2021高考数学二轮专题训练2.52课时突破解析几何高考小题第2课时圆锥曲线的方程与性质课件

1、第2课时 圆锥曲线的方程与性质 关键能力关键能力应用实践应用实践考向一圆锥曲线的定义及标准方程考向一圆锥曲线的定义及标准方程【多维题组【多维题组】速通关速通关1.(20201.(2020泉州二模泉州二模) )已知椭圆已知椭圆e:e: +y+y2 2=1=1与抛物线与抛物线c:yc:y2 2=ax(a=ax(a0)0)有公共焦点有公共焦点f,f,给给出出a(5,3)a(5,3)及及c c上任意一点上任意一点p,p,当当|pa|+|pf|pa|+|pf|最小时最小时,p,p到原点到原点o o的距离的距离|po|=(|po|=() )a.a. b.4b.4c.c. d.3d.32x2154112【解

2、析【解析】选选a.a.椭圆椭圆e: +ye: +y2 2=1=1的右焦点为的右焦点为(1,0),(1,0),抛物线抛物线c:yc:y2 2=ax(a=ax(a0)0)的焦点为的焦点为 , ,由题意可得抛物线由题意可得抛物线c c的方程为的方程为y y2 2=4x,=4x,由抛物线的定义可得由抛物线的定义可得: :|pa|+|pf|=|pa|+|pp|pa|+|pf|=|pa|+|pp1 1|ap|ap1 1|,|,当且仅当当且仅当a,p,pa,p,p1 1三点共线时三点共线时,|pa|+|pf|,|pa|+|pf|最小最小, ,此此时时p p的坐标的坐标 , ,此时此时|op|= .|op|=

3、 . 2x2a(0)4，9(3)4，1542.(20202.(2020全国全国卷卷) )设设f f1 1,f,f2 2是双曲线是双曲线c:xc:x2 2- - =1=1的两个焦点的两个焦点,o,o为坐标原点为坐标原点, ,点点p p在在c c上且上且|op|=2,|op|=2,则则pfpf1 1f f2 2的面积为的面积为( () )a.a. b.3b.3c.c. d.2d.22y37252【解析【解析】选选b.b.由已知由已知, ,不妨设不妨设f f1 1(-2,0),f(-2,0),f2 2(2,0),(2,0),则则a=1,c=2,a=1,c=2,因为因为|op|=2= |f|op|=2

4、= |f1 1f f2 2|,|,所以点所以点p p在以在以f f1 1f f2 2为直径的圆上为直径的圆上, ,即即f f1 1f f2 2p p是以是以p p为直角顶点的直角三角形为直角顶点的直角三角形, ,故故|pf|pf1 1| |2 2+|pf+|pf2 2| |2 2=|f=|f1 1f f2 2| |2 2, ,即即|pf|pf1 1| |2 2+|pf+|pf2 2| |2 2=16,=16,又又|pf|pf1 1|-|pf|-|pf2 2|=2a=2,|=2a=2,所以所以4=|pf4=|pf1 1|-|pf|-|pf2 2|2 2=|pf=|pf1 1| |2 2+|pf+

5、|pf2 2| |2 2-2|pf-2|pf1 1|pf|pf2 2|=16-2|pf|=16-2|pf1 1|pf|pf2 2|,|,解得解得|pf|pf1 1|pf|pf2 2|=6,|=6,所以所以 |pf|pf1 1|pf|pf2 2|=3.|=3.121 2ff p1s23.3.已知方程已知方程 =1=1表示双曲线表示双曲线, ,且该双曲线两焦点间的距离为且该双曲线两焦点间的距离为4,4,则则n n的的取值范围是取值范围是( () )a.(-1,3)a.(-1,3)b.(-1,b.(-1, ) )c.(0,3)c.(0,3)d.(0,d.(0, ) )2222xymn3mn33【解析

6、【解析】选选a.a.若双曲线的焦点在若双曲线的焦点在x x轴上轴上, ,则则 又因为又因为(m(m2 2+n)+(3m+n)+(3m2 2-n)=4,-n)=4,所以所以m m2 2=1,=1,所以所以 所以所以-1n3.-1n3mn3m2 2且且n-mn0,b0)=1(a0,b0)的离心率为的离心率为2,2,过右焦点且垂直于过右焦点且垂直于x x轴的轴的直线与双曲线交于直线与双曲线交于a,ba,b两点两点. .设设a,ba,b到双曲线的同一条渐近线的距离分别为到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d d1 1和和d d2 2, ,且且d d1 1+d+d2 2=6,=6,则双曲线的方程为则双曲线

7、的方程为( () )a.a. =1=1b.b. =1=1c.c. =1=1d.d. =1=12222xyab22xy41222xy12422xy3922xy93【解析【解析】选选c.c.因为双曲线的离心率为因为双曲线的离心率为2,2,所以所以 =2,c=2a,b= a,=2,c=2a,b= a,不妨令不妨令a(2a,3a),b(2a,-3a),a(2a,3a),b(2a,-3a),双曲线其中一条渐近线方程为双曲线其中一条渐近线方程为y=y= x, x,所以所以d d1 1= = , ,d d2 2= = ; ;依题意得依题意得: : =6,=6,解得解得:a=:a= ,b=3,b=3,所以双曲

8、线方程为所以双曲线方程为: : =1.=1.ca3322|2 3a3a |2 3a3a,231 （）（）22|2 3a3a |2 3a3a231 （）（）2 3a3a2 3a3a22322xy39【变式拓展【变式拓展】本例中若本例中若|ab|=6|ab|=6 , ,试求双曲线的方程试求双曲线的方程. .【解析【解析】由题意由题意c=2a, =6 ,c=2a, =6 ,解得解得a= ,b=3.a= ,b=3.故双曲线的方程为故双曲线的方程为 =1.=1.322ba3322xy394.(20204.(2020全国全国卷卷) )已知已知a a为抛物线为抛物线c:yc:y2 2=2px(p0)=2px

9、(p0)上一点上一点, ,点点a a到到c c的焦点的距离的焦点的距离为为12,12,到到y y轴的距离为轴的距离为9,9,则则p=(p=() )a.2a.2b.3b.3c.6c.6d.9d.9【解析【解析】选选c.c.设抛物线的焦点为设抛物线的焦点为f,f,由抛物线的定义知由抛物线的定义知|af|=x|af|=xa a+ =12,+ =12,即即12=9+ ,12=9+ ,解得解得p=6.p=6.p2p2【技法点拨【技法点拨】提素养提素养1.1.关于圆锥曲线定义的应用关于圆锥曲线定义的应用对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离对于椭圆、双曲线如果涉及曲线上的点与焦点的距离, ,一般要

10、利用定义进行转化一般要利用定义进行转化. .对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化对应抛物线涉及曲线上点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化. .2.2.关于圆锥曲线方程的求法关于圆锥曲线方程的求法定型定型确定曲线类型确定曲线类型计算计算利用待定系数法利用待定系数法, ,根据条件求出系数根据条件求出系数a,b,c,pa,b,c,p. .考向二圆锥曲线的几何性质考向二圆锥曲线的几何性质【多维题组【多维题组】速通关速通关1.(20191.(2019全国卷全国卷)双曲线双曲线c:c: =1(a0,b0)=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为的一条渐近线的倾斜角为1301

11、30, ,则则c c的离心率为的离心率为( () )a.2sin 40a.2sin 40b.2cos 40b.2cos 40 c.c. d. d. 2222xyab1sin 501cos 50【解析【解析】选选d.d.由已知可得由已知可得- =tan 130- =tan 130, ,所以所以 =tan 50=tan 50, ,所以所以e= ,e= ,故选故选d.d.2222222cbsin 50sin 50cos 5011( )1tan 501aacos 50cos 50cos 50 baba2.2.已知已知f f1 1,f,f2 2为椭圆为椭圆c:c: =1(m0)=1(m0)的两个焦点的两

12、个焦点, ,若若c c上存在点上存在点m m满足满足mfmf1 1mfmf2 2, ,则则实数实数m m的取值范围是的取值范围是( () )a.a. b.2,+)b.2,+)c.c. (2,+)(2,+)d.d. (1,2(1,222xym102，102，12，1【解析【解析】选选c.c.分椭圆的焦点在分椭圆的焦点在x x轴上和轴上和y y轴上两种情况讨论轴上两种情况讨论. .若焦点在若焦点在x x轴上轴上, ,即即m1,m1,当当m m为短轴的端点时为短轴的端点时,f,f1 1mfmf2 2取最大值取最大值, ,要使要使mfmf1 1mfmf2 2, ,则则f f1 1mfmf2 29090

13、, ,即即f f1 1mo45mo45, ,所以所以tanftanf1 1mo= tan 45mo= tan 45=1,=1,解得解得m2,m2,若焦点在若焦点在y y轴上轴上, ,即即0m1,0m1,同理可得同理可得tanftanf1 1mo= tan 45mo= tan 45=1,=1,解得解得0m , 0m , 综上综上, ,实数实数m m的取值范围是的取值范围是 2,+).2,+).m 111mm12102，【加练备选【加练备选】设设a,ba,b是椭圆是椭圆c:c: =1=1长轴的两个端点长轴的两个端点. .若若c c上存在点上存在点m m满足满足amb=120amb=120, ,则则

14、m m的取值范围是的取值范围是( () )a.(0,19,+)a.(0,19,+)b.(0,b.(0, 9,+)9,+)c.(0,14,+)c.(0,14,+)d.(0,d.(0, 4,+)4,+)22xy3m33【解析【解析】选选a.a.方法一方法一: :设焦点在设焦点在x x轴上轴上, ,点点m(x,ym(x,y),),过点过点m m作作x x轴的垂线轴的垂线, ,交交x x轴于点轴于点n,n,则则n(x,0),n(x,0),故故tanamb=tan(amn+bmntanamb=tan(amn+bmn) )= ,= ,又又tanamb=tan 120tanamb=tan 120= ,= ,

15、且由且由 =1, =1,可得可得x x2 2=3- ,=3- ,则则 , ,解得解得|y|= ,|y|= ,223x3xyy2 3 yxy33x3x1yy，322xy3m23ym2222 3 y2 3 y333y(1)y3y3mm 2m3m又又0|y| ,0|y| ,即即0 ,0 ,结合结合0m3,0m3,解得解得0m1;0m1;对于焦点在对于焦点在y y轴上的情况轴上的情况, ,同理亦可得同理亦可得m9.m9.则则m m的取值范围是的取值范围是(0,19,+).(0,19,+).方法二方法二: :当当0m30m3时时, ,焦点在焦点在x x轴上轴上, ,要使要使c c上存在点上存在点m m满

16、足满足amb=120amb=120, ,则则 tan 60tan 60= ,= ,即即 , ,解得解得0m1;03m3时时, ,焦点在焦点在y y轴上轴上, ,要使要使c c上存在点上存在点m m满足满足amb=120amb=120, ,则则 tan 60tan 60= ,= ,m2m3mmab33m3ab3即即 , ,解得解得m9.m9.故故m m的取值范围为的取值范围为(0,19,+).(0,19,+).m333.(20203.(2020天津高考天津高考) )设双曲线设双曲线c c的方程为的方程为 =1(a0,b0),=1(a0,b0),过抛物线过抛物线y y2 2=4x=4x的的焦点和点

17、焦点和点(0,b)(0,b)的直线为的直线为l. .若若c c的一条渐近线与的一条渐近线与l平行平行, ,另一条渐近线与另一条渐近线与l垂直垂直, ,则则双曲线双曲线c c的方程为的方程为( () )a.a. =1=1b.xb.x2 2- - =1=1c.c. -y-y2 2=1=1d.xd.x2 2-y-y2 2=1=12222xyab22xy442y42x4【解析【解析】选选d.d.由题可知由题可知, ,抛物线的焦点为抛物线的焦点为(1,0),(1,0),所以直线所以直线l的方程为的方程为x+ =1,x+ =1,即即直线的斜率为直线的斜率为-b,-b,又双曲线的渐近线的方程为又双曲线的渐近

18、线的方程为y=y= x, x,所以所以-b=- ,-b-b=- ,-b = =-1,-1,因为因为a0,b0,a0,b0,解得解得a=1,b=1.a=1,b=1.所以双曲线所以双曲线c c的方程为的方程为x x2 2-y-y2 2=1.=1.ybbababa4.(20204.(2020北京高考北京高考) )设抛物线的顶点为设抛物线的顶点为o,o,焦点为焦点为f,f,准线为准线为l,p,p是抛物线上异于是抛物线上异于o o的一点的一点, ,过过p p作作pqpql于于q,q,则线段则线段fqfq的垂直平分线的垂直平分线( () )a.a.经过点经过点o ob.b.经过点经过点p pc.c.平行于

19、直线平行于直线opopd.d.垂直于直线垂直于直线opop【解析【解析】选选b.b.因为点因为点p p在抛物线上在抛物线上, ,所以所以|pq|=|pf|,|pq|=|pf|,所以所以fqfq的垂直平分线经过点的垂直平分线经过点p.p.5.(20205.(2020临沂二模临沂二模) )已知已知f f是抛物线是抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点的焦点, ,过过f f的直线与抛物线交的直线与抛物线交于于a,ba,b两点两点,ab,ab的中点为的中点为c,c,过过c c作抛物线准线的垂线交准线于作抛物线准线的垂线交准线于c c1 1, ,若若cccc1 1的中点为的中点为m(1

20、,4),m(1,4),则则p=(p=() )a.4a.4b.8b.8c.4c.4 d.8d.8 22【解析【解析】选选b.b.设设a,ba,b两点的坐标分别为两点的坐标分别为(x(xa a,y,ya a),(x),(xb b,y,yb b).).由题意由题意cccc1 1的中点坐标为的中点坐标为(1,4),(1,4),所以可得所以可得y ya a+y+yb b=8,=8,则点则点c c的横坐标的横坐标x xc c满足满足x xc c- =2- =21,1,所以所以x xc c=2+ ,=2+ ,x xa a+x+xb b=4+p,=4+p,设直线设直线abab的方程为的方程为:x=my+ ,:

21、x=my+ ,代入抛物线的方程可得代入抛物线的方程可得y y2 2-2pmy-p-2pmy-p2 2=0,=0,所以所以y ya a+y+yb b=2pm,x=2pm,xa a+x+xb b=m(y=m(ya a+y+yb b)+p)+p=8m+p.=8m+p.所以可得所以可得 解得解得:p=8,m=:p=8,m= . . p2p2p282pm,8mp4p12【技法点拨【技法点拨】提素养提素养性质性质应用指南应用指南研究圆锥曲线研究圆锥曲线的性质的性质理清圆锥曲线中理清圆锥曲线中a,b,c,e,pa,b,c,e,p的关系是关键的关系是关键. .离心率离心率根据条件建立关于根据条件建立关于a,b

22、,ca,b,c之间的方程之间的方程, ,结合其结合其自身的关系消元自身的关系消元, ,构造方程求离心率构造方程求离心率双曲线的渐近双曲线的渐近线方程线方程 利用公式利用公式e= , ,建立离心率与渐近线斜率建立离心率与渐近线斜率的关系的关系, ,知道一个可以求另一个知道一个可以求另一个. .22b1a提醒提醒: :研究圆锥曲线的性质时研究圆锥曲线的性质时, ,一是要结合圆锥曲线的定义一是要结合圆锥曲线的定义; ;二是要与三角形中二是要与三角形中的定理的定理, ,如勾股定理、角平分线定理等相结合解题如勾股定理、角平分线定理等相结合解题. .考向三圆锥曲线的综合交汇问题考向三圆锥曲线的综合交汇问题

23、( (重难突破重难突破) )【多维题组【多维题组】速通关速通关1.(20201.(2020和平区二模和平区二模) )已知双曲线已知双曲线c:c: =1(a0)=1(a0)的右焦点为的右焦点为f,f,圆圆x x2 2+y+y2 2=c=c2 2(c(c为双曲线的半焦距为双曲线的半焦距) )与双曲线与双曲线c c的一条渐近线交于的一条渐近线交于a,ba,b两点两点, ,且线段且线段afaf的中点的中点m m落落在另一条渐近线上在另一条渐近线上, ,则双曲线则双曲线c c的方程是的方程是( () )222xya322222222xyxya.1 b.14333xyyc.1 d.x1233【考场思维【考

24、场思维】解题方法解题方法数形结合数形结合解题流程解题流程图形性质、位置关系图形性质、位置关系数量关系数量关系素养考查素养考查直观想象、数学运算直观想象、数学运算【解析【解析】选选d.d.双曲线双曲线c: =1(a0)c: =1(a0)的渐近线方程为的渐近线方程为y=y= x, x,由由 , ,解得解得 由图可知由图可知a a在第二象限在第二象限, ,即即a(-a, ),a(-a, ),因为因为f(c,0),f(c,0),所以所以m ,m ,所以所以 = = , ,所以所以c=2a,c=2a,所以所以a a2 2+3=4a+3=4a2 2, ,解得解得a=1.a=1.所以所以c c的方程为的方程

25、为x x2 2- =1.- =1. 222xya33a2223yxaxyc ，xaxay3y3 或，3ca3()22，323aca22y32.2.如图如图,f,f1 1,f,f2 2是双曲线是双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的左、右焦点的左、右焦点, ,过过f f1 1的直线与双曲线的直线与双曲线左、右两支分别交于点左、右两支分别交于点p,q,p,q,若若 ,m,m为为pqpq的中点的中点, ,且且 , ,则双曲线的则双曲线的离心率为离心率为( () ) a.a. b.b. c.c. d.2d.2 2222xyab11fq3fp 12fqf m 1427【考场思维【考场思维】解题方

26、法解题方法化归转化化归转化解题流程解题流程向量关系向量关系图形位置关系、数量关系图形位置关系、数量关系素养考查素养考查数学运算、逻辑推理数学运算、逻辑推理【解析【解析】选选b.b.设设|pf|pf2 2|=m,|pf|=m,|pf1 1|=n,|=n,因为因为 , ,且且m m为为pqpq的中点的中点, ,所以所以m m为为qfqf1 1的三等分点的三等分点,|qf,|qf1 1|=3|pf|=3|pf1 1|=3n,|=3n,因为因为m m为为pqpq的中点的中点, ,且且 , ,所以所以f f2 2pqpq为等腰三角形为等腰三角形,|qf,|qf2 2|=|pf|=|pf2 2|=m,|=

27、m,由双曲线的定义可知由双曲线的定义可知, , ,即即 , ,解得解得 . .11fq3fp 12fqf m 2112pfpf2aqfqf2a，mn2a3nm2am4an2a在在rtrtmpfmpf2 2中中,|mf,|mf2 2| |2 2=|pf=|pf2 2| |2 2-|pm|-|pm|2 2=m=m2 2-n-n2 2, ,在在rtrtmfmf1 1f f2 2中中, ,|mf|mf2 2| |2 2=|f=|f1 1f f2 2| |2 2-|mf-|mf1 1| |2 2=(2c)=(2c)2 2-(2n)-(2n)2 2=4c=4c2 2-4n-4n2 2, ,所以所以m m2

28、 2-n-n2 2=4c=4c2 2-4n-4n2 2, ,即即16a16a2 2+3+34a4a2 2=4c=4c2 2, ,所以所以 =7,=7,所以离心率所以离心率e= = .e= = .22ca22ca7【技法点拨【技法点拨】提素养提素养1.1.圆锥曲线及圆之间的综合问题圆锥曲线及圆之间的综合问题解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时解决圆锥曲线之间、圆锥曲线与圆之间的综合问题时, ,关键是抓住两种曲线之间关键是抓住两种曲线之间的联系的联系, ,再结合其自身的几何性质解题再结合其自身的几何性质解题. .2.2.圆锥曲线与其他知识点之间的交汇问题圆锥曲线与其他知识点之间的交汇问题

29、圆锥曲线与向量、三角函数、基本不等式等交汇圆锥曲线与向量、三角函数、基本不等式等交汇, ,综合考查圆锥曲线的几何性质综合考查圆锥曲线的几何性质的应用的应用, ,一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件一般是利用圆锥曲线的几何性质转化条件, ,再利用其他的知识点解题再利用其他的知识点解题, ,或或者是其他的知识点转化为条件者是其他的知识点转化为条件, ,再利用圆锥曲线的几何性质解题再利用圆锥曲线的几何性质解题. .【变式训练【变式训练】1.1.已知双曲线已知双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的一条渐近线过点的一条渐近线过点(-(- ,2),2),且双曲线的一且双曲线的一个焦点在抛物线个焦点

30、在抛物线y y2 2=4=4 x x的准线上的准线上, ,则双曲线的方程为则双曲线的方程为( () )2222xyab322222222xyxya.1 b.121282821xyxyc.1 d.134437【解析【解析】选选c.c.由题意双曲线的渐近线方程为由题意双曲线的渐近线方程为y=y= , ,双曲线双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的一条渐近线过点的一条渐近线过点(- ,2),(- ,2),可得可得 = ,= ,因为抛物线因为抛物线y y2 2=4 x=4 x的准线方程为的准线方程为x=- ,x=- ,双曲线的一个焦点在抛物线双曲线的一个焦点在抛物线y y2 2=4 x=4 x

31、的准线上的准线上, ,所以所以c= ,c= ,所以所以a a2 2+b+b2 2=c=c2 2=7,=7,所以所以a= ,b=2,a= ,b=2,所以双曲线的方程为所以双曲线的方程为 =1.=1.bxa2222xyab3ba23777322xy3472.2.已知抛物线已知抛物线c:yc:y= = x x2 2的焦点是的焦点是f,f,点点m m是其准线是其准线l上一点上一点, ,线段线段mfmf交抛物线交抛物线c c于点于点n.n.当当 时时, ,nofnof的面积是的面积是_._.182mnmf3 【解析【解析】由题意抛物线的标准方程为由题意抛物线的标准方程为:x:x2 2=8y,=8y,所以

32、焦点所以焦点f(0,2),f(0,2),准线方程为准线方程为y=-2,y=-2,设设nnnn垂直于准线且交准线于垂直于准线且交准线于n,n,由抛物线的性质可得由抛物线的性质可得|nn|=|nf|,|nn|=|nf|,因为因为 , ,可得可得n n在在m,fm,f之间之间, ,所以所以|mn|=2|nf|=2|nn|,|mn|=2|nf|=2|nn|,所以所以sin fmn= = ,sin fmn= = ,所以所以tanfmntanfmn= ,= ,即直线即直线mfmf的斜率为的斜率为 , ,所以直线所以直线mfmf的方程为的方程为y= x+2,y= x+2,2mnmf3 12| nn |mn3

33、33333将直线将直线mfmf的方程代入抛物线的方程可得的方程代入抛物线的方程可得:x:x2 2- x-16=0,- x-16=0,解得解得x=- x=- 或或x=4 x=4 ( (舍舍),),所以所以 = |of|= |of|x|xn n|= |= 2 2 = . = .答案答案: : 8 33433nofs12124 334 334 33【加练备选【加练备选】已知点已知点f f是抛物线是抛物线y y2 2=16x=16x的焦点的焦点, ,直线直线l经过点经过点f f与抛物线交于与抛物线交于a,da,d两点两点, ,与圆与圆(x-4)(x-4)2 2+y+y2 2=16=16交于交于b,cb

34、,c两点两点( (如图所示如图所示),),则则|ab|ab|cd|=_.|cd|=_. 【解析【解析】根据题意根据题意, ,设设a(xa(x1 1,y,y1 1),d(x),d(x2 2,y,y2 2),),抛物线方程为抛物线方程为y y2 2=16x=16x的焦点为的焦点为f(4,0),f(4,0),圆圆m:(x-4)m:(x-4)2 2+y+y2 2=16=16的圆心为的圆心为(4,0),(4,0),圆心与焦点重合圆心与焦点重合,|ab|=|af|-|bf|=|af|-4=x,|ab|=|af|-|bf|=|af|-4=x1 1, ,|cd|=|df|-|cf|=|df|-4=x|cd|=

35、|df|-|cf|=|df|-4=x2 2, ,所以所以|ab|ab|cd|=x|cd|=x1 1x x2 2, ,由题意可知直线由题意可知直线l的斜率不为的斜率不为0,0,所以设直线方程为所以设直线方程为: :x=ty+4,x=ty+4,与抛物线方程联立可得与抛物线方程联立可得:y:y2 2-16ty-64=0,-16ty-64=0,即即y y1 1y y2 2=-64,x=-64,x1 1x x2 2= =16,= =16,所以所以|ab|ab|cd|=16.|cd|=16.答案答案: :161622122y y16题组训练题组训练素养提升素养提升【新题速递【新题速递】1.1.已知椭圆已知

36、椭圆c:c: =1=1的离心率与双曲线的离心率与双曲线c:c: =1(b0)=1(b0)的离心率互为倒的离心率互为倒数关系数关系, ,则则b=(b=() )a.2a.2 b.2b.2 c.4c.4d.6d.622xy1612222xy4b23【解析【解析】选选b.b.椭圆椭圆c: =1c: =1的离心率与双曲线的离心率与双曲线c: =1(b0)c: =1(b0)的离心率的离心率互为倒数关系互为倒数关系, ,椭圆椭圆c: =1c: =1的离心率为的离心率为 ; ;所以双曲线所以双曲线c: =1(b0)c: =1(b0)的离心率的离心率: : =2, =2,解得解得b=2 .b=2 .22xy16

37、12222xy4b22xy161216 121216222xy4b24b232.(20202.(2020东城区二模东城区二模) )双曲线双曲线c: c: =1=1的渐近线与直线的渐近线与直线x=1x=1交于交于a,ba,b两点两点, ,且且|ab|=4,|ab|=4,那么双曲线那么双曲线c c的离心率为的离心率为( () )a.a. b.b. c.2 c.2 d. d. 222yxb235【解析【解析】选选d.d.由双曲线的方程可得由双曲线的方程可得a=1,a=1,且渐近线的方程为且渐近线的方程为:y=:y=bxbx, ,与与x=1x=1联立可联立可得得y=y=b,b,所以所以|ab|=|2b

38、|,|ab|=|2b|,由题意可得由题意可得4=2|b|,4=2|b|,解得解得|b|=2,c|b|=2,c2 2=a=a2 2+b+b2 2, ,所以双曲线的所以双曲线的离心率离心率e = .e = .222cab145aa13.(20203.(2020汕头二模汕头二模) )已知椭圆已知椭圆 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的离心率为的离心率为 , ,直线直线y=kxy=kx与与该椭圆交于该椭圆交于a,ba,b两点两点, ,分别过分别过a,ba,b向向x x轴作垂线轴作垂线, ,若垂足恰为椭圆的两个焦点若垂足恰为椭圆的两个焦点, ,则则k k等等于于( () )a.a. b.b. c.c

39、. d.d.2 22222xyab12322312【解析【解析】选选a.a.由题可知由题可知, ,不妨设不妨设a,ba,b两点的坐标分别为两点的坐标分别为(-c,-kc),(c,kc(-c,-kc),(c,kc),),因为因为a,ba,b均在椭圆上均在椭圆上, ,所以所以 =1,=1,又椭圆的离心率为又椭圆的离心率为 , ,所以所以 = ,= ,所以所以 = ,= ,所以所以 + =1,+ =1,解得解得k=k= . .22222ck cab12ca12cb2222cc13ac4cc142k3324.(20204.(2020新高考全国新高考全国卷卷) )斜率为斜率为 的直线过抛物线的直线过抛物

40、线c:yc:y2 2=4x=4x的焦点的焦点, ,且与且与c c交交于于a,ba,b两点两点, ,则则|ab|=_.|ab|=_.【解析【解析】因为抛物线的焦点为因为抛物线的焦点为(1,0),(1,0),所以由题意知直线所以由题意知直线abab的方程为的方程为y= (x-1),y= (x-1),与与y y2 2=4x=4x联立得联立得3(x-1)3(x-1)2 2=4x,=4x,即即3x3x2 2-10 x+3=0,-10 x+3=0,设设a(xa(x1 1,y,y1 1),b(x),b(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2= ,= ,所以所以|ab|=x|ab|=x1

41、 1+x+x2 2+2= .+2= .答案答案: : 10316316333 【创新迁移【创新迁移】1.“1.“蒙日圆蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理涉及几何学中的一个著名定理, ,该定理的内容为该定理的内容为: :椭圆上两条互相椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上, ,该圆称为原椭圆的蒙日圆该圆称为原椭圆的蒙日圆. .若椭若椭圆圆c:c: (a0)(a0)的离心率为的离心率为 , ,则椭圆则椭圆c c的蒙日圆方程为的蒙日圆方程为( () )a.xa.x2 2+y+y2 2=9=9b.xb.x2 2+y+y2 2=7=7c.xc.x2

42、 2+y+y2 2=5=5d.xd.x2 2+y+y2 2=4=422xy1a1a12【解析【解析】选选b.b.因为椭圆的离心率为因为椭圆的离心率为 , ,所以所以 , ,解得解得a=3.a=3.因为椭圆上两因为椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上, ,所以找两个特殊点所以找两个特殊点, ,分别为分别为( ,0),(0, ),( ,0),(0, ),所以对应的两条切线分别是所以对应的两条切线分别是x=x= ,y= , ,y= ,这两条直线的交点为这两条直线的交点为p( , ),p( , ),因为点因为点p p在蒙日圆上在蒙日圆上,

43、 ,所以所以( )( )2 2+( )+( )2 2=r=r2 2=7,=7,所以椭圆所以椭圆c c的蒙日圆方程为的蒙日圆方程为x x2 2+y+y2 2=7.=7.12a1 a12a1 a1aa1aa1aa1a2.2.如图是数学家如图是数学家germinagerminal dande dandelinin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型椭圆的模型( (称为称为“dandedandelinin双球双球”););在圆锥内放两个大小不同的小球在圆锥内放两个大小不同的小球, ,使得它使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切们分别与圆锥的侧面、截面相切,

44、 ,设图中球设图中球o o1 1, ,球球o o2 2的半径分别为的半径分别为1 1和和3,3,球心距离球心距离|o|o1 1o o2 2|=8,|=8,截面分别与球截面分别与球o o1 1, ,球球o o2 2切于点切于点f,e,(e,ff,e,(e,f是截口椭圆的焦点是截口椭圆的焦点),),则此椭圆的则此椭圆的离心率等于离心率等于_._. 【解析【解析】如图如图, ,圆锥面与其内切球圆锥面与其内切球o o1 1,o,o2 2分别相切于点分别相切于点b,a,b,a,连接连接o o1 1b,ob,o2 2a,a,则则o o1 1bab,obab,o2 2aab,aab,过过o o1 1作作o

45、o1 1dodo2 2a a垂足为点垂足为点d,d,连接连接o o1 1f,of,o2 2e,efe,ef交交o o1 1o o2 2于点于点c,c,设圆锥母线与轴的夹角为设圆锥母线与轴的夹角为,截面与轴的夹角为截面与轴的夹角为,则在则在rtrto o1 1o o2 2d d中中,do,do2 2=3-1=2,o=3-1=2,o1 1d= =2 ,d= =2 ,所以所以coscos = , = ,因为因为o o1 1o o2 2=8,=8,所以所以coco2 2=8-o=8-o1 1c,c, 228215112o d2 1515o o84由题意得由题意得eoeo2 2ccfofo1 1c,c,

46、所以所以 , ,解得解得o o1 1c=2,c=2,所以所以cf= ,cf= ,即即coscos = , = , 则椭圆的离心率则椭圆的离心率e= .e= .答案答案: : 11218o co co eo f222211o cfo2131cf3o c23cos2 52cos51542 55专题能力提升练专题能力提升练十六圆锥曲线的方程与性质十六圆锥曲线的方程与性质(35(35分钟分钟7070分分) )一、单项选择题一、单项选择题( (共共8 8小题小题, ,每小题每小题5 5分分, ,共共4040分分) )1.1.已知椭圆已知椭圆c c的焦点在的焦点在y y轴上轴上, ,焦距等于焦距等于4,4

47、,离心率为离心率为 , ,则椭圆则椭圆c c的标准方程是的标准方程是( () )a.a. b.b. c.c. d.d. 【解析【解析】选选c.c.由题意可得由题意可得2c=4,2c=4,故故c=2,c=2,又又e= = ,e= = ,解得解得a=2 ,a=2 ,故故b= =2,b= =2,因为焦点在因为焦点在y y轴上轴上, ,故椭圆故椭圆c c的标准方程是的标准方程是 . .2222xy1161222xy1121622xy14822xy1842a222222 22（）22xy1482.2.抛物线抛物线c:xc:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点为的焦点为f,f,准线为准线为l,

48、,点点p p在在l上上, ,线段线段pfpf与抛物线与抛物线c c交于点交于点a,a,若若 , ,点点a a到到y y轴的距离为轴的距离为1,1,则抛物线则抛物线c c的方程为的方程为( () )a.xa.x2 2=4=4 y yb.xb.x2 2=3=3 y yc.xc.x2 2=2=2 y yd.xd.x2 2= = y y1faap2 3333【解析【解析】选选c.c.由题可知由题可知, ,点点f ,p ,f ,p ,因为点因为点a a到到y y轴的距离为轴的距离为1,1,且且a a在抛物线上在抛物线上, ,所以点所以点a ,a ,因为因为 , ,所以所以 , ,解得解得p= p= 或或

49、- (- (舍负舍负).).所以抛物线的方程为所以抛物线的方程为x x2 2=2 y.=2 y.p(0, )2pp(x ,)21(1,)2p1faap2 1p1p1()2p2222p3333.(20183.(2018全国卷全国卷)已知已知f f1 1,f,f2 2是椭圆是椭圆c c的两个焦点的两个焦点,p,p是是c c上的一点上的一点, ,若若pfpf1 1pfpf2 2, ,且且pfpf2 2f f1 1=60=60, ,则则c c的离心率为的离心率为( () )a.1-a.1- b.2- b.2- c.c. d. d. -1-1【解析【解析】选选d.d.在直角三角形在直角三角形pfpf1

50、1f f2 2中中, ,|f|f1 1f f2 2|=2c,pf|=2c,pf2 2f f1 1=60=60, ,所以所以|pf|pf1 1|= c,|pf|= c,|pf2 2|=c,|=c,又又|pf|pf1 1|+|pf|+|pf2 2|=2a,|=2a,所以所以 c+cc+c=2a,=2a,解得解得e= .e= .331232333c231a31【加练备选【加练备选】已知椭圆已知椭圆c:c: =1(ab0) =1(ab0)的左右焦点分别为的左右焦点分别为f f1 1,f,f2 2, ,过过f f1 1的直线与的直线与c c交于交于a,ba,b两两点点, ,其中其中a a为椭圆与为椭圆与

51、y y轴正半轴的交点轴正半轴的交点, ,若若|af|af1 1|=2|f|=2|f1 1b|,b|,则则c c的离心率为的离心率为( () )a.a. b.b. c.c. d. d. 2222xyab2313332 23【解析【解析】选选d.d.椭圆椭圆c: =1(ab0)c: =1(ab0)的左右焦点分别为的左右焦点分别为f f1 1,f,f2 2, ,过过f f1 1的直线与的直线与c c交交于于a,ba,b两点两点, ,其中其中a a为椭圆与为椭圆与y y轴正半轴的交点轴正半轴的交点, ,可知可知a(0,b),fa(0,b),f1 1(-c,0).(-c,0).若若|af|af1 1|=

52、2|f|=2|f1 1b|,b|,则则b ,b ,代入椭圆方程可得代入椭圆方程可得: =1,e(0,1).: =1,e(0,1).解得解得e= = .e= = . 2222xyab3c1(,b)2222229cb4a4b33ca4.(20204.(2020全国全国卷卷) )设设o o为坐标原点为坐标原点, ,直线直线x=ax=a与双曲线与双曲线c:c: =1(=1(a a0,b0,b0 0 的两条渐近线分别交于的两条渐近线分别交于d,ed,e两点两点. .若若odeode的面积为的面积为8,8,则则c c的焦距的最小值为的焦距的最小值为( () )a.4a.4b.8b.8c.16c.16d.3

53、2d.322222xyab【解析【解析】选选b. b. 双曲线双曲线c: =1(a0,b0)c: =1(a0,b0)的两条渐近线方程为的两条渐近线方程为y=y= x, x,将将x=ax=a与双曲线渐近线方程联立与双曲线渐近线方程联立, ,令令d d和和e e坐标分别为坐标分别为d(a,b),e(a,-bd(a,b),e(a,-b),),所以所以odeode的面积为的面积为abab=8,=8,所以所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 22ab=16,2ab=16,当且仅当当且仅当a=b=2 a=b=2 时时, ,等号成立等号成立, ,所以所以c4,c4,则焦距则焦距2c2c的最小值为的最小值

54、为8.8.2222xyab2ba5.(20205.(2020南昌二模南昌二模) )已知抛物线已知抛物线c:yc:y2 2=4x=4x的焦点为的焦点为f,a(xf,a(xa a,y,ya a) )是抛物线上一点是抛物线上一点, ,过过a a作抛物线准线的垂线作抛物线准线的垂线, ,垂足为垂足为b,b,若若|af|=|af|= |bf|,|bf|,则则|y|ya a|=(|=() )a.3a.3b.3b.3 c.4 c.4 d.4 d.4 3222【解析【解析】选选d.d.抛物线抛物线c:yc:y2 2=4x=4x的焦点为的焦点为f(1,0),a(xf(1,0),a(xa a,y,ya a) )是

55、抛物线上一点是抛物线上一点, ,过过a a作作抛物线准线的垂线抛物线准线的垂线, ,垂足为垂足为b(-1,yb(-1,ya a),),若若|af|= |bf|,|af|= |bf|,可得可得x xa a+1= +1= , ,可得可得 +2x+2xa a+1= (4+ )=9(1+x+1= (4+ )=9(1+xa a),),所以所以 -7x-7xa a-8=0,-8=0,解得解得x xa a=-1(=-1(舍去舍去),x),xa a=8,=8,此时此时 =32,=32,所以所以|y|ya a|=4 .|=4 .323222a2y2ax942ay2ax2ay26.(20186.(2018全国卷全

56、国卷)设设f f1 1,f,f2 2是双曲线是双曲线c:c: =1(a0,b0)=1(a0,b0)的左的左, ,右焦点右焦点,o,o是坐是坐标原点标原点. .过过f f2 2作作c c的一条渐近线的垂线的一条渐近线的垂线, ,垂足为垂足为p.p.若若 , ,则则c c的离心率为的离心率为( () )a.a. b.2b.2c.c. d.d. 2222xyab1pf6 op532【解析【解析】选选c.c.方法一方法一: :设渐近线的方程为设渐近线的方程为bxbx-ay=0,-ay=0,则直线则直线pfpf2 2的方程为的方程为ax+byax+by-ac=0,-ac=0,由由 可得可得p ,p ,由

57、由f f1 1(-c,0)(-c,0)及及|pf|pf1 1|= |op|,|= |op|,得得 , ,化简可得化简可得3a3a2 2=c=c2 2, ,即即e= .e= .2aab(,)ccaxbyac0,bxay0,6222222aabaab(c)()6()()cccc3方法二方法二: :因为因为|pf|pf2 2|=b,|of|=b,|of2 2|=c,|=c,所以所以|po|=a,|po|=a,在在rtrtpofpof2 2中中, ,设设pfpf2 2o=,o=,则有则有coscos = = ; = = ;因为在因为在pfpf1 1f f2 2中中, ,coscos = = , = =

58、 ,所以所以 = = b b2 2+4c+4c2 2-6a-6a2 2=4b=4b2 24c4c2 2-6a-6a2 2=3c=3c2 2-3a-3a2 2c c2 2=3a=3a2 2e= .e= .22pfofbc22221 2121 2pfffpf2 pfffbc222b4c( 6a)2b 2cbc3【加练备选【加练备选】已知点已知点f f是双曲线是双曲线c:c: =1(a0,b0)=1(a0,b0)的左焦点的左焦点, ,点点p p是该双曲线渐近线上一点是该双曲线渐近线上一点, ,若若pofpof是等边三角形是等边三角形( (其中其中o o为坐标原点为坐标原点),),则双曲线则双曲线c

59、c的离心率为的离心率为( () )a.a. b.2b.2c.3c.3d. d. 【解析【解析】选选b.b.设点设点p p是该双曲线渐近线是该双曲线渐近线y= xy= x上一点上一点, ,且且pofpof是等边三角形是等边三角形, ,可得可得tanpoftanpof= =tan 60= =tan 60= ,= ,可得双曲线的离心率可得双曲线的离心率e= =2.e= =2.2222xyab32 33baba322cb11 3aa7.(20207.(2020上饶三模上饶三模) )已知双曲线已知双曲线c:c: =1(a0,b0)=1(a0,b0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为f f1 1,f,f

60、2 2, ,过过f f1 1作斜率为作斜率为 的直线的直线l与双曲线与双曲线c c的左、右两支分别交于的左、右两支分别交于a,ba,b两点两点, ,若若|af|af2 2|=|bf|=|bf2 2|,|,则双曲线的离心率为则双曲线的离心率为( () ) a.2a.2b.b. c.c. d.d. 2222xyab22352【解析【解析】选选d.d.如图如图, ,取取abab中点中点m,m,连接连接f f2 2m, m, 因为因为|af|af2 2|=|bf|=|bf2 2|,|,所以所以f f2 2mab,mab,设设|af|af2 2|=|bf|=|bf2 2|=x,|=x,因为因为|af|a