函数行列式的质函数相关PPT课件

1、 一、函数行列式的性质 函数行列式不仅在隐函数存在定理中起着重要作用，而且在其他不少分析问题和应用中，也是经常出现的，它有以下主要性质： 性质1 设函数定义于某一 维区域 中，且有关于一切变元的连续偏导数.又设定义于某一 维区域 中,且有关于一切变元的连续偏导数.当点 在 中变动时,对应的点), 2 , 1)(,(21nixxxfyniinD), 2 , 1)(,(21nitttxniinD),(21ntttD),(21nxxx第1页/共13页不越出区域 .于是就可以通过中间变量 把 看为 的复合函数. 这时, 关于 的雅可比行列式与 关于 以及 关于 的雅可比行列式之间有着下面的关系 这个性

2、质,可以看为时复合函数 求导公式的拓广.Dnxxx,21nyyy,21nttt,21iyjtiyjxixjt.),(),(),(),(),(),(212121212121nnnnnntttDxxxDxxxDyyyDtttDyyyD)(),(txxfydtdxdxdydtdy第2页/共13页 性质2 设函数在某 维区域 中具有对各变元的连续偏导数,并且它们的反函数存在,具有对各变元的连续偏导数.那么 这个性质可以看做反函数导数公式 的拓广. 例1 直角坐标 与极坐标 的变换为), 2 , 1)(,(21nixxxfyninD), 2 , 1)(,(21njyyyxnjj. 1),(),(),()

3、,(21212121nnnnyyyDxxxDxxxDyyyD1dydxdxdy),(yx),(r,sin,cosryrx第3页/共13页 二、函数相关 考察函数组它们在 维空间的某一个区域 中有定义.如果其中有一个函数的数值,例如 ,可以由其余函数的数值 单值地确定时,就称函数 在区域 中和其余的函数有关,或称函数组 在 中函数相关. 更确切地说,对 维区域 中任何一点 ,由函数组( 个函数), 2 , 1)(,(21mixxxfyniinDjy,21yymjjyyy,11jyDmyyy,21DnD),(21nxxx1m), 1, 1, 2 , 1)(,(21mjjixxxfynii第4页/共

4、13页相应地得到 维空间内的一点于是对区域 就相应地得到 维空间内的一个点集 .如果存在一个函数 ,它的定义域是 维空间里的某一点集 ,并且 包含了 ,使得成立,也就是在区域 上成立着则称函数组 在 上函数相关. 为了能够应用微分学来讨论函数的相关性,我们总假设函数 在 维区域 内具有对一切变元的连续1m),(1121mjjyyyyyD1mD1mEED),(1121mjjjyyyyyyD,),(),(12211nnjxxfxxxfy),(,),(),(11111nnjnjxxfxxfxxf), 2 , 1(miyiD1mE第5页/共13页偏导数. 如果在区域 内以及在 的任何部分区域内都不存在

5、这样的函数 ,使得 在所考虑的区域内为恒等式,则称函数组 在 上函数独立.也就是说,只有在 内以及在 的任何部分区域内,函数组皆非函数相关时才称为在 上函数独立. 例2 函数组在整个四维空间上函数相关.DD),(1121mjjyyyyyy), 3 , 2 , 1(miyiDDDD,4321xxxxu,24232221xxxxv434232413121xxxxxxxxxxxxw第6页/共13页 例3 常数和任何函数都相关,亦即,若一组函数定义于区域 上,其中有一个函数在 内为常数,设为 ,那么这组函数在 内数函相关. 下面给出判别一组函数相关或独立的条件,为此需要引进函数组的雅可比矩阵的概念.对

6、于函数组我们称矩阵(如果矩阵中每一个元都存在的话), 2 , 1)(,(21mixxxfyniiDDcykD), 2 , 1)(,(21mixxxfynii2222111211xyxyxyxyxyxymmnmnnxyxyxy21第7页/共13页为函数组 的雅可比矩阵. 由雅可比矩阵的元所组成的在 中不恒等于零的行列式的最高阶数称为这个矩阵的秩.由此可见,如果雅可比矩阵的秩是 ,那么由这个矩阵的元所组成的 阶行列式中至少有一个在 内不恒为零,而一切高于 阶的行列式(假若有的话)恒为零. 现在考虑函数组函数独立和函数相关的条件.假设这个函数组在区域 内具有对一切变元的连续偏导数. 定理1 若 ,函

7、数组 的雅可比矩阵中有一个阶行列式在 内不为零.例如不妨假设), 2 , 1(miyiD),(nrmrrrDr), 2 , 1)(,(21mixxxfynii)(Dnm )(mD第8页/共13页在 内成立,则函数组 在 内是函数独立的. 定理2 若 函数组 的雅可比矩阵在 内的秩为 ; 雅可比矩阵在点 达到秩 .亦即存在一个 阶行列式,不妨设它为2222111211xyxyxyxyxyxymm021mmmmxyxyxy) 1 (D)(D) 1 ()(D1r)2(DxxxMn),(002010rr第9页/共13页在 点成立,则在点 的某个邻域内成立: 函数独立; 若 ,那么函数组 为函数相关. 例4 函数的雅可比矩阵 中有一个二阶行列式无零点，所以这两个函数是函数独立的。2222111211xyxyxyxyxyxymm021mmmmxyxyxy0M0Mryyy,) 1 (21)2(rm )(111111第10页/共13页 例5 设有两个函数 当 当 当 当容易验证,它们的雅可比行列式在第一象限内无零点,雅可比矩阵在第二和第四象限内的秩为1,在第三象限内的秩为零,所以只