二元一次方程组的应用含解析

1、二元一次方程组的应用（含解析）知识点一.数字问题【例1】已知二位数，其十位数字的 3倍与个位数字的和是 21，它的个位与十位数字对调后，所得的新数比原数大9，问原数是多少？知识点二.年龄问题【例2】父子的年龄差30岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？【变式1】学生问老师：“您今年多少岁了？”老师风趣的说：“我像你这样大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经 37岁了”试求老师和学生的年龄各是多少?知识点三分配问题【例3】某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍可住 8人，小的每间可住 5人，该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍，大小宿舍个多少间【变式1】福林制

2、衣厂现有 24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这 种衬衫3件或裤子5条.(1) 若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子？(2) 已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？【变式2】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放 2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.(1) 求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；(2) 若7个大餐厅同时开放，能否供全校的5300名学

3、生就餐？请说明理由.知识点四.配套问题【例4】现有190张铁皮，每张铁皮可做 8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子, 那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式1】机械厂加工车间有 85名工人，平均每人每天加工大齿轮 16个或小齿轮10个。2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？【变式2】某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告，15秒广告每播一次收费0.6万元，30秒广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次两种广告的播放次数有

4、几种安排方式电视台选择哪种播放方式收益较大知识点五.行程冋题时间X速度=路程【例5】 如图，长青化工厂与 A、B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨 8000元的产品运到B地.已知公路运价为 1.5元/ （吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元.求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【变式1】 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自 行车和长跑项目进行专

5、项训练某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长度.【变式2】 A、B两地相距36千米，两人步行，甲从 A到B，乙从B到A，两人同时出发，相向而行，4小时后相遇；若行 6小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的2倍，求两人速度【变式3】 已知某铁路桥长800 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45 s,整列火车完全在桥上的时间是35 s，求火车的速度和长度.知识点六.利率问题本金X （ 1 +利率）=本息（1年）【例6】某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款

6、共20万元，甲种存款的年利率为1.4%，乙种存款的年利率为3.7%,该公司一年共得利息 6250元，求甲、乙两种存款各多少万元？【变式1】 小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种,年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25% ;第二种,年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?知识点七.增长率问题今年X （ 1 +增长率）=明年【例7】某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共554台，其中甲种机器要比第一季度增产产甲、乙两种机器各

7、多少台？480台，改进生产技术后，计划第二季度生产这两种机器共10%乙种机器产量要比第一季度增产20%该厂第一季度生【变式1】今年 五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长 30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.知识点八.销售问题【例8】 某服装店用6000元购进A, B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价、标价如表所示:类型价格A型B型进价（元/ 件）60100标价（元/ 件）100160（1）这两种服装各购进的件数;（2）如果A中服装按标价的8折出售

8、, 按标价出售少收入多少元？B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比【变式1】我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2间甲商品和3件乙商品需用220元.而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少钱？知识点九.方案问题【例9】 某商场计划拨款 9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价 分别为：甲种每台 1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。(1) 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方 案

9、。(2) 若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？(3) 若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。【变式1】 某班组织班团活动， 班委会准备用15元钱全部用来购买笔记本和中性笔两种奖品，已知笔记本2元/本，中性笔1元/支，且每种奖品至少买 1件.(1) 若设购买笔记本本 x，中性笔支y,写出y与x之间的关系式；(2) 有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；(3) 从上述方案中任选一种方案购买，求买到的中性笔与笔记本数

10、量相等的概率.知识点十.其它【例10】有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品若购铅笔3支、练习本7本、圆珠笔1支共需6.3元；若购铅笔4支、练习本10本、圆珠笔1支共需8.4元.现购买铅笔、圆珠笔各1支、练习本1本，共需多少元？【变式1】 有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根，乙种1根，丙种3根共长23米；甲种1根，乙种4根，丙种5根共长36米。问甲种1根，乙种2根，丙种3根共长多少米？二元一次方程组的应用（教师版）知识点一.数字问题【例11】已知二位数，其十位数字的 3倍与个位数字的和是 21，它的个位与十位数字对调后，所得的新数 比原数大9，问原数是多少？解析：设原数十位为x，个位为y。广

11、f3x + y=1X=5由题意得，解得*JOy+x =10x + y+9=6答案：原数为56。知识点二.年龄问题【例12】父子的年龄差30岁，五年后父亲的年龄正好是儿子的3倍，问今年父亲和儿子各是多少岁？ 答案：设父亲x岁，儿子y岁，根据题意得xf，解得 x0x 5 =3(y 5)ly =10答：父亲40岁，儿子10岁【变式3】学生问老师：“您今年多少岁了？ ”老师风趣的说：“我像你这样大的时候，你才出生，你到我这么大时，我已经 37岁了”试求老师和学生的年龄各是多少？答案：设老师为x岁，学生为y岁由题意得x-yuy-1 ，解得；x=2537x=x-y=13知识点三分配问题【例13】某校有两种

12、类型的学生宿舍30间，大的宿舍可住8人，小的每间可住5人，该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍，大小宿舍个多少间解析：设大宿舍有 x间，小宿舍有y间。由题意得X + y = 308x +5y =198x = 16答案：大宿舍有16间，小宿舍有14间。【变式3】福林制衣厂现有 24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这 种衬衫3件或裤子5条.(1) 若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子？(2) 已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？答案：(1)

13、设制作衬衫和裤子的人数为x,y工x y = 24工x = 15可的方程组 解得、3x=5y=9(2)设安排a人制作衬衫，b人制作裤子，可获得要求的利润2100元。la b =24工a =18可列方程组解得130汉3a 十16汉5b =2100出=6【变式4】 某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放 2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.(1) 求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；(2) 若7个大餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.解析：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅

14、可供y名学生就餐，根据题意，得x 2y = 1680,2x y =2280.x = 960,解这个方程组，得J y = 360.答案：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.(2)因为 960x5+360x2 =5520 =5300,答案：所以如果同时开放 7个餐厅，能够供全校的 5300名学生就餐.知识点四.配套问题【例14】现有190张铁皮，每张铁皮可做 8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子, 那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？答案：设x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，根据题意得x y =1902 8x =22

15、y解得x =110y =80答：110张制盒身，80张制盒底，可以正好制成一批完整的盒子【变式2】机械厂加工车间有 85名工人，平均每人每天加工大齿轮 16个或小齿轮10个。2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？!x y = 85!x = 25答案：设大齿轮和小齿轮分别为 x、y人，根据题意可列方程组：y，解得|3 16x = 2 10yy=60【变式4】某电视台在黄金时段的 2分钟广告时间内，计划插播长度为15秒和30秒的两种广告，15秒广告每播一次收费0.6万元，30秒广告每播一次收费1万元，若要求每种广告播放不少于2次两种

16、广告的播放次数有几种安排方式电视台选择哪种播放方式收益较大答案：设15秒广告播放x次，30秒广告播放y次。根据题意得x = 4 x = 215x 30y =120 ,. x =8-2y , v x、y 均不小于 2 的整数，二或=2卜=3答：有两种播放方式，即15秒广告播放4次，30秒广告播放2次；或15秒广告播放2次，30秒广 告播放3次fx =4f x 二 2若，则收益为0.6 4 1 2=4.4万元，若，则收益为0.6 2 1 3=4.2万元$=2l、y=3电视台选择15秒广告4次，30秒广告播放2次得方式收益较大知识点五.行程冋题时间X速度=路程【例15】如图，长青化工厂与 A、B两地

17、有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨 8000元的产品运到B地.已知公路运价为 1.5元/ （吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元.求：（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？21答案：（1）设工厂从A地购买了 x吨原料，制成运往B地的产品y吨.则依题意,1.5（20y +10x） =15000,=400,得：1.2（110y +120x97200.解得：y = 300.J工厂从A地购买了 400吨原料，制成

18、运往B地的产品300吨.（2）依题意，得：300 X 8000-400 X 1000-15000-97200=1887800批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.【变式4】 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练.某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长度.解析：设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度 y米，可得方程组：x y =5000,x y15.600 200解这个方程组，得x 二 3

19、000,y =2000.答案：自行车路段的长度为32千米，长跑路段的长度 2千米.【变式5】A、B两地相距36千米，两人步行，甲从 A到B，乙从B到A，两人同时出发，相向而行， 4小时后相遇；若行 6小时，此时甲剩下的路程是乙所余下的路程的2倍，求两人速度答案：设甲的速度是 x千米/时，乙的速度是y千米/时，根据题意得解得x=4y =54x 4y =3636 -6x =2(36 -6y)答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时【变式6】 已知某铁路桥长800 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用45 s,整列火车完全在桥上的时间是35 s，求火车的速度和长度.答案

20、：设火车的速度为x （ m/s ）,火车长为y （ m ），贝U45x =800 y，解得 x =2035x =800 -yy =100答：火车的速度为 20 m / s，长度为100 m知识点六.利率问题本金X （1 +利率）=本息（1年）【例16】某公司存入银行甲、乙两种不同性质的存款共20万元，甲种存款的年利率为 1.4%，乙种存款的年利率为3.7%,该公司一年共得利息 6250元，求甲、乙两种存款各多少万元？解析：设甲、乙两种存款各 x , y万兀。亠吋亠 m 仪 + y = 200000 x = 50000由题意得丿y，解得丿0.0140.037 6250畀=150000答案：甲、乙

21、两种存款各 50000 , 150000万兀。【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25% ;第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？解析：设向银行贷款甲、乙两种分别为x万元，y万元，依题意得x “40，解得 乂二257%x 8%y=2.95y =15答案：甲、乙两种贷款分别为25万元，15万元。知识点七.增长率问题今年X （ 1 +增长率）=明年480台，改进

22、生产技术后，计划第二季度生产这两种机器10%乙种机器产量要比第一季度增产20%该厂第一季度【例17】某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 共554台，其中甲种机器要比第一季度增产 生产甲、乙两种机器各多少台？解析：设甲、乙两种机器各 x , y台。由题意得x 十 y = 480J.1x+1.2y =554，解得丿x_220y = 260答案：甲、乙两种机器各 220 , 260台。【变式2】 今年 五一”小长假期间，某市外来与外出旅游的总人数为226万人，分别比去年同期增长 30%和20%，去年同期外来旅游比外出旅游的人数多20万人.求该市今年外来和外出旅游的人数.解析：设该市去年外来人数为万人

23、，外出旅游的人数为万人。由题意得,X-y =20Q+0.3)x + (l+0.2)y = 226，解得: 100y = 80答案：该市今年外来人数为130万人，外出旅游的人数为96万人。知识点八.销售问题【例18】某服装店用6000元购进A, B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价-进价)，这两种服装的进价、标价如表所示：类型 价格A型B型进价(元/ 件)60100标价(元/ 件)100160(1) 这两种服装各购进的件数；(2) 如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比 按标价出售少收入多少元？解析：(1)设种服装购进

24、件，种服装购进件，”60x 十 100y = 6000x = 50由题意得，解得：丿.40x +60y = 3800y = 30答案：种服装购进 50件，种服装购进30件；(2)由题意，得3800 - 50(100 0.8 - 60) - 30(160 0.7 -100) = 3800 -1000 - 360 二 2400 (元)答案：服装店比按标价出售少收入2440元。【变式2】我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售打折前，购买3件甲商品和1件乙商品需用190元；购买2间甲商品和3件乙商品需用220元.而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需735元，这比不打折前少花多少

25、钱？解析：设甲商品单价为 x，乙商品单价为y,3x+y=190(x=50由题意得：+3尸220 ,解得：I尸40 ,贝U购买10件甲商品和10件乙商品需要900元，打折后实际花费 735,这比不打折前少花 165元.答案：这比不打折前少花165元.知识点九.方案问题【例19】某商场计划拨款 9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价 分别为：甲种每台 1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。（1） 若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方 案。（2） 若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机

26、可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？（3） 若商场准备用9万元同时购进三种不同型号的电视机50台，请你设计进货方案。 答案：（1）分情况计算： 设购进甲种电视机台，乙种电视机台，由题意得：x y =501500x 2100y =90000_Lx = 25解得y =25 设购进甲种电视机台，丙种电视机台，由题意得：x z = 501500x 2500z 二 90000解得X二35Z=15 设购进乙种电视机台，丙种电视机台，由题意得：y z 二50V2100y 2500z =90000= 87.5解得，不符合题意，舍去。z = -37.5故商场进货方案有两种：第一种是购甲种电视机25台，乙种电视机25台；第二种是购甲种电视机35台，丙种电视机15台。（2）当购甲种电视机 25台，乙种电视机 25台时，可获利 150X 25 + 200 X 25= 8750元。当购甲种电视机 35台，丙种电视机15台时，可获得150 X 35 + 250 X 15= 9000元。 故选择甲种电视机 35台，丙种电视机15台时，获利最多。（3）设购甲种电