函数的连续性93373PPT课件

1、xyoxx00 x0 xxx0yoxyxy0lim0yx0lim0yxx第1页/共32页2.连续定义(1)设函数)(xfy 在点0 x的某邻域内有定义,自变量的改变量如果0时,函数的改变量x 趋于y 0也趋于0lim0 yx即,则称)(xf0 x在点连续.注)(xfy 在点0 x函数连续的几何意义.第2页/共32页xyoxx 00 x0 xxx 0yox y x y x第3页/共32页例1 证明2)(xxf 在0 xx 处连续.)()(00 xfxxf y因证2020)(xxx xxx 022)( yx0lim所以2)(lim020 xxxx 0 故2)(xxf 在0 xx 处连续.例2 证明

2、cxf )(在0 xx 处连续.第4页/共32页例3证明xysin 在),(内任一点连续.证在),(内任取一点0 x y)sin()sin(00 xxx )()(00 xfxxf )2cos(2sin20 xxx yx0lim因所以故xysin 在),(内任一点连续.0第5页/共32页)()(00 xfxxfy yx0limxxx 0令令, 0)()(lim00 xfxfxx则则)()(lim00 xfxfxx 即即讨论函数连续的另一定义形式)()(lim000 xfxxfx 0 第6页/共32页定义(2)设函数)(xfy 在点0 x的某邻域内有定义,如果)()(lim00 xfxfxx 则称

3、)(xf0 x在点连续.注 精确性定义:设函数)(xfy 在点0 x的某邻域内有定义,如果对, 0 不论多么小,总存在, 0 当 0 xx时,)()(0 xfxf恒有则称)(xf0 x在点连续.第7页/共32页 连续条件:a) 有定义b) 有极限c) 值相等. 有定义是连续的必要条件. 如果),()(lim00 xfxfxx 则称)(xf0 x在点右连续.),()(lim00 xfxfxx 则称)(xf0 x在点左连续. 关系连续的充要条件为左连续且右连续.)()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx 第8页/共32页 区间连续:如果函数

4、)(xf在开区间),(ba内每一点都连续,则称)(xf在开区间内连续.如果函数)(xf在开区间),(ba内连续,并且在左端点右连续,在右端点左连续,则称)(xf在闭区间上连续.注几何意义第9页/共32页ooyyxxabab如果函数)(xf在开区间),(ba内连续,并且在左端点右连续,在右端点左连续,则称)(xf在闭区间上连续.,ba第10页/共32页 两定义分工:定义(1)一般用于证明题.定义(2)一般用于具体题判断.第11页/共32页例4讨论函数 )(xf xx2sin0 x0 xxe2处的连续性.解 )(lim0 xfx )(lim0 xfx xxx22sinlim2022)(lim0 x

5、fx )0(f2 xxe2lim02 xxx2sinlim0所以)0()(lim0fxfx 故函数)(xf连续.因又从而在0 x第12页/共32页例5求ba,的值,使函数)(xf在分界点连续 )(xf 0 x0 x0 xxxsin1abxx 1sin解 )0(fa )(lim0 xfx )(lim0 xfx1 )1sin(lim0bxxxb xxxsin1lim0依题意得ab 1故. 1, 1 ba第13页/共32页二.函数的间断点(不连续点)有下列三种情况之一,函数)(xf0 x在点的间断点.则0 x就是)(xfa) 没定义:b) 没极限:c) 极限值与函数值都存在但不相等)(0 xf不存在

6、)(lim0 xfxx)(0 xf不存在)(lim0 xfxx第14页/共32页a) 没定义b) 没极限c) 值不等.或或间断点第一类第二类可去跳跃无穷其它按左右极限情况:第15页/共32页(1) 第一类间断点若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且f (x) 的第一类间断点., )(lim )(lim00存在与xfxfxxxx则称 x0 为函数第16页/共32页 跳跃间断点 可去间断点 第一类间断点 左右极限存在 左右极限不相等 左右极限相等不等于函数值第17页/共32页(2) 第二类间断点 凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点.这算定义吗？即左右极限至少有一个不存在的点

7、.第18页/共32页 无穷间断点 其它间断点 第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷大 振荡间断点 左右极限至少有一个振荡第19页/共32页函数间断点的分类 函数的间断点第一类间断点第二类间断点跳跃可去无穷振荡其它第20页/共32页第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0 xoyx0 x可去型oyx0 x第21页/共32页例6 讨论下列函数的间断点及其类型 )(xfxxsin )(xf )(xfx1 )(xfx1sin在0 x在0 x在0 x1 x1 x1 xx 12/1x 2在1 x因)0(f不存在所以间断.解因)0(f不存在所以间断.解因)0(f不存在

8、所以间断.解解 因所以间断.)(lim1xfx不存在第22页/共32页例6 讨论下列函数的间断点及其类型解因解解解1sinlimsinlim00 xxxxxx所以为可去间断点.因0)(lim1)(lim11 xfxfxx所以为跳跃间断点. xx1lim0所以为无穷间断点.因xx1sinlim0 不存在所以为其它间断点. )(xfxxsin在0 x )(xf 1 x1 x1 xx 12/1x 2在1 x )(xfx1在0 x )(xfx1sin在0 x第23页/共32页关于可去间断点的附加说明xxxfsin)( 在0 x是可去间断点.因, 1sinlim0 xxx而)0(f却不存在,所以间断.如

9、果将)0(f改成, 1则)(xf在0 x连续.但事实上是 )(1xf xxsin1在0 x连续.数学上可以通过讨论)(1xf解决)(xf的问题.0 x0 x第24页/共32页补充定义的方法:先求极限值,极限值是几,就将函数值改成几.例7给)0(f补充一个什么数值,能使xxxf )1ln()( 在点0 x连续.解xxxxxf )1ln(lim)(lim00 xxx10)1ln(lim 补充.)0( f第25页/共32页三.连续函数的性质如果)(xf和)(xg在点0 x连续,则(1)()(xgxf 在点0 x连续;(2)()(xgxf在点0 x连续;(3)当0)(0 xg时,)()(xgxf在点0

10、 x连续.如果函数)(ufy 在点0u连续,)(xgu 在点0 x连续,并且),(00 xgu 则复合函数)(xgfy 在点0 x连续.第26页/共32页如果函数)(xfy 在点0 x连续,),(00 xfy 且)(xfy 有反函数),(1yfx 则)(1yf 在点0y连续.重要结论一切初等函数在其定义区间内连续.注1cos)( xxf在定义域内不连续.第27页/共32页问题:(1)初等函数求连续区间?(2)初等函数求间断点?(3)分段函数求间断点?求极限:(1)已知)(xf在点0 x连续,则)()(lim00 xfxfxx 例8求.1)arctancosln(sinlim20 xxexxxx 解原式0210)0arctan0cos0ln(sine . 0 第28页/共32页(2)极限符号与函数符号互换)(lim0 xgfxx)(lim0 xgfx