxxxxxQxxxVxxxxxxxxpxxxVTT - - - - - - 例例4 判断下列系统的稳定性判断下列系统的稳定性最方便，设最方便，设Q=I (单位矩阵单位矩阵)，代入，代入 (3.8)式，即式，即将矩阵展开，可得联立方程组，将矩阵展开，可得联立方程组， 15 . 05 . 05 . 1p解出解出:验算验算P的正定性的正定性.李雅普诺夫函数：李雅普诺夫函数：3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC 第三章第三章模型参考自适应控制模型参考自适应

28、控制 (1) 一阶系统一阶系统系统的系统的参考模型参考模型:可调系统可调系统的模型：的模型： RKKyyTTsspRKyyTsqpcppmmm,1)(, 1)(广义误差广义误差 e 的微分方程：的微分方程： )()()(tKRtRKKKeeTpcm - - （3.1） 令令 K=Km-KcKp 试取一试取一李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数: V(e)正定。正定。 0,)(22 KeeV为常数为常数KKeeeV 22)( 由由(3.1)式，得式，得:)(tRTKTee - - 代入李雅普诺夫函数代入李雅普诺夫函数:KKRTeKTeeV 222)(2 - - 李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数第三章模型参考

29、自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC (1) 一阶系统一阶系统KKRTeKTeeV 222)(2 - - 第一项恒为负值第一项恒为负值 使后两项之和等于零使后两项之和等于零为负定为负定,( )V e为使为使 即即: 022 KKeKRT (3.2)( )V e为负定的，系统是渐进稳定的。为负定的，系统是渐进稳定的。 从从(3.2)式中求出适应律式中求出适应律:cKKpKKcKpKmKeRTK- - - - - - ， 1求出求出:TKpBBeRKc 1 其中：其中： tcceRdBKK0)0( (3.3)22)(KeeV 系统组成

30、结构图系统组成结构图: 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC (1) 一阶系统一阶系统局部参数最优化方法的自适应律局部参数最优化方法的自适应律: mBeycK teRdBKcKcBeRcK0)0( ymKcKp*B*+-eypKc(0)+R1 TsKm11 Ts1.对给定系统，列出它的广义误差方程对给定系统，列出它的广义误差方程;2.找出一正定函数找出一正定函数V 李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数;3.对对V，求其沿对象运动方程轨迹的导数，求其沿对象运动方程轨迹的导数;4.找到令其导数为负定的条件，并从中综合出自适应律。

31、找到令其导数为负定的条件，并从中综合出自适应律。总结总结用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC系统的步骤系统的步骤:(2) n阶可调增益的线性系统阶可调增益的线性系统第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC参考模型的参考模型的传递函数传递函数为为: - - - - -nnnnnnnmbsbsbsqasasasspspsqK111111)()()()(1. 广义误差的微分方程广义误差的微分方程 e=ym-yp:Krbrbeaeaeaennnnnn)(11111 - - - -其中其中K=Km-KcKp

32、选择选择状态变量状态变量: rxxrxxexnnn111121- - - - - - 则关于则关于e 的方程可变为标准状态方程和输出方程的方程可变为标准状态方程和输出方程: cxeKbrAxx (3.4)其中其中:),()(001101010012112111111 - - - - - - - - - -cbbbaaabaaaIAxxxnnnnnnnnTKrbrbeaeaeaennnnnn)(11111 - - - -2. 找出李雅普诺夫函数找出李雅普诺夫函数 (2) n阶可调增益的线性系统阶可调增益的线性系统0)(2 KpxxeVT试取试取 为常数，为常数，p为对称正定矩阵。为对称正定矩阵。

33、3. 求求V(e)沿系统运动轨迹的导数沿系统运动轨迹的导数 KKxpxpxxVTT 2 022B.)(.A - - KKpKbrxQxxxpApAxTTTT 负定，负定，Q正定正定 0 - - QxxVT于是有于是有: 由由B解出解出 pbrxKT 1- - (3.5)这是使系统在这是使系统在大范围内渐进稳定的自适应控制律大范围内渐进稳定的自适应控制律。4. 为使为使 负定，可使负定，可使 V cxeKbrAxx KKpKbrxxpApAxTTT 22)( pbrxKpcKT 1 K=Km-KcKp问题：自适应律依赖于整个状态向量问题：自适应律依赖于整个状态向量x，与广义误差，与广义误差e和和

34、e的各阶的各阶 导数有关。导数有关。 结果：这将引入噪声！结果：这将引入噪声！KpBerBcK 自适应律可简化为自适应律可简化为: 解决方法解决方法:找到一种找到一种P矩阵，使得矩阵，使得0,)00 ,( Tpb则自适应律仅与则自适应律仅与e有关。有关。pbrxKpcKT 1 自适应律自适应律:rxxrxxexnnn111121- - - - - - 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC（1）一般讨论）一般讨论uSISO的线性系统，对象结构已知的线性系统，对象结构已知u 对象的状态方程、输出方程如下对象的状态方程、输

35、出方程如下: )()()()()()()()(txthtytutBtxtAtxppppppp 未知参数矩阵未知参数矩阵Ap(t)Rnn、Bp(t) Rn1，hp(t)R1n)()()()()(txhtytrBtXAtxmmmmmmm 参考模型：参考模型： 选择常数矩阵选择常数矩阵Am,Bm,hm(阶次相同阶次相同)，使，使ym(t)实现希望的响应。实现希望的响应。u 控制目标：控制目标：在保证系统稳定的前提下，综合出一种自适应控制律，使在保证系统稳定的前提下，综合出一种自适应控制律，使yp(t) 跟踪跟踪ym(t)变化，即有变化，即有0)()(lim - -tytymptu设计思路设计思路 第

36、三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC其中其中g(t)为可调为可调前馈增益前馈增益，F(t)为可调为可调反馈增益反馈增益。因而控制器。因而控制器输出输出u为为:u=g(t)r-F(t)xp g(t)是纯量，是纯量，F(t)是向量。是向量。Xm=AmXm+Bmr.Xp=ApXp+Bpu.FgueXmXmXpr-+自适应机构设计目标设计目标：达到系统：达到系统状态收敛（状态收敛（和和参数收敛）参数收敛）。第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRACmptm

37、ppttBgBAFBAe - - )(lim)(lim, 0lim即：即：)(ppppppppFxgrBxAuBxAx- - 代入对象方程代入对象方程: u=g(t)r-F(t)xp )()()(trBtXAtxmmmm 对比参考模型：对比参考模型： grBxFBApppp - - )(第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC（2）一阶系统）一阶系统利用李雅普诺夫稳定性理论设计利用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC的四个步骤，寻求的四个步骤，寻求F,g的自适应律。的自适应律。 1、对给定系统，列出它的广义误差方程、对给定系

38、统，列出它的广义误差方程;被控对象和参考模型的微分方程被控对象和参考模型的微分方程: ppmmmmmppppfxgrubarbxaxutbxtax- - - - - - 00,)()(把把u=gr-fxp 代入对象方程，代入对象方程， rtgtbxtftbtaxppppp)()()()()( - - 假定对象参数的变化过程比系统自身的时间响应要缓慢得多，可假定对象参数的变化过程比系统自身的时间响应要缓慢得多，可调系统可改写为调系统可改写为:rtgbxtfbaxppppp)()( - - pmxxe- - 设：设： (t)=am-ap-bpf(t)， (t)=bm-bpg(t) 因此：因此： r

39、txteaepm)()( - - - (3.16)ppppmpmpmmmxtfbartgbbxaxaxa)()( - - - - - - rtgbxtfbxarbxapppppmmm)()(- - - - rtgbbxtfbaaeapmpppmm)()(- - - - - - - e取作广义状态误差，取作广义状态误差， )()()(txtxtepm- - rbxaxmmmm - - 3、对、对V，求其沿对象运动方程轨迹的导数，求其沿对象运动方程轨迹的导数)(eV 2111 eebVp (3.17)把把(3.16)代入上式，代入上式， )21()11(2erbexbebaVppppm - - -

40、 - 如果选择如果选择:erbexbppp21 - - 则则(3.17)式变为式变为: 2ebaVpm- - 为负定的。为负定的。2、找出一正定函数、找出一正定函数V 李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数;2, 1, 221211221 ebVp常数且均常数且均0，V是正定的。是正定的。rtxteaepm)()( - - - (3.16)4、找到令其导数为负定的条件，并从中综合出自适应律、找到令其导数为负定的条件，并从中综合出自适应律从上式得到从上式得到: - - - - ttppdttrtegtgdttxteftftrtetgtxtetf00121)()()0()()()()0()()()()()(

41、)()( 可保证闭环系统的可保证闭环系统的渐进稳定性渐进稳定性: 0lim et关于参数收敛，即：关于参数收敛，即： 0)(lim0)(lim tttt 输入输入r必须包括足够多的信息必须包括足够多的信息, 与与xp互相独立。互相独立。erbexbppp21 - - (t)=am-ap-bpf(t)， (t)=bm-bpg(t) 实现的机构图如下：实现的机构图如下： - - ttpdttrtegtgdttxteftf001)()()0()()()()0()( 参参数数适适应应型型 信号综合形式信号综合形式)()()()()(txtftrtgtup- - - - ttpdttrtegtgdttx

42、teftf001)()()0()()()()0()( r(t)mxabmmS abppS epx+-u+ +21自适应律自适应律)0(g)0(f第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 1 简介简介可调系统- - 把对象放在参考模型的位置把对象放在参考模型的位置- - 适应机构根据适应机构根据e 改变可调系统的参数改变可调系统的参数- - 当当e趋近于零的同时，可调系统模型收敛于被控对象的模型趋近于零的同时，可调系统模型收敛于被控对象的模型 被控过程 适应机构 可调系统 R ym yp e + _ 模型参考自适应控制模型参考自适应控制 模型参考自适应辨识模型参考自适应辨识 (1)自适应

43、律的推导自适应律的推导 例：一阶线性系统：例：一阶线性系统： pppasksRsYsp )()()(ap、kp为对象的未知参数，需辨识的参数，均大于零为对象的未知参数，需辨识的参数，均大于零(稳定对象稳定对象)。选择一个参考模型（初始模型）：选择一个参考模型（初始模型）： mmmasksUssG )()(Y)(mkm、am 均大于零。均大于零。)()()()()()(tuktyatytrktyatymmmmpppp - - - - r(t)为外加的输入信号。为外加的输入信号。对象和模型的方程分别为：对象和模型的方程分别为：模型参考自适应辨识模型参考自适应辨识 第三章模型参考自适应控制第三章模型

44、参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC可构成如下的可构成如下的MRAC系统：系统：)()()()()(00tytbtrtatup 可调系统的微分方程式：可调系统的微分方程式： )()()()()()(00tytbktrtaktyatypmmmmm - - （1）自适应律的推导）自适应律的推导akppS akmmS a0b0自适应机构自适应机构r(t)eypym+-u+第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC对两系统施加相同的输入信号，对两系统施加相同的输入信号， （1）自适应律的

45、推导）自适应律的推导通过自适应机构调整可调参数，通过自适应机构调整可调参数，可实现：可实现：t 输出输出Ym跟踪跟踪ypt 参数收敛参数收敛从而达到系统辩识的目标。从而达到系统辩识的目标。第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC1. 列写有关系统广义误差的微分方程式：列写有关系统广义误差的微分方程式： pmpmppppmmmmpmyayarkyaytbkrtakyayye- - - - - - - - )()(00（1）自适应律的推导）自适应律的推导)()(00pmpmmpmmykaatbrkktakea- - - -

46、- - - mpmmpkaabkka- - *0*0,令令可可写写成成：则则)(te )()()()()(*00*00twtkeaybtbratakeateTmmpmm - - - - - - - - - - 其中，其中， pyrwbattbtat*0*0*00)()()()(第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC如果再令参数误差为：如果再令参数误差为： （1）自适应律的推导）自适应律的推导 - - - - - *00*00*)()()()(btbatatt 则系统的广义误差方程可写成：则系统的广义误差方程可写成：wt

47、keateTmm)()( - - 这是一个非线性微分方程。这是一个非线性微分方程。2. 选择一个正定函数：选择一个正定函数： )()(221),(2ttkeeVTm 1. 列写有关系统广义误差的微分方程式：列写有关系统广义误差的微分方程式： 3. 求取以上函数的导数：求取以上函数的导数： TmTmmTmkwekeakeeeV - - 2),(第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC4. 找出使上述函数的导数为负定的条件，并从中综合出自适应律找出使上述函数的导数为负定的条件，并从中综合出自适应律让方程的后两项等于零，求出：

48、让方程的后两项等于零，求出：)()()(twtet- - 因此，因此， 0),(2 - - eaeVm，是负定的，是负定的 自适应律为：自适应律为： - - - - - - - - tpptdyeBbtbtytetbdreBatatrteta0200001000)()()0()()()()()()()0()()()()( TmTmmTmkwekeakeeeV - - 2),( - - - *00*0000)()()()()()(btbatatyrwtbtatp 可保证闭环系统的可保证闭环系统的渐进稳定性渐进稳定性: 0lim et为满足参数收敛的要求：为满足参数收敛的要求： 0)(lim tt

49、，信号，信号r(t)必须满足：必须满足：r(t)持续激励，持续激励，r(t)与与yp(t)互相独立。因此要求互相独立。因此要求r(t)中包含一定中包含一定的频率成分和具有一定的激励时间。的频率成分和具有一定的激励时间。wtkeaykaatbrkktakeaeTmmpmpmmpmm)()()(00 - - - - - - - - - （1）自适应律的推导）自适应律的推导第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC00bKaaaKKpmmpm- - 此时，此时，（2）自适应系统的构成）自适应系统的构成参数适应型：参数适应型： a

50、kppS akmmS a0b0r(t)eypym+-u+-B1-B2自适应律自适应律 - - - - tptdyeBbtbdreBata02000100)()()0()()()()0()( 信号综合形式：信号综合形式：ypakppS akmmS r(t)eym+-u+-B1-B2自适应律自适应律)0(0a)0(0b - - - - tptdyeBbtbdreBata02000100)()()0()()()()0()( )()()()()(00tytbtrtatup 两种形式是等价的，设计方式也是相似的。两种形式是等价的，设计方式也是相似的。 （2）自适应系统的构成）自适应系统的构成在正常情况下

51、，由于在正常情况下，由于mpyy ，所以，反馈信号由，所以，反馈信号由yp取出取出和由和由ym取出是等价的。取出是等价的。 akppS akmmS a0b0r(t)eypym+-u+*akppS akmmS a0b0r(t)eypym+-u+*第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC(1)局部最优化方法与李雅普诺夫稳定性设计方法的比较局部最优化方法与李雅普诺夫稳定性设计方法的比较 (二阶可调二阶可调 增益的系

52、统增益的系统) 11)()(122 sasaspsq 01101012 - - - CBaaAeex方案方案1 MIT方法方法mcBeyk 方案方案2 李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫稳定性方法1 PBrxkKKPxxVTpcT 12 cxeKBrAxx pcmKKKK- - 设设)(22)(mkKmkKPBrKxxPAPAxVppTTT 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC方案方案3 李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫稳定性方法20,01,)(2 PBrxkmmkKPxxVTppTmkmkKQPAPAppT- - - -

53、 选选 tcccdmmkkmmk0)0( 可求出：可求出：222mkQxxVpT- - - 则有则有方案方案2 李雅普诺夫稳定性方法李雅普诺夫稳定性方法1 PBrxkKTpc 1 cppcmKKKKKKK- - - - mkp- -mkp 积积分分适适应应律律比比例例 实现方式：实现方式：第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC(1)局部最优化方法与李雅普诺夫稳定性设计方法的比较局部最优化方法与李雅普诺夫稳定性设计方法的比较 tccdmmkk0)0( PBrxkmTp 1 eex 1/Kp x PBT KpmKc(0)r三个方案比较结果三个方案比较结果 第三章模型参考自适应控制第三章模型参考自适应控制 3 用李雅普诺夫稳定性理论设计用李雅普诺夫稳定性理论设计MRAC(1) 局部最优化方法与李雅普诺夫稳定性设计方法的比较局部最优化方法与李雅普诺夫稳定性设计方法的比较 实例